2022-2023学年湖北省部分高中联考协作体高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省部分高中联考协作体高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省部分高中联考协作体高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  在复平面内，复数对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.  已知向量，向量，且，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  在中，已知，则角为(    )A.  B.  C.  D. 或4.  设函数，则下列结论错误的是(    )A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 在单调递减5.  若平面向量与的夹角为，，，则等于(    )A.  B.  C.  D. 6.  若，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数，若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知复数，则下列结论正确的是(    )A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数为
C.  D. 复数的模为10.  已知的内角，，所对边的长分别为，，，，，，若满足条件的有两个，则的值可以是(    )A.  B.  C.  D. 11.  在中，，，，点为线段上靠近端的三等分点，为的中点，则下列结论正确的是(    )A.  B. 与的夹角的余弦值为
C.  D. 的面积为12.  设函数，若在有且仅有个零点，则(    )A. 在有且仅有个极大值点 B. 在有且仅有个极小值点
C. 在单调递增 D. 的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知，，，，则 ______ ．14.  已知平面向量满足，，，且，则 ______ ．15.  在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边上的中线长是______ ．16.  设锐角的内角，，所对的边分别为，，若，，则的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
设复数，复数．
若，求实数的值；
若是纯虚数，求
 18.  本小题分
已知
当为何值时，与垂直
若，且、、三点共线，求的值．19.  本小题分
设函数．
求的单调递增区间；
已知，，分别为三个内角，，的对边，，，，求的周长．20.  本小题分
已知向量，，函数．
若，求的值；
已知，，为的内角，，的对边，，，且恰好是函数在上的最大值，求的面积．21.  本小题分
已知函数的部分图像如图．
Ⅰ求的表达式；
Ⅱ将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图像．若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
22.  本小题分
已知函数，的图象关于直线对称，且图像相邻的对称轴之间的距离为．
求函数的解析式；
若对任意，成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题．
先求，再由复数代数形式的乘除运算得出，求得所对应点的坐标得答案．【解答】解：，
复数对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．  2.【答案】 【解析】解：，
，
，
故选B
本题考查向量共线的充要条件，坐标形式的充要条件容易代错字母的位置，只要细心，这是一道送分的题目，但一些考试中会考到．
向量平行、垂直是经常考到的问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．
 3.【答案】 【解析】解：因为，即，
由余弦定理可得，
又因为，
所以．
故选：．
根据题意，利用余弦定理的应用求得，即可求解．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查推理能力，属于基础题．
根据题意，逐项判断即可．【解答】解：对于，函数的周期为，，
当时，周期为，故A正确；
对于，当时，，
此时函数取得最小值，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于，因为，
且，
则的一个零点为，故C正确；
对于，当时，，
此时函数不是单调函数，故D错误，
故选D．  5.【答案】 【解析】解：因为平面向量与的夹角为，，，
所以，，
所以．
故选：．
先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．
本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：

，


．
故选：．
把已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于的函数关系式，把化为，并利用二倍角的余弦函数公式化简，即可得到的解析式．
此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及函数解析式的求解及常用的方法，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：根据题意，为圆心，即是的中点，
则，



，
即时，取得最小值是．
故选：．
根据题意，利用，计算的最小值．
本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．
 8.【答案】 【解析】解：函数的图象如图所示，
，
，
，
，
，
，
，

的取值范围是．
故选：．
画出函数的图象，确定，，，由此可得则的取值范围．
本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：对于，复数的虚部为，A错误；
对于，由共轭复数概念知：，B正确；
对于，，C错误；
对于，，D正确．
故选：．
根据虚部定义、共轭复数定义、复数运算和模长运算法则可得结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：如图，点在射线上运动．过点作，垂足为．
在中，，所以，
结合图象，若满足条件的有两个，则；
故选：．
因为，已知，所以的顶点、为定点，点为一边上的动点，结合图象，利用垂线段最短，讨论的取值范围．
本题是解三角形中解的个数问题，考查数形结合的思想，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于，为中点，，A正确；
对于，以为坐标原点，，正方向为，轴可建立平面直角坐标系，

则，，，，，
，，
，
即与夹角的余弦值为，B错误；
对于，，，
，C正确；
对于，，D错误．
故选：．
根据向量线性运算直接判断即可知A正确；
以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标运算可求得B错误；
由向量数量积坐标运算可求得C正确；
由可知D错误．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：，时，，
在有且仅有个零点，则，，D正确；
此时，，时，取得极大值，A正确；
，，即时，时，均取得极小值，错；
时，，，则，因此在上不递增，错．
故选：．
由求得的范围，结合正弦函数性质得的范围，判断，利用正弦函数的极大值、极小值判断．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，，
．
故答案为：．
利用同角三角函数可得，，根据，利用两角和差正弦公式可求得结果．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式的应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，
，
，
即，解得：，
．
故答案为：．
利用向量数量积的运算律可构造方程求得，由向量夹角公式可求得结果．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，考查转化能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：由正弦定理得：，
，，
，即，
，，
是边的中点，，
，
，即边上的中线长是．
故答案为：．
利用正弦定理边化角可求得，根据向量线性运算和数量积运算律可求得，由此可得结果．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：，，
由为锐角三角形，可得，，
，即，
，
，即
则范围为．
故答案为：
利用余弦定理列出关系式，将与的值代入得到，代入所求式子变形后，利用基本不等式即可求出范围．
此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
 17.【答案】解：，，
，
由，得，即；
由是纯虚数，
得，即，
． 【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法．
由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为求得值；
利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为且虚部不为求得值，再由复数模的计算公式求
 18.【答案】解：，，
因为垂直，所以，
即，得．
，

因为，，三点共线，所以．
所以，即，
所以． 【解析】与垂直，即与的数量积为，利用坐标计算可得值；
因为，，三点共线，所以，利用平面向量共线的坐标公式计算可得的值．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
 19.【答案】解：，
令，解得：，
的单调递增区间为．
，
又，
，，解得：；，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，解得：，
的周长为． 【解析】利用两角和差公式和辅助角公式可化简得到，利用整体代入法可求得的单调递增区间；
根据可求得，根据正弦定理角化边和余弦定理可构造方程求得，，由此可得的周长．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 20.【答案】解：，，，
；

，
又时，，
当，即时，，
，，则，
，，即；
由余弦定理得：，
即，解得或，
当时，；
当时，；
的面积为或． 【解析】根据向量平行坐标表示可求得，再根据，由正余弦齐次式的求法可求得结果；
根据向量数量积运算坐标表示和三角恒等变换知识可化简得到，根据正弦型函数最值求法，结合的范围可求得，利用余弦定理可构造方程求得的值，代入三角形面积公式即可．
本题考查解三角形问题，三角恒等变换，同角关系的应用，向量数量积的坐标运算，余弦定理的应用，属中档题．
 21.【答案】解：根据函数的部分图像，可得，可得，
解得，
，
将代入，得，即，，
又，
，
．
将函数的图像向右平移个单位长度，得曲线，
由题得，
在上有两个不同的实数解，
在上有两个不同的实数解，
，
令，
，
则需直线与的图像在有两个不同的公共点，
画出在时的简图如下：

实数的取值范围是． 【解析】根据函数图像可得，周期，利用周期公式可求的值，将代入，结合，可求，即可得解函数解析式．
由题意利用三角函数图像变换可求，令，，则需直线与的图像在有两个不同的公共点，画出在时的简图即可求解．
本题考查了函数的图象变换，由的部分图象确定其解析式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
 22.【答案】解：，
函数图像相邻的对称轴之间的距离为，
周期满足，，，
又图象关于直线对称，
，，
因为，所以，
故；
由得，，
，，的最大值为，
若对任意，成立，
则对任意成立，
即对任意成立，
对任意成立，
令，则，
，则，故，
则，解得或，
故实数的取值范围得． 【解析】本题考查三角恒等变换，正弦型函数的性质，不等式恒成立问题，属于拔高题．
通过三角恒等变换化简函数，结合对称轴与周期求出函数解析式即可；
求出函数的最大值，将恒成立转化为最值问题，构造函数求最值即可．