2024年通用版高考数学二轮复习专题8.3 利用传统方法求角度和距离(学生版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题8.3 利用传统方法求角度和距离(学生版)，共16页。


题型一求异面直线的夹角
例1．（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________.
例2．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥中，，，且，点E，F分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为__________，与所成角的余弦值为__________.
练习1．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体中，是的中点，P是线段上的动点，则直线和所成角的大小（ ）
A．一定为B．一定为C．一定为D．与P的位置有关
练习2．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
练习3．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______.
练习4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
练习5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ）

A．B．C．D．
题型二求直线与平面的夹角
例3．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，且平分，为的中点，，.
(1)证明平面；
(2)求直线与平面所成的角的正切值.
例4．（2022秋·浙江杭州·高二统考期末）如图，在三棱锥中，是的中点，平面，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若中点为，求证：平面平面.
(3)若平面，，求直线与面所成的角.
练习7．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
练习8．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，，，，则与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．2C．D．
练习9．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E、F分别为AA1、AC的中点.

(1)求证：EF∥平面CDA1B1；
(2)求EF与平面DBB1D1夹角的余弦值.
练习10．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面平面，平面，是边长为2的正三角形，，．

(1)点为线段上一点，求证：；
(2)求与平面所成角的正弦值．
题型三求平面与平面的夹角
例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，正四棱柱中，，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面BEF
B．直线与直线BF所成的角为
C．平面BEF与平面ABCD的夹角为
D．直线与平面ABCD所成的角为
例6．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知四面体ABCD，D在面ABC上的射影为，为的外心，，.

(1)证明：BC⊥AD；
(2)若E为AD中点，OD=2，求平面与平面夹角的余弦值．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．

练习12．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱中，，延长至，使.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
练习13．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，在圆柱中，，为圆上一定点，为圆上异于点的一动点，，过点作平面的垂线，垂足为点.
(1)若，求证：.
(2)若为等边三角形，求二面角的余弦值.
练习14．（2023春·吉林·高三校联考期中）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的余弦值.
练习15．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值.
题型四已知夹角求距离
例7．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点.

(1)若母线长为10，求圆锥的体积；
(2)若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离.
例8．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，
(1)求证：平面；
(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.
练习16．（2023·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，分别为棱中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．
练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点．
(1)判断直线与的关系，并说明理由；
(2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积．
练习18．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）如图所示，三棱台中，底面，．
(1)证明：是直角三角形；
(2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？
练习19．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点.
(1)求证：平面平面；
(2)当的值为多少时，二面角的大小为.
练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥中，底面ABCD，，，，且二面角为，则四棱锥的侧面积为（ ）
A．B．10C．D．11
题型五求几何体的体积
例9．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面．
(1)证明：四边形是正方形；
(2)若，为上一点，且满足，求三棱锥的体积．
例10．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求三棱锥的体积．
练习21．（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.
(1)证明：平面平面.
(2)求四棱锥的体积.
练习22．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，设是线段上一动点.
(1)证明：//平面；
(2)求三棱锥的体积.
练习23．（2023·青海海东·统考模拟预测）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，底面ABCD，为棱上的一点.
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，求的值.
练习24．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点D为棱AB的中点，点E为棱上一点.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的余弦值.
练习25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形与四边形是全等的矩形，，若是的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)如果，求三棱锥与多面体的体积比值.
题型六利用等体积法求点到面的距离
例11．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱中各条棱长均为2，点分别为棱的中点．

(1)求异面直线和所成角的正切值；
(2)求点到平面的距离．
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足.
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
练习26．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点M是AC的中点.
(1)若点G是的重心，证明：点G在平面内；
(2)求点G到的距离.
练习27．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在正三棱柱中，为上一点，，，为上一点，三棱锥的体积为.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
练习28．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，已知底面为梯形，，，.
(1)证明：.
(2)若平面，，求点到平面的距离.
练习29．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面平面是正三角形，是棱上一点，且．

(1)求证：；
(2)若且二面角的余弦值为，求点到侧面的距离．
练习30．（2023·陕西西安·统考一模）在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
题型一
求异面直线的夹角
题型二
求直线与平面的夹角
题型三
求平面与平面的夹角
题型四
已知夹角求距离
题型五
求几何体的体积
题型六
利用等体积法求点到面的距离