2024年通用版高考数学二轮复习专题8.2 空间中的平行和垂直关系(学生版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题8.2 空间中的平行和垂直关系(学生版)，共21页。


题型一线面平行、面面平行的判定定理
例1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面ABCD，且

(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
例2．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱的所有棱长都等于2，E，F，G分别为，，AB的中点．

(1)求证：平面平面BEF；
练习1．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：平面；
练习2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥中,底面为的中点.

(1)若点在上,,证明:平面;
练习3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点.

(1)设过三点的平面为，求证：平面平面；
(2)求四棱锥与三棱锥的体积之比.
练习4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.

(1)求证：平面；
练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，如图所示.若点，分别是，的中点，求证：平面.

题型二补全平行的条件
例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：AF平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.
例4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.
(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；
练习6．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.
(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
练习7．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．
(1)当点M在何位置时，平面?
练习8．（2022秋·安徽合肥·高二校考学业考试）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，试在上确定一点，使得平面平面，并说明理由.
练习9．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；
(1)求证：平面．
(2)在上确定一点Q，使平面平面．
练习10．（2021秋·河南·高三校联考开学考试）如图，在三棱锥中，底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.
(1)证明：平面平面；
(2)已知点在上，且平面平面，求线段的长.
题型三线面平行、面面平行的性质定理
例5．（2023春·高二课时练习）如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

(1)求证：BE∥平面DCF；
例6．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）（多选）如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（ ）

A．B．平面
C．D．点B，D到平面的距离不相等．
练习11．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．
(1)求证：；
练习12．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

(1)若平面平面，证明：；
练习13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
练习14．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形平面，平面与棱交于点G．求证：；
练习15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面.若点为线段中点，求证：；
题型四线面垂直、面面垂直的判定定理
例7．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，．
(1)求证：平面平面ABC；
例8．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且

(1)求证：平面平面ABC；
练习16．（浙江省北斗星盟2023届高三下学期5月联考数学试题）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，平面平面.

(1)若为的中点，证明：平面；
练习17．（2023春·广西柳州·高三柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，.
(1)证明：平面；
练习18．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；
练习19．（2023·全国·高三对口高考）如图1所示，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将，分别沿AB，CD翻折成，，并连接，使得平面平面ABCD，，且．连接，如图2．

(1)证明：平面平面；
练习20．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知四棱锥的底面是正方形，，是棱上任一点．

(1)求证：平面平面；
题型五补全垂直的条件
例9．（2023春·山东青岛·高三青岛二中校考期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．
(1)证明：面；
(2)若满足面，求的值．
例10．（2021秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．
练习21．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，．
(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；
练习22．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．
(1)求证：平面；
(2)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．
练习23．（2022春·辽宁葫芦岛·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．
(1)在线段FG上确定一点M使得平面平面PFG，并说明理由；
练习24．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面为正三角形，且平面平面．
(1)求证：．
(2)若为中点，试在上找一点，使平面平面．
练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，．
(1)设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；
题型六线面垂直、面面垂直的性质定理
例11．（2022春·福建·高二统考学业考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

(1)求三棱锥的体积；
(2)若，且为锐角，求证：平面．
例12．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得.

(1)求证：平面平面；
(2)若，分别为，的中点，求三棱锥的体积.
练习26．（2023·河南安阳·统考三模）如图所示，在直角三角形中，，，，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.
(1)证明：；
练习27．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．

(1)求证：；
练习28．（2023·全国·校联考二模）如图，在四棱锥中，且，其中为等腰直角三角形，，且平面平面.
(1)求的长；
练习29．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；
练习30．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台ABC—中，，平面平面.

(1)证明：平面；
题型七判断平行，垂直的有关命题
例13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，若，则
C．若，、分别与、所成的角相等，则
D．若m//α，m//β，，则
例14．（2023·全国·校联考二模）（多选）已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则至少有一条与直线垂直
D．若，则
练习31．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）
A．若，且，则B．若，，，则
C．若，且，则D．若，，，则
练习32．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内（ ）
A．一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直；
B．一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直；
C．不一定存在直线与平行，一定存在直线与垂直；
D．不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直
练习33．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
练习34．（2023·四川·校考模拟预测）已知a，b是不同的两条直线，，是不同的两个平面，现有以下四个命题：
①；②；③；④．
其中，正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
练习35．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）（多选）已知l，m，n为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，l，m分别与，所成的角相等，则
C．若，，，若，则
D．若，，，则
题型八平行，垂直的综合应用
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，已知底面是菱形，且对角线与相交于点.
(1)若，求证：平面平面；
(2)设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？请说明理由.
例16．（2023春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，点M是SD的中点，且交SC于点N.
(1)求证：∥平面ACM；
(2)求证：平面平面AMN.
练习36．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.

(1)求证：直线平面；
(2)求证：平面平面；
练习37．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，，E，F分别为棱PA，PC的中点．
(1)求证：平面ABCD；
(2)若，求证：平面平面PBC．
练习38．（2023·全国·模拟预测）（多选）在正四面体中，，，分别是，，的中点，则（ ）
A．//平面
B．
C．平面平面
D．平面平面
练习39．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAB，，，N为PC的中点．
(1)若M为AB的中点，求证：平面ADP．
(2)求证：平面平面．
练习40．（2022·高三课时练习）（多选）如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是（ ）
A．PB⊥ACB．OC⊥平面PAB
C．MO∥平面PACD．平面PAC⊥平面PBC
题型一
线面平行、面面平行的判定定理
题型二
补全平行的条件
题型三
线面平行、面面平行的性质定理
题型四
线面垂直、面面垂直的判定定理
题型五
补全垂直的条件
题型六
线面垂直、面面垂直的性质定理
题型七
判断平行，垂直的有关命题
题型八
平行，垂直的综合应用