2024年通用版高考数学二轮复习专题7.2 等比数列及求和(学生版)

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题型一基本量的计算
例1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则“”是“数列的公比为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例2．（2023春·高三课时练习）在等比数列中，公比为q，前n项和为.
(1) ，，求n；
(2)，求及.
练习1．（2023春·高二课时练习）在等比数列中．
(1)若，，，求和；
(2)已知，，求.
练习2．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．64B．81C．128D．192
练习3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列满足，，若的前n项和，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
练习4．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，若其前k项和为86，则________．
练习5．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列中，是数列的前项和．若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
题型二等比中项及等比数列项的性质
例3．（2023春·高二课时练习）已知等比数列的前项和为，且，，求.
例4．（2023春·高三课时练习）已知数列为等比数列.
(1)若，且，求的值；
(2)若数列的前三项和为168，，求，的等比中项.
练习6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列为等比数列，则（ ）
A．数列，，成等比数列
B．数列，，成等比数列
C．数列，，成等比数列
D．数列，，成等比数列
练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_____________.
练习8．（2022·高三课时练习）已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.
练习9．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型三等比数列的判定与证明
例5．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足．
(1)证明：和都是等比数列；
(2)求的前项和．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列；
练习11．（2023春·湖北·高三武汉市第四十九中学校联考期中）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的条件是（ ）．
A．B．C．D．是等比数列
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列；
练习13．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知数列满足：.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，若．
(1)证明：为等比数列．
(2)求的通项公式．
练习15．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）（多选）数列中，．则下列结论中正确的是（ ）
A．是等比数列B．
C．D．
题型四等比数列前项和的性质
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.
例8．（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若，则 ________.
练习16．（2022春·辽宁·高三辽阳县第一高级中学校联考阶段练习）（多选）已知等比数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列，，，…为等比数列
C．数列，，，，…为等比数列
D．数列，，，…为等比数列
练习17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中学校联考期中）（多选）已知等比数列中，满足，，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．数列是等差数列D．数列中，，，仍成等比数列
练习18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，求由其奇数项所组成的数列的前项和．
练习19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
练习20．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（ ）
A．85B．64C．84D．21
题型五等比数列中的单调，最值问题
例9．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________．
例10．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
练习21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求的最大值和最小值．
练习22．（2023·全国·高三专题练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
练习23．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
练习24．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列D．数列为严格递增数列
练习25．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
题型六等比数列的简单应用
例11．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）．
A．B．
C．D．
练习26．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.
练习27．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗B．斗
C．斗D．斗
练习28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考期中）某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70m高度至少要经过（ ）
A．3分钟B．4分钟C．5分钟D．6分钟
练习29．（2023·四川·校联考模拟预测）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形的周长之和为（ ）
A．B．
C．D．
练习30．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（ ）元（参考数据：，）
A．35200B．43200C．30000D．32000
题型七等差、等比数列的综合应用
例13．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在正项等比数列中，若是与的等差中项，则数列的公比______.
例14．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知是首项为正数，公比不为的等比数列，是等差数列，且，那么（ ）
A．B．C．D．的大小关系不能确定
练习31．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．
(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；
(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．
练习32．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
练习33．（2023·河南·校联考模拟预测）定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列的前n项和．
练习34．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，和分别是和的前项和，则（ ）
A．B．
C．D．和的大小关系不确定
练习35．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列的公比，前项和为．若，且是与的等差中项.
(1)求；
(2)设数列满足，，数列的前项和为.求．
题型一
基本量的计算
题型二
等比中项及等比数列项的性质
题型三
等比数列的判定与证明
题型四
等比数列前项和的性质
题型五
等比数列中的单调，最值问题
题型六
等比数列的简单应用
题型七
等差、等比数列的综合应用
第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8