2024年通用版高考数学二轮复习专题2.2 基本不等式(学生版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题2.2 基本不等式(学生版)，共12页。试卷主要包含了已知，函数的最大值是__，已知，则的最小值为______等内容，欢迎下载使用。


题型一直接法求最值
例1．（2022秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知实数x，y满足，那么的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
练习3．（2021春·广西南宁·高二校考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．2C．2D．4
练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（ ）
A．B．4C．8D．
练习5．（2022秋·高三课时练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．8B．12C．D．
题型二配凑法求最值
例3．（2023·上海·高三专题练习）函数在区间上的最小值为_____________．
例4．（2022秋·新疆克拉玛依·高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知，求函数的最小值；
（2）已知，求函数的最大值.
练习6．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）设实数x满足，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
练习7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是的函数有（ ）
A．B．
C．D．
练习8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知，函数的最大值是__．
练习9．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知，则的最小值为______．
练习10．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．
题型三“1”的代换求最值
例5．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
例6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．
练习11．（2023·北京·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
练习12．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（ ）
A．5B．9C．13D．18
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．20B．32C．D．
练习14．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______．
练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为___________.
题型四消参法求最值
例7．（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.
例8．（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若，且，则的最大值为___________.
练习16．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（ ）
A．有最小值为B．有最小值为
C．有最大值为D．有最大值为
练习17．（2022秋·江苏常州·高三江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
练习18．（2022秋·陕西西安·高三西安市第三中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
练习19．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b满足，则的最小值为______；的最大值为______．
练习20．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是______.
题型五商式求最值
例9．（2023·全国·高三专题练习）设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
例10．（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）；
（3）.
练习21．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
练习22．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是______．
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则最大值为______．
练习25．（2021秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.
题型六对勾函数求最值
例11．（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______．
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于的的解集是，则（ ）
A．
B．
C．关于的不等式的解集是
D．的最小值是
练习26．（2022秋·高三课时练习）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
练习27．（2022秋·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
练习28．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－4B．4C．5D．8
练习29．（2023秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数有（ ）．
A．B．
C．D．
练习30．（2022秋·高三校考期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则有最小值B．若，则有最小值
C．若，则有最大值D．若，则有最大值
题型七利用基本不等式证明不等式
例13．（2023·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
例14．（2021秋·广西钦州·高二校考期中）证明：
(1)；
(2)．
练习31．已知，，，证明：
(1)；
(2)．
练习32．已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
练习33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）（1）求函数的最大值；
（2）已知，求证：．
练习34．已知，且，求证：
(1)；
(2).
练习35．（2021·全国·高一专题练习）证明：.
题型八利用基本不等式解决实际问题
例15．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x台这种汽车，另需投入成本（万元），当月产量不足40台时，（万元）；当月产量不小于40台时，（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．
(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．
例16．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．受地域影响，AD的长度最多能达到，其余边长没有限制．
(1)设总价为（单位：元），AD长为（单位：），试建立关于的函数关系式；
(2)当为何值时，最小？并求出这个最小值．
练习36．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
练习37．（2023春·内蒙古呼和浩特·高二统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．
(1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?
练习38.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.
(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
练习39．（2022·高三课时练习）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______．
练习40．（2022秋·安徽马鞍山·高三安徽工业大学附属中学校考期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元.
题型九基本不等式与其余知识的综合应用
例17．（2023·浙江·二模）记为正数列的前项和，已知是等差数列.
(1)求；
(2)求最小的正整数，使得存在数列，.
18．（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）已知平面向量满足且，当向量与向量的夹角最大时，向量的模为______．
练习41．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考期末）某港口的水深y（米）随着时间t（时）呈现周期性变化，经研究可用来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，求的取值范围.
练习42．（2021·北京·高三强基计划）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且，则的周长为（ ）
A．17B．18C．19D．前三个选项都不对
练习43．（2023·全国·高三专题练习）若且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
练习44．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在中，若向量在上的投影向量为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
练习45．（2022秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）已知正项等比数列的前n项和为，若S4＝8．则（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．小于D．大于
题型一
直接法求最值
题型二
配凑法求最值
题型三
“1”的代换求最值
题型四
消参法求最值
题型五
商式求最值
题型六
对勾函数求最值
题型七
利用基本不等式证明不等式
题型八
利用基本不等式解决实际问题
题型九
基本不等式与其余知识的综合应用