2024年通用版高考数学二轮复习专题2.1 不等式的性质(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题2.1 不等式的性质(教师版)，共20页。试卷主要包含了若，求证，试比较下列组式子的大小等内容，欢迎下载使用。


题型一不等式性质的应用
例1．（海南省2022届高三高考全真模拟卷（三）数学试题）（多选）如果，那么下列不等式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用特殊值法可判断BCD选项.
【详解】因为，所以，所以，故A项正确；
取，，则，则，故B项错误；
取，，则，故C项错误；
取，，，则，故D项错误．
故选：BCD．
例2．（2023秋·广东湛江·高三雷州市第一中学校考期末）（多选）已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由已知可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可.
【详解】因为实数，，满足，，所以，.
对于A：因为，所以，因为，所以，所以A错误；
对于B，若，则，因为，所以，所以B错误；
对于C，因为，，所以，所以C正确；
对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误.
故选：ABD
练习1．（2021秋·福建泉州·高三校考期中）若，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.
【详解】若，则，故A正确；
当时，，故BC错误；
当时，，故C错误.
故选：A.
练习2．（2022秋·安徽合肥·高三校考期末）下列命题为真命题的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据排除选项A；取计算验证，排除选项C，D得到答案.
【详解】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；
对于B，若，所以，则，故B正确；
对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；
对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误.
故选：B.
练习3．（2023秋·广东梅州·高三统考期末）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；
B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；
C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；
D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.
故选：BC.
练习4．（2022·海南·校联考模拟预测）（多选）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据不等式的基本性质，以及特练习，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当时，可得，此时，
所以不等式不一定成立，符合题意；
对于B中，因为，可得，
又由，所以一定成立，不符合题意；
对于C中，当时，可得，
此时，所以不一定成立，符合题意；
对于D中，由，因为，可得，当的符号不确定，
所以不一定成立，符合题意.
故选：ACD.
练习5．（2023·北京房山·统考一模）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质，讨论的正负和三种情况，得出结论．
【详解】若，当时，；
当时，；
当时，；
“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为，
故答案为：（答案不唯一）
题型二比较两个数（式）的大小
例3．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）设，比较与的大小；
（2）已知，，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案；
（2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论.
【详解】（1），，
，.
（2），，又，
又，
，
.
例4．（2021春·陕西西安·高二西安中学校考期中）设，则的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.
【详解】，，
，，
.
又，故.
则.
故选：C.
练习6．（2023秋·广东清远·高三统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】做差可判断充分性，取可判断必要性可得答案.
【详解】，
当时，，所以，
可得，所以充分性成立；
但当时，即也成立，
所以必要性不成立．
因此“”是“”的充分不必要条件．
故选：B.
练习7．（2022秋·广东江门·高三校考阶段练习）（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BCD
【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论.
【详解】依题意，正实数x，y满足，，
若，则，所以①错误.
，所以②正确.
由于，所以，所以③正确.
，所以④正确.
故选：BCD
练习8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）（多选）已知a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．D．
【答案】BC
【分析】通过举反练习可判断A项，通过构造函数研究其单调性可判断B项，运用基本不等式可判断C项，方法1：通过举反练习，方法2：作差法可判断D项.
【详解】对于A项，练习如，，，满足，，但不满足，故A项不成立；
对于B项，因为,，，所以幂函数在上为增函数，所以，故B项正确；
对于C项，因为，，，所以，当且仅当时等号成立，故C项正确；
对于D项，方法1：当，时，，，则，故D项错误．
方法2：作差法，，
因为，，
所以，
所以，故D项错误．
故选：BC.
练习9．若，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.
【详解】证明：∵a>b>0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
练习10．（2022·高一课时练习）试比较下列组式子的大小：
(1)与，其中；
(2)与，其中，；
(3)与，．
【答案】(1);
(2);
(3).
【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小；
(2)通过作差法来比较的大小；
(3) 通过作差法或作商法比较与的大小.
（1）
解：，，
因为，
所以，
即；
（2）
解：
．
因为，，所以，，
所以，
即；
（3）
方法一（作差法）
．
因为，所以，，，．
所以，
所以．
方法二（作商法） 因为，所以，，，
所以，
所以．
题型三比较法证明不等式
例5．（2022秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）已知为三角形的三边长，求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答.
（2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答.
【详解】（1）为三角形的三边长，
而，
显然，即，当且仅当时取等号，
因此，所以.
（2）为三角形的三边长，则，
于是得：，
所以.
例6．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)，bd＞0，求证：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
（2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到.
【详解】（1）证明：，
因为，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
则，，
即有，成立；
因为，，所以，，
又，所以，成立.
所以，有.
练习11．（1）设，，．试比较P与Q的大小．
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）直接作差化简得，则；
（2）利用不等式的性质与推论或者直接作差通分有，再进行符号分析即可得到答案.
【详解】（1）解：
∵，∴，∴．
（2）方法一 证明：∵，∴，∴
又，∴．
方法二 证明：
∵，，∴，∴
又，∴，∴，即.
练习12．（2022秋·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知，，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据不等式的性质可得，再根据证明即可.
【详解】，.
，，即.
，，，即.
练习13．（2022秋·河南平顶山·高二叶县高级中学校考阶段练习）已知三个不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均为实数），命题p：__________，____________________（横线上填①，②，③）．请写出2种可能的命题，并判断其真假．
【答案】答案见解析
【分析】依题意可得①，②③；①，③②；②，③①根据不等式的性质及作差法证明即可；
【详解】解：命题1：①，②③．
若①，②成立，即，，不等式两边同除以可得，即命题1为真命题．
命题2：①，③②．
若①，③成立，即，，不等式两边同乘，可得，即命题2为真命题．
命题3：②，③①．
若③，②成立，即，，则．
又，则，即命题3为真命题．
（以上三个命题中可以任意选择两个命题）
练习14．已知都是正数．求证：“”的充要条件是“”．
【答案】证明见解析
【分析】利用不等式的性质，结合充要条件的定义证明即可．
【详解】证明：必要性：若，
，，
，，即，，，，即，必要性得证；
②充分性：若，，，，
，，不等式两边同时除以，
即得到，充分性得证.
综上，的充要条件是．
练习15．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知a，b，c，d均为正数.求证：
（2）已知.求证：<的充要条件为x>y
【答案】详见解析.
【分析】（1）利用基本不等式即证；
（2）利用不等式的性质，由，可得<，由<，，可得，即证.
【详解】（1）∵a，b，c，d均为正数，
∴当且仅当时取等号，
同理可得，
∴，当且仅当时取等号；
（2）充分性，因为，，，
∴<，
必要性，因为<，，
所以，
综上，<的充要条件为 x > y.
题型四求目标式的取值范围
例7．（2022秋·广东肇庆·高二校考阶段练习）已知，且，
（1）取值范围是__________
（2）的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据不等式的性质结合条件即得.
【详解】∵，且，
∴，，
∴；
由，可得，又，
所以.
故答案为：；.
例8．（2022秋·高一单元测试）（1）设，，求，，的范围；
（2）已知，求证：.
【答案】（1），，；（2）证明见解析.
【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解；
（2）利用基本不等式的性质可知，，，从而可得，再结合即可得证.
【详解】（1），，
，，，，
，，.
故，，.
（2）证明：由，两边平方得，
根据基本不等式有，，，
当且仅当时等号成立，
将上述个不等式相加得，
即，
所以，
整理得，当且仅当时等号成立.
练习16．已知，，
(1)求的范围
(2)求的范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由不等式的性质求解，
【详解】（1）由，得，
则，即的取值范围为
（2）由，得，
即的取值范围为
练习17．（2020·北京·高三强基计划）已知，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用不等式的性质可求取值范围.
【详解】根据题意，有，
其中，因此的取值范围是,
故答案为：.
练习18．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）若，，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】运用不等式的性质进行求解即可.
【详解】由，而，所以有，
因此的取值范围为，
故答案为：
练习19．（2022秋·江苏淮安·高三江苏省洪泽中学校联考期中）若，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用不等式的性质逐步计算即可.
【详解】因为，所以，则，
又因为，所以，
故的取值范围为.
故答案为：.
练习20．（2022秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知实数、满足，，则的取值范围为_____________．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】因为，，则，，所以，，
由不等式的性质可得.
故答案为：.
题型五不等式的综合应用
例9．（2023·广东惠州·统考一模）（多选）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为，所以，则，
选项A，，故正确；
选项B，因为，且，所以，故B正确；
选项C，因为，故C错误；
选项D，因为，故D正确，
故选：ABD．
例10．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题设，，结合重要不等式、基本不等式判断各项的正误即可.
【详解】由题设，，所以，故A错；
且，而，故B对；
，故C错；
，
设，则，则在上递增，
所以，故D错.
故选：B.
练习21．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用举练习说明，排除AB；利用对数函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D.
【详解】A：若，取，则不成立，故A不符题意；
B：若，取，则不成立，故B不符题意；
C：函数在上单调递增，
由，得，故C不符题意；
D：函数在R上单调递增，
由，得；由，得，
所以“”是“”的充要条件，故D符合题意.
故选：D.
练习22．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）（多选）已知等比数列中，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A选项：根据条件结合等比数列的通项公式得到，即可判断；
对于B选项：等比数列的通项公式结合基本不等式，即可求解；
对于C选项：根据A选项得到，即可求解；
对于D选项：作差得到，根据二次函数的图像与性质，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为（），
对于A选项：由，得，即，所以A选项正确；
对于B选项：，
当且仅当，即时，等号成立，所以B选项正确；
对于C选项：，当时，，所以C选项错误；
对于D选项：（），
即，则，所以D选项正确；
故选：ABD.
练习23．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）（多选）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】设，则在上单调递增，可得可判断A；由不等式的性质可判断B；取可判断C；由指数函数的单调性结合可判断D.
【详解】因为，所以，所以．
设，则在上单调递增．
因为，所以，则A正确．
因为，，且，所以，所以，则B正确，
因为，取，则，所以C不正确.
因为，所以，所以，即，则D正确．
故选：ABD.
练习24．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】设，可得与之间的等式关系，再用换底公式进行变形，可得分子相同，通过化简，判断正负，即可判断A；同理可判断大小，即可判断B；分别化简，即可判断C；对进行化简，用对数运算法则，展开后，再用基本不等式即可判断D.
【详解】解：取，所以有，则，
则，
因为，
因为，
所以，即，故选项A错误；
因为，
因为，
所以，即，故选项B正确；
因为，
故选项C错误；
因为
，
当且仅当时取等，显然等号不成立，
故，故选项D正确.
故选：BD
练习25．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可得，，进而根据即可求解A,根据基本不等式即可判断BC,根据二次函数的性质即可判断D.
【详解】由得，，由于，所以，
所以，因此且，故A正确，
，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确，
，当且仅当时取等号，故，所以C错误，
，当且仅当取等号，又，所以或者等号成立，
故选：ABD
题型一
不等式性质的应用
题型二
比较两个数（式）的大小
题型三
比较法证明不等式
题型四
求目标式的取值范围
题型五
不等式的综合应用