北师九年级数学(下册)期中测试卷

这是一份北师九年级数学(下册)期中测试卷，共4页。试卷主要包含了角形的边角关系)，边形等内容，欢迎下载使用。


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北 师 九 年 级 数 学 ( 下 册 )
第一章综合训练
(考查范围:第一章 直角三 角形的边角关系) 满分 :120 分 训练时间 :100 分钟
一、选择题(每小题 3 分 ,共 30 分) 下列各小题均有四个选项 ,其 中只有一个是正确的.
1 . tan60 °的值为 ( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 3
2 . 如图 ,在 Rt△ABC 中 ,∠C= 90 °,∠B= 40 °,AB= 10 ,则 BC
的长是 ( )
A. 10sin40 ° B. 10cs40 ° C. 10tan40 ° D. 10
sin40 °
第 2 题图 第 4 题图 第 6 题图
3 . 在 Rt△ABC 中 ,∠C= 90 °,AC= 1 ,BC= 3 ,则 sinB 的值为
( )
1 10 3 10
A 3 B C D
. . 3 . 10 . 10
4 . 如图, 点 P 在 第 二 象 限 ,OP 与 x 轴 负 半 轴 的 夹 角 是 α,且
OP= 5 ,csα= EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 7(３),５) ,则点 P 的坐标是 ( )
A．(3 ,4) B．( - 3 ,4)
C．( - 4 ,3) D．( - 3 ,5)
5 . 在△ABC中 ,sinB＝cs(90°- ∠C)= EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 7(１),２) ,那么△ABC是
( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6 . 如图 ,AD 是 △ABC 的 高 , 若 BD= 2CD= 6 , tanC= 2 , 则
sinB＝ ( )
1 2 1 2
A． B． C． D.
2 2 3 3
7 . 一副直角三角板按如图所示的方式放置,点 A 在 ED上 ,∠F=
∠ACB= 90°,∠E= 30°,∠B= 45 °,AC= 12 ,则 BD＝ ( )
A. 3 B. 12 - 4 3 C. 12 D. 4+4 3
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第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图
8 . 如图 ,小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离 , 他在对面楼房处放置一个 3 m 的标杆 CD ,然后他在 A 处测 得 C 点的俯角 β为 53 °,再测得 D 点的俯角 α 为 45 °,则两幢
4 5
,cs53 °≈
楼房之间的水平距离大约为(参考数据:sin53 °≈
3 4
,tan53 °≈ ) ( )
5 3
A. 9 . 75 m B. 9 . 5 m C. 92 . 5 m D. 9 m
9 . 如图 , △ABC 的 顶 点 在 正 方 形 网 格 的 格 点 处 , 则 tan C 的
值为 ( )
1 2 1
A． B． C． D. 1
2 2 3
中线 , 过 点 E 作 EF⊥ AB 交 AC
10 . 如图 ,在 Rt△ABC 中 , ∠ACB= 90 °,CE 是斜边 AB 上的
于 点 F．若 BC= 4 ,
( )
sin∠CEF ,则 △AEF的面积为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题(每小题 3 分 ,共 15 分)
11 . 某河堤横截面如图所示 ,堤高 AC= 4 m,迎水坡 AB 的坡
比是 1 ∶2 ,则 AB 的长为 m.
第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图
12 . 如 图 , 在 菱 形 ABCD 中 , 对 角 线 AC, BD 相 交 于 点 O．若
tan∠BAC ,AC= 6 ,则 BD 的长是 .
13 . 如图 ,在 △ABC中 ,AB＝ BC, 以点 A 为圆心 ,AC 长为半
径画弧 ,交 BC于点C和点 D ,再分别以点 C,D 为圆心 ,大 数学 - 85 - 北师九年级 · 下册
于 CD 的长为半径画弧 ,两弧相交于点 E,作射线 AE 交 BC
于点 M．若 CM= 1 ,BD= 3 ,则 sinB= .
14 . 如图 ① ,桑梯是我国古代发明的一种采桑工具 ,古代科学家徐 光启在« 农政全书»中曾用图画描绘过它 ,它的简化图如图 ②所
示．若 AB＝AC,BC= 1 m,AD= 1 . 2 m,∠CAB= 40 °, 则 CD
的长约 为 m．(结 果 精 确 到 0 . 1 , 参 考 数 据 : sin 70 °≈ 0 . 94 ,cs70 °≈0 . 34 ,tan70 °≈2 . 75)
第 14 题图 第 15 题图
15 . 如 图 , 在 △ABC 中 , ∠ACB= 90 °, ∠A= 30 °, BC= 1 ,CD 是
△ABC 的中线 ,E 是 AC上一动点,将 △AED沿 ED 折叠,点 A 落在点 F 处 ,EF 与 CD 相交于点 G．若 △CEG是直角三角
形 ,则 CE= .
三、解答题(本大题共 8 个小题 ,共 75 分)
16 . (8 分) 计算 :3tan30 °- cs2 45 °+ °- 2sin60 °.
17 . (8 分) 在 Rt△ABC 中 ,∠C= 90 °,BC= 8 ,∠B= 60 °,求这个三
角形的其他元素.
18 . (8 分) 如图 ,Rt△ABC 的斜边 AB= 10 ,sinA .
(1) 用 尺 规 作 图 作 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 l, 分 别 交 AC,
AB 于点 D ,E(保留作图痕迹 ,不要求写作法 、证明) ;
(2) 求 DE 的长.
19 . (9 分) 动感单车是一种室内运动器械．图 ①是一辆动感单车 的实物图 , 图 ②是其侧面示意图. △BCD 为主车架 ,AB 为 调节管,点 A,B,C 在 同 一 直 线 上．已 知 BC 长 为 70 cm , ∠BCD 的度数为 58 °. 当 AB长度调至 34 cm 时 ,求点 A 到 CD 的距离 AE 的长度．(结果取整数 ,参考数据 : sin58 °≈ 0 . 85 ,cs58 °≈0 . 53 ,tan58 °≈1 . 60)
20 . (10 分) 如图 ,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离 ,数学综 合实践小组在河岸南侧选定观测点 C,测得 A,B 均在C的 北偏东 30 °方向上 ,沿正东方向行走 60m 至观测点 D ,测得 B 在 D 的北偏西 60 °方向上 ,A 在 D 的北偏西 21 °方向上 , 求 A,B 两点间的距离．(结果取整数 ,参考数据 : sin39 °≈
0 . 63 ,cs39 °≈0 . 78 ,tan39 °≈0 . 81 ,sin51 °≈0 . 78 ,cs51 °≈
0 . 63 ,tan51 °≈1 . 23 , 3 ≈1 . 73)
21 . (10 分) 如图 ,某建筑物 CD 高 96 m,它的前面有一座小山 ,
其斜坡 AB的坡度为i= 1 ∶1 . 为了测量山顶 A 的高度 ,在建
筑物顶端 D 处测得山顶 A和山脚 B 的俯角分别为α,β. 已
知 tanα= 2 ,tanβ= 4 ,求山顶 A 的高度 AE(点 C,B,E 在
同一水平线上) .
22 . (10 分) 如图 ,在 Rt△ABC中 ,∠ACB= 90 °,AC＝BC= 3 ,点 D 在边 AC上 ,且 AD= 2CD,DE⊥AB于点 E,连接 CE.
(1) 求 BE 的长 ;
(2) 求 tan∠ECB 的值.
数学 - 86 - 北师九年级 · 下册
23 . (12 分) 图 ①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄 像头视角范围内才能被识别) ,其示意图如图 ② ,摄像头 A 的仰
角 、俯角均为 15 °,摄像头高度 OA= 160 cm,识别的最远水平距 离 OB= 150 cm.
(1) 身高 208 cm 的小杜 ,头部高度为 26 cm,他站在距摄像头水 平距离为 130 cm 的点 C 处 ,请问小杜最少需要下蹲多少厘 米才能被识别?
(2) 身高 120 cm 的小若 ,头部高度为 15 cm,踮起脚尖可以增高 3 cm,但仍无法被识别 ,社区及时将摄像头的仰角 、俯角都 调整为 20 °(如图 ③) ,此时小若能被识别吗? 请计算 说 明. (参 考 数 据 : sin 15 °≈ 0 . 26 , cs 15 °≈ 0 . 97 , tan15 °≈ 0 . 27 , sin20 °≈0 . 34 ,cs20 °≈0 . 94 ,tan20 °≈0 . 36)
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账
账
北 师 九 年 级 数 学 ( 下 册 )
第一章综合训练
(考查范围:第一章 直角三 角形的边角关系) 满分 :120 分 训练时间 :100 分钟
一、选择题(每小题 3 分 ,共 30 分) 下列各小题均有四个选项 ,其 中只有一个是正确的.
1 . tan60 °的值为 ( B )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 3
2 . 如图 ,在 Rt△ABC 中 ,∠C= 90 °,∠B= 40 °,AB= 10 ,则 BC
的长是 ( B )
A. 10sin40 ° B. 10cs40 ° C. 10tan40 ° D. 10
sin40 °
第 2 题图 第 4 题图 第 6 题图
3 . 在 Rt△ABC 中 ,∠C= 90 °,AC= 1 ,BC= 3 ,则 sinB 的值为
( C )
1 10 3 10
A 3 B C D
. . 3 . 10 . 10
4 . 如图, 点 P 在 第 二 象 限 ,OP 与 x 轴 负 半 轴 的 夹 角 是 α,且
OP= 5 ,csα= EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 7(３),５) ,则点 P 的坐标是 ( B )
A．(3 ,4) B．( - 3 ,4)
C．( - 4 ,3) D．( - 3 ,5)
5 . 在△ABC中 ,sinB＝cs(90°- ∠C)= EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 7(１),２) ,那么△ABC是
( A )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6 . 如图 ,AD 是 △ABC 的 高 , 若 BD= 2CD= 6 , tanC= 2 , 则
sinB＝ ( B )
1 2 1 2
A． B． C． D.
2 2 3 3
7 . 一副直角三角板按如图所示的方式放置,点 A 在 ED上 ,∠F=
∠ACB= 90°,∠E= 30°,∠B= 45 °,AC= 12 ,则 BD＝ ( B )
A. 3 B. 12 - 4 3 C. 12 D. 4+4 3
第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图
8 . 如图 ,小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离 , 他在对面楼房处放置一个 3 m 的标杆 CD ,然后他在 A 处测 得 C 点的俯角 β为 53 °,再测得 D 点的俯角 α 为 45 °,则两幢
4 5
,cs53 °≈
楼房之间的水平距离大约为(参考数据:sin53 °≈
4
3 5
( D )
,tan53 °≈ )
3
A. 9 . 75 m B. 9 . 5 m C. 92 . 5 m D. 9 m
9 . 如图 , △ABC 的 顶 点 在 正 方 形 网 格 的 格 点 处 , 则 tan C 的
值为 ( C )
1 2 1
A． B． C． D. 1
2 2 3
10 . 如图 ,在 Rt△ABC 中 , ∠ACB= 90 °,CE 是斜边 AB 上的 中线 , 过 点 E 作 EF⊥ AB 交 AC 于 点 F．若 BC= 4 ,
sin∠CEF= EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 7(３),５) ,则 △AEF的面积为 ( C )
A. 3 B. 4 C. 5
D. 6
【解析】如 图 , 连 接 BF．在 Rt△ABC中 , ∵ CE 是 斜 边 AB 上 的 中 线 , ∴ CE= AE＝BE. ∴∠ACE= ∠A,S△ABF = 2S△AEF . ∵AE＝BE,EF⊥AB, ∴ EF 垂 直 平 分 AB,∠AEF= 90 °. ∴AF＝ BF. ∴∠ABF= ∠A. ∵ ∠CBF= 180 °- ∠ACB- ∠ABF- ∠A= 90 °- 2∠A, ∠CEF= 180 °- ∠AEF- ∠ACE- ∠A= 90 °-
2∠A, ∴ ∠CBF = ∠CEF. ∴sin∠CBF ＝ sin∠CEF ．在 Rt△CBF 中 , sin∠CBF , ∴设 CF= 3a(a＞0) , 则 BF= 5a. ∵BC2 +CF2 = BF2 , 即 42 +(3a)2 = (5a)2 , ∴a= 1 . ∴CF= 3 ,BF= 5 , ∴AF＝BF= 5 . ∴S△AEF ×AF .BC × × 5 × 4 = 5 .
二、填空题(每小题 3 分 ,共 15 分)
11 . 某河堤横截面如图所示 ,堤高 AC= 4 m,迎水坡 AB 的坡 比是 1 ∶2 ,则 AB 的长为 4 5 m.
数学 - 85 - 北师九年级 · 下册
第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图
12 . 如 图 , 在 菱 形 ABCD 中 , 对 角 线 AC, BD 相 交 于 点 O．若
tan∠BAC ,AC= 6 ,则 BD 的长是 2 .
13 . 如图 ,在 △ABC 中 ,AB＝BC, 以点 A 为圆心 ,AC长为半径画
弧 ,交 BC于点C和点 D ,再分别以点 C,D 为圆心 ,大于CD
的长为半径画弧 ,两弧相交于点 E,作射线 AE 交 BC 于点 M.
若 CM= 1 ,BD= 3 ,则 sinB= .
14 . 如图 ① ,桑梯是我国古代发明的一种采桑工具 ,古代科学家徐 光启在« 农政全书»中曾用图画描绘过它 ,它的简化图如图 ②所
示．若 AB＝AC,BC= 1 m,AD= 1 . 2 m,∠CAB= 40 °, 则 CD
的长约为 2 . 7 m．(结果精确到 0 . 1 ,参考数据 :sin70 °≈0 . 94 , cs70 °≈0 . 34 ,tan70 °≈2 . 75)
第 14 题图 第 15 题图
15 . 如 图 , 在 △ABC 中 , ∠ACB= 90 °, ∠A= 30 °, BC= 1 ,CD 是
△ABC 的中线 ,E 是 AC上一动点,将 △AED沿 ED 折叠,点 A 落在点 F 处 ,EF 与 CD 相交于点 G．若 △CEG是直角三角
形 ,则 CE= 3 1 或 .
三、解答题(本大题共 8 个小题 ,共 75 分)
16 . (8 分) 计算 :3tan30 °- cs2 45 °+ °- 2sin60 °.
解:原式= 3 × 2 +2 - 2 × 3 +2 - 3 .
17 . (8 分) 在 Rt△ABC 中 ,∠C= 90 °,BC= 8 ,∠B= 60 °,求这个三
角形的其他元素.
解:在 Rt△ABC 中 , ∵∠C= 90 °,∠B= 60 °,
∴∠A= 90 °- ∠B= 30 °,AB°= 16 ,
AC＝BC .tanB= 8tan60 °= 8 3 .
18 . (8 分) 如图 ,Rt△ABC 的斜边 AB= 10 ,sinA .
(1) 用 尺 规 作 图 作 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 l, 分 别 交 AC,
AB 于点 D ,E(保留作图痕迹 ,不要求写作法 、证明) ;
(2) 求 DE 的长.
解:(1) 如图所示 .
(2) ∵AB= 10 ,sinA , ∴ .
∴BC= 6 . ∴AC＝ AB2 - BC2 = 8 .
∴ tanA .
∵ l是 AB 的垂直平分线 , ∴AE＝BEAB= 5 . 在 Rt△ADE 中 ,tanA , 即 , ∴DE .
19 . (9 分) 动感单车是一种室内运动器械．图 ①是一辆动感单车 的实物图 , 图 ②是其侧面示意图. △BCD 为主车架 ,AB 为 调节管,点 A,B,C 在 同 一 直 线 上．已 知 BC 长 为 70 cm , ∠BCD 的度数为 58 °. 当 AB长度调至 34 cm 时 ,求点 A 到 CD 的距离 AE 的长度．(结果取整数 ,参考数据 : sin58 °≈ 0 . 85 ,cs58 °≈0 . 53 ,tan58 °≈1 . 60)
解:AC＝AB＋BC= 34+70 = 104(cm) . 在 Rt△ACE 中 ,AE＝AC .
sin∠BCD= 104sin58 °≈88(cm) .
答 : 点 A 到 CD 的 距 离 AE 的 长 度 约 为 88 cm.
20 . (10 分) 如图 ,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离 ,数学综 合实践小组在河岸南侧选定观测点 C,测得 A,B 均在C的 北偏东 30 °方向上 ,沿正东方向行走 60m 至观测点 D ,测得 B 在 D 的北偏西 60 °方向上 ,A 在 D 的北偏西 21 °方向上 , 求 A,B 两点间的距离．(结果取整数 ,参考数据 : sin39 °≈ 0 . 63 ,cs39 °≈0 . 78 ,tan39 °≈0 . 81 ,sin51 °≈0 . 78 ,cs51 °≈
0 . 63 ,tan51 °≈1 . 23 , 3 ≈1 . 73)
解 : 由题 意 得 ∠BCD= 60 °, ∠BDC= 30 °, CD= 60 m , ∴∠CBD= ∠ABD= 90 °.
∴BD＝CD . cs∠BDC= 60 cs30 °= 30 3 (m) .
易知 ∠ADC= 90 °- 21 °= 69 °, ° ° °
∴∠ADB= ∠ADC- ∠BDC= 69 - 30 = 39 .
∴AB＝BD . tan∠ADB= 30 3 tan39 °≈42(m) .
答 :A,B 两 点 间 的距离约是 42 m.
21 . (10 分) 如图 ,某建筑物 CD 高 96 m,它的前面有一座小山 ,
其斜坡 AB的坡度为i= 1 ∶1 . 为了测量山顶 A 的高度 ,在建
筑物顶端 D 处测得山顶 A和山脚 B 的俯角分别为α,β. 已
知 tanα= 2 ,tanβ= 4 ,求山顶 A 的高度 AE(点 C,B,E 在
同一水平线上) .
解:如图 ,过点 A 作 AF⊥CD,垂足为 F.
设 AE＝x m.
∵斜坡 AB 的坡度为 i= 1 ∶1 , ∴BE＝AE＝x m.
在 Rt△BDC 中 , ∵∠C= 90 °,CD= 96 m ,∠DBC= β,
∴BC 24(m) .
∴CE＝BE＋BC＝(x+24) m.
易知 四 边形 AECF是矩形 ,
∴AF＝CE＝(x+24) m ,CF＝AE＝x m. 在 Rt△ADF 中 , ∵∠AFD= 90 °,∠DAF= α, ∴DF＝AF . tanα= 2(x+24) m.
又 ∵DF＝CD－CF＝(96 - x) m ,
∴2(x+24) = 96 - x,解得 x= 16 . ∴AE= 16 m.
答 : 山 顶 A 的 高度 AE 为 16 m.
22 . (10 分) 如图 ,在 Rt△ABC中 ,∠ACB= 90 °,AC＝BC= 3 ,点 D 在边 AC上 ,且 AD= 2CD,DE⊥AB于点 E,连接 CE.
(1) 求 BE 的长 ;
(2) 求 tan∠ECB 的值.
解:(1) 在 Rt△ABC中 , 由勾股定理得 ,
AB＝ AC2 +BC2 = 3 2 +3 2 = 3 2 . ∵AC= 3 ,AD= 2CD, ∴AD= 2 .
∵△ABC是等腰直角 三 角形 ,
∴∠BAC= ∠ABC= 45 °.
∴AE＝AD . cs∠BAC= 2cs45 °= 2 . ∴BE＝AB－AE= 3 2 - 2 = 2 2 .
(2) 如图 ,过点 E 作 EF⊥BC 于 点 F, 则 ∠EFB= 90 °. ∵∠EBF= 45 °,
∴EF＝ BE . sin∠EBF= 2 2 sin45 °= 2 , BF＝ BE . cs∠EBF= 2 2 cs45 °= 2 .
∴CF＝BC－BF= 3 - 2 = 1 . ∴tan∠ECB 2 .
数学 - 86 - 北师九年级 · 下册
23 . (12 分) 图 ①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄 像头视角范围内才能被识别) ,其示意图如图 ② ,摄像头 A 的仰
角 、俯角均为 15 °,摄像头高度 OA= 160 cm,识别的最远水平距 离 OB= 150 cm.
(1) 身高 208 cm 的小杜 ,头部高度为 26 cm,他站在距摄像头水 平距离为 130 cm 的点 C 处 ,请问小杜最少需要下蹲多少厘 米才能被识别?
(2) 身高 120 cm 的小若 ,头部高度为 15 cm,踮起脚尖可以增高 3 cm,但仍无法被识别 ,社区及时将摄像头的仰角 、俯角都 调整为 20 °(如图 ③) ,此时小若能被识别吗? 请计算 说 明. (参 考 数 据 : sin 15 °≈ 0 . 26 , cs 15 °≈ 0 . 97 , tan15 °≈ 0 . 27 , sin20 °≈0 . 34 ,cs20 °≈0 . 94 ,tan20 °≈0 . 36)
解:(1) 如图 ② ,过点 C 作水平线的 垂 线 , 分 别 交 仰 角 线 、俯 角线 于 点 D,E, 交水平线于 点 F.
易得 四 边形 AOCF是矩形 ,
∴CF＝OA= 160 cm ,AF＝OC= 130 cm.
在 Rt△ADF 中 ,tan∠DAF ,
∴DF＝AF . tan∠DAF= 130 tan15 °≈35 . 1(cm) .
∴CD＝CF＋DF= 160+35 . 1 = 195 . 1(cm) ,208 - 195 . 1 = 12 . 9(cm) .
∴ 小杜最少需要下蹲 12 . 9 cm 才能被识别 .
(2) 如图 ③ ,过点 B 作 OB 的 垂 线 , 分 别 交 仰 角 线 、俯 角线 于 点 M ,N , 交 水 平线于 点 P.
易得 四 边形 AOBP 是矩形 ,
∴AP＝OB= 150 cm ,BP＝OA= 160 cm.
在 Rt△APN 中 ,tan∠NAP ,
∴NP＝AP . tan∠NAP= 150 tan20 °≈54(cm) . ∴BN＝ BP－NP= 160 - 54 = 106(cm) .
∵ 小若踮起脚尖后头顶 离 地面的 高度为 120+3 = 123(cm) , ∴此时小若头顶超出 点 N 的 高度为 123 - 106 = 17(cm) .
而 17 cm＞15 cm , ∴踮起脚尖时小若能被识别 .