陕西省西安市第一中学等学校2023-2024学年高三阶段性测试（八）理科数学试题

这是一份陕西省西安市第一中学等学校2023-2024学年高三阶段性测试（八）理科数学试题，共11页。试卷主要包含了已知集合，，则，已知，则，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则的虚部为（ ）
A.2B.1C.D.
2.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
3.某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天的最高气温（单位：℃），数据如下：
则这8天的气温数据的极差为（ ）
A.10B.12C.13D.14
4.已知非零向量满足，，若，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A.B.C.D.
6.已知，则（ ）
A.B.C.D.
7.社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目，某地举行的一次社火活动一共持续了三天，5名小朋友希望参加该活动，每天从中任选2名小朋友参加，则这5人中恰有1人连续参加三天的选法有（ ）
A.42种B.210种C.300种D.480种
8.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，D，E分别为棱，的中点，为棱AB上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
9.已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为A，P为上横坐标为1的点，直线PA与轴交于点M，O为坐标原点，则（ ）
A.1B.C.D.
10.已知函数，（）的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（ ）
A.B.C.D.
11.已知点A，B在抛物线上，设的焦点为，线段AB的中点在的准线上的射影为，且，则向量，的夹角的最大值为（ ）
A.B.C.D.
12.一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备用一个半径为的扇形铁片作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）.若该漏斗的容积为，且漏斗的顶点及底面圆周都在球的表面上，则当最小时，球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设等差数列的前项和为，，，则__________.
14.设实数x，y满足约束条件则的最小值为__________.
15.已知直线与均与相切，点在上，则的方程为__________.
16.设，对任意的实数，记函数，（表示m，n中的较小者）.若方程恰有5个不同的实根，则满足题意的条件可能为__________.（填写所有符合题意的条件的序号）
①；②，或；③，；④，.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
设等比数列的前项和为，已知，.
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和.
18.（12分）
2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每个学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查男、女生各100人，发现选择《红楼梦》的有90人，其中女生占.
（I）补充完整下述列联表，并判断能否有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关；
（II）已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，现从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
19.（12分）
如图，在圆台中，为轴截面，，，C为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点，.
（I）求证：平面平面；
（II）若为等边三角形，求平面和平面的交线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
已知双曲线的左、右顶点分别是，直线与交于M，N两点（不与重合），设直线，，l的斜率分别为，且.
（I）判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
（II）若M，N分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.
21.（12分）
已知函数，.
（I）求曲线与的公切线的条数；
（II）若，，，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（，t为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求圆的极坐标方程；
（II）设直线与圆的两个交点分别为M，N，求的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，，函数.
（I）当时，解不等式；
（II）若的最小值为2，证明：.
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
T（℃）
8
12
8
14
16
11
18
21
《红楼梦》
《三国演义》
合计
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
天一大联考
2023-2024学年高中毕业班阶段性测试（八）
理科数学（老教材版）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.B2.D3.C4.B5.A6.A
7.C8.A9.D10.B11.C12.D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.14.15.16.②③④
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解析（I），，.
，，
，则的公比为，.
（II），，
，
两式相减可得
.
18.解析（I）列联表补充如下：
因为，
所以有的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关.
（II）由题可知，的所有可能取值为0，1，2，3，选择《红楼梦》的学生是女生的概率为，
所以.
所以，
，
，
，
所以的分布列为
所以.
19.解析（I）因为，所以，
又平面，平面，所以平面.
因为垂直下底面圆于点，垂直下底面圆于点，所以，
又平面，平面，故平面.
又，，平面，所以平面平面.
（II）在等腰梯形中，易知，所以.
如图，以为坐标原点，过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则即
取.
因为，平面，所以平面，
又平面平面，所以，
所以平面和平面的交线与平面所成的角等于直线OC与平面所成的角.
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20.解析由题可知，，，设直线的方程为，，.
由消去，可得，
则，，即，
，.
（I）因为
，
所以，
故直线的方程为，恒过点.
（II）由题可知，直线的方程为，直线的方程为，
因为
所以，
故点在定直线上.
21.解析（I）设直线与曲线，分别切于点，.
因为，，
所以，
即，也即，
解得或.
所以曲线与的公切线的条数为2.
（II）由题意，不等式即.
当时，，即，又，所以.
下面证明：当时，在上恒成立.
令，则，
当时，，当时，，
所以，即.
要证明，只需证明对任意的，恒成立.
令，则，
令，可得.
①当，即时，在上恒成立，则在上单调递增，
于是.
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
于是.
令，则，所以在上单调递增，
于是，所以恒成立.
综上可知，的取值范围是.
22.解析（I）消去参数，可得圆的普通方程是，即.
将，代入可得圆的极坐标方程为.
（II）将直线的参数方程代入圆的普通方程可得，
所以，.
易知直线过定点，设M，N对应的参数分别为.
如图，可知，，所以，，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为4.
23.解析（I）由题可知
所以由，得或或
解得或，
故不等式的解集为或.
（II）因为，
所以，所以，
所以，
所以，
当且仅当，时等号成立，原不等式得证.《红楼梦》
《三国演义》
合计
男生
30
70
100
女生
60
40
100
合计
90
100
200
0
1
2
3
P