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2024年江苏省南京市外国语学校仙林分校 中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年江苏省南京市外国语学校仙林分校 中考一模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年江苏省南京市外国语学校仙林分校中考一模数学试题原卷版docx、2024年江苏省南京市外国语学校仙林分校中考一模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.
3.答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.
4、作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷.用科学记数法表示3990000是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：C．
2. 实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数轴，以及有理数四则运算法则．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
由数轴得出且，再根据有理数的加减运算法则逐一判断即可得．
【详解】解：由数轴知且，
则是负数，是负数，是负数，是正数，
故选：D．
3. 整数a满足 则a的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值．
详解】解：∵，
∴，
故选：B．
4. 如图，是⊙O的直径，点是的中点，弦与交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据弧，弦之间的关系得，可得，最后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】连接，
∵是的直径，
∴．
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
故选：B．
5. 如图，在边长为2的正方形中，E是边上一点，将沿翻折，得到．若为等边三角形，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形与折叠问题，等边三角形的性质，勾股定理等知识，过点作，交于，则四边形是矩形，根据等边三角形、正方形与折叠的性质可得，，，，得，，再根据勾股定理即可求解．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形中，，
由折叠可知，，，，
∴，
过点作，交于，则四边形是矩形，
∵为等边三角形，
∴，则，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
在中，，即：，
解得：，
故选：A．
6. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案．
【详解】解： ，，
∴点C与点B关于y轴对称；
由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误；
，
由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
选项不正确，
故选：B．
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
7. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
【答案】3
【解析】
【详解】根据分式的有意义的条件，分母不能为0，可知x-3≠0，解得x≠3，
因此符合题意的x的取值范围为x≠3．
故答案为：x≠3．
【点睛】本题考查分式的意义条件，熟练掌握分母不为0是分式有意义的条件是解题的关键．
8. 计算的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点，首先利用二次根式的乘法法则进行计算，再对二次根式进行化简，最后加减运算即可，熟练掌握运算法则是解决此题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
9. 分解因式的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间(单位：分钟)是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是____________．
【答案】80
【解析】
【分析】本题考查中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此进行解答即可．
【详解】解：∵数据54，62，74，86，90，97处在中间的两个数为74，86，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：80．
11. 计算的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先计算，同时根据乘方意义把改写成，然后利用乘法结合律计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12. 如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，若S△ABC＝12，则b＝_________．
【答案】6
【解析】
【分析】先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于b的方程，解方程即可．
【详解】解：设A点坐标为（m，），则B点坐标为（-m，-），
∴C点坐标为（m，-），
∴AC=，BC=2m，
∴△ABC的面积=AC•BC=•2m•=12，
∴b=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质表示出A、B、C的坐标是解题的关键．
13. 一次函数图象经过点，当时，，则k的值可以是___________．（写出一个即可）
【答案】7（答案不唯一，满足即可）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，将代入得，可知当时，，由此可得，求解即可，根据一次函数的性质得是解决问题关键．
【详解】解：将代入得：，即，
亦即：，
当时，，
∵，即，
∴，
故答案为：7（答案不唯一，满足即可）．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A，C分别在x轴、y轴上，以 为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为，则点D的坐标为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、正方形性质，垂径定理等知识点，过点作，交与点，连接，设得半径为，由正方形的性质及垂径定理可得，，，在根据勾股定理即可求解．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，交与点，连接，设得半径为，
∵，
∴在正方形中，，，
∵以 为弦的⊙D与y轴相切，，
∴，则是直径一部分
则，，
由垂径定理可得，
在中，，即：，
解得：，
∴点的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，将矩形绕点A旋转，使点B的对应点恰好落在上．若 连接，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形及等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是证明和是相似三角形，此题难度不大．
作于M， 于N，先用勾股定理求出， 进而用等积法得到AM，利用三角函数及等腰三角形的性质求出，最后证明，得成比例的线段即可得到的长度．
【详解】解∶
作于M， 于N，
，
，
矩形中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
16. 如图，在中，，是高，若，则的长的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】取中点，过点作，过点作，交于，连接，，可证明，得，则，是的垂直平分线，可知，由三角形三边关系可知，，当、、三点共线时取等号，即可求得的最小值为．
【详解】解：取中点，过点作，过点作，交于，连接，，
则，，
∴，
∴，
∵，是高，
∴，，
∴，
∴，则，
∵为中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
由三角形三边关系可知，，当、、三点共线时取等号，
即：的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，勾股定理，三角形三边关系，垂直平分线的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形，由三角形三边关系得是解决问题的关键．
三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得．熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组 并写出不等式组的整数解．
【答案】，整数解为整数解为、0、1．
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
所以其整数解为、0、1．
19. 人口数据是研究经济社会发展规划的重要依据，阅读以下统计图，并回答问题．
年中国城镇人口和乡村人口的统计图
（1）下列结论中，正确结论的序号是 ；
①2023年的总人口比2017年的总人口少；
②2017年我国乡村人口比上一年下降约；
③年我国城镇人口逐年增长，且增长率相同．
（2）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口相关的结论．
【答案】（1）② （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图：
（1）根据条形统计图中的数据进行逐一判断即可；
（2）根据条形统计图中的数据进行描述即可．
【小问1详解】
解：2023年的总人口14.09亿人比2017年的总人口14亿人多，故①错误；
2017年我国乡村人口比上一年下降约，故②正确；
年我国城镇人口逐年增长，但增长率逐不同，故③错误；
综上，正确结论的序号是②，
故答案为：②；
【小问2详解】
根据统计图可得，
①年我国城镇人口逐年增长，年我乡村人口逐年减少，说明我国逐渐向城镇化靠拢；
②年我国总人口逐年增长，但2023年有所下降，说明我国出生率有所上升．
20. 某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，
（1）甲从A 通道进入博物馆的概率是 ；
（2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率．
【答案】（1）
（2）甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为
【解析】
【分析】本题考查的是利用概率的定义求解概率，列表法或树状图法求解概率，熟练掌握概率的定义，以及列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键．
（1）直接利用概率公式求解可得答案；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：进入博物馆总共有三个通道，即三种可能的结果，并且他们发生的可能性相等，
而甲从A 通道进入博物馆是三种可能结果中的一种结果，其概率为：，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意列表如下：
总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种，
则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 ，
答：甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为．
21. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等，求甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个?
【答案】甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．设甲机器人每小时检测零件x个，则乙机器人每小时检测零件个，根据题意，列出关于x的方程，求解并检验即可．
【详解】解：设甲机器人每小时检测零件x个，则乙机器人每小时检测零件个，
根据题意有：，
解得：，
经检验是原方程的解，
个．
答：甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个．
22. 如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，，，当的长为 时，四边形是菱形．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握它们的判定方法并灵活运用．
（1）根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可；
（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求出的值．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：作于点G，作于点H，
,
四边形是矩形，
,
，
,
,
，
,
在中，，
设,
，则,
在中，，
，
解得：，
∴当时，四边形是菱形．
23. 如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作.无人机悬停在P 处，测得前方水平地面上大树的顶端B 的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为．已知点A，B，C，D，P 在同一平面内，大树的高度为，建筑物的高度 为，大树与建筑物的距离为，求无人机在P 处时离地面的高度（参考数据： ，）．
【答案】无人机在处时离地面的高度
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点作，过点作，过点作，得，，，，设，则，，利用锐角三角函数的定义表示出，的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，过点作，过点作，
则四边形，四边形均为矩形，
∴，，，，
由题意可知，，，
设，则，，
在中，，
在中，，
则，解得：，
即：无人机在处时离地面的高度．
24. 某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用)
【答案】（1）
（2）当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键．
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
当时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当时，w取得最大值，此时，
∵，
∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104元，
答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104元．
25. 如图，与相交于点E，连接，，．经过A，B，C三点的交于点F，且是的切线．
（1）连接，求证：；
（2）求证：
（3）若，，，，则的半径为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，交于点，由切线性质可知，由，，，可推导，进而可知，由垂径定理可得，垂直平分，即可证明结论；
（2）如图，连接，由（1）知，，则，结合圆周角定理可证，进而可证明，得，即可证明结论；
（3）如图，连接并延长交于点，连接，，结合题意知，由（2）可知，，可得，由（2）知，则，继而可得，可知垂直平分，得，由此可得，设半径为，则，，在中，，列出方程即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，交于点，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由垂径定理可得，垂直平分，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
由（1）知，，则，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：；
小问3详解】
解：如图，连接并延长交于点，连接，，
∵，，则，
由（2）可知，，
∴，
由（2）知，则，即，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
设半径为，则，，
在中，，即：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟悉相关图形的性质，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键．
26. 已知二次函数 ．
（1）求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且 求证
（3）若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）先求出，然后利用不等式的性质证明即可；
（2）利用根与系数的关系得出，，结合，求出， ，然后代入，整理即可得证；
（3）分对称轴在y轴左侧和右侧讨论，分别画出草图，结合图象列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴，
又，
∴，即，
∴该函数的图像与x轴总有两个公共点；
【小问2详解】
解∵该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为
∴，是的两个根，
∴，，
联立方程组，
解得，
把代入，得，
整理得；
【小问3详解】
解：∵，都在该二次函数的图像上，
∴抛物线的对称轴为，
当，即时，
∵，
∴画出草图，如下：
或
此时B的横坐标小于0，不符合题意，舍去；
当，即时，
∵，
∴画出草图，如下：
∴，解得；
或
∴，解得，
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图象，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键．
27. 几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系…
在 中，P是上一点，点E 在直线的上方，连接，，，探究下列问题：
【认识模型】
（1）如图①，，
①连接，求证：；
②与满足的数量关系为 ；
【运用模型】
（2）已知，D 是的中点，且，
①如图②，若P是的中点，连接，求证：；
②若 ，当点P在上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出的长的最小值．
【答案】（1）①见解析；②；（2）①见解析；②的最小值为1
【解析】
【分析】（1）①由相似三角形的性质可知，，得，，即可证明结论；
②根据相似三角形的性质可知，，再结合三角形的内角和定理即可得结论；
（2）①先证，得，由中位线定理及斜边上中线等于斜边得一半可得，，则，，再根据相似三角形的性质可知，，进而可得，即可证明结论；
②由含直角三角形可得，，进而可得，由三边关系可知，，则，当、、三点共线时，最小，此时，由相似三角形的性质可知，则，得，由，得，可得，由相似三角形的性质得 ，求得 ，即可得 的最小值为1．
【详解】解：（1）①证明：∵，
∴，，
则，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，，
则，，
∴，
∴；
∴，
∵是的中点，是的中点，，
∴，，
则，，
∵，
∴，，
则，
∴；
②∵，，，
∴，则，
∵是的中点，
∴，
由三边关系可知，，则，当、、三点共线时，最小，此时，
∵，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，即：，
∴，
则，
即：的最小值为1．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．甲
乙
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
注意事项：
1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.
3.答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.
4、作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷.用科学记数法表示3990000是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：C．
2. 实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数轴，以及有理数四则运算法则．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
由数轴得出且，再根据有理数的加减运算法则逐一判断即可得．
【详解】解：由数轴知且，
则是负数，是负数，是负数，是正数，
故选：D．
3. 整数a满足 则a的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值．
详解】解：∵，
∴，
故选：B．
4. 如图，是⊙O的直径，点是的中点，弦与交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据弧，弦之间的关系得，可得，最后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】连接，
∵是的直径，
∴．
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
故选：B．
5. 如图，在边长为2的正方形中，E是边上一点，将沿翻折，得到．若为等边三角形，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形与折叠问题，等边三角形的性质，勾股定理等知识，过点作，交于，则四边形是矩形，根据等边三角形、正方形与折叠的性质可得，，，，得，，再根据勾股定理即可求解．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形中，，
由折叠可知，，，，
∴，
过点作，交于，则四边形是矩形，
∵为等边三角形，
∴，则，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
在中，，即：，
解得：，
故选：A．
6. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案．
【详解】解： ，，
∴点C与点B关于y轴对称；
由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误；
，
由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
选项不正确，
故选：B．
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
7. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
【答案】3
【解析】
【详解】根据分式的有意义的条件，分母不能为0，可知x-3≠0，解得x≠3，
因此符合题意的x的取值范围为x≠3．
故答案为：x≠3．
【点睛】本题考查分式的意义条件，熟练掌握分母不为0是分式有意义的条件是解题的关键．
8. 计算的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点，首先利用二次根式的乘法法则进行计算，再对二次根式进行化简，最后加减运算即可，熟练掌握运算法则是解决此题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
9. 分解因式的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间(单位：分钟)是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是____________．
【答案】80
【解析】
【分析】本题考查中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此进行解答即可．
【详解】解：∵数据54，62，74，86，90，97处在中间的两个数为74，86，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：80．
11. 计算的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先计算，同时根据乘方意义把改写成，然后利用乘法结合律计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12. 如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，若S△ABC＝12，则b＝_________．
【答案】6
【解析】
【分析】先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于b的方程，解方程即可．
【详解】解：设A点坐标为（m，），则B点坐标为（-m，-），
∴C点坐标为（m，-），
∴AC=，BC=2m，
∴△ABC的面积=AC•BC=•2m•=12，
∴b=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质表示出A、B、C的坐标是解题的关键．
13. 一次函数图象经过点，当时，，则k的值可以是___________．（写出一个即可）
【答案】7（答案不唯一，满足即可）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，将代入得，可知当时，，由此可得，求解即可，根据一次函数的性质得是解决问题关键．
【详解】解：将代入得：，即，
亦即：，
当时，，
∵，即，
∴，
故答案为：7（答案不唯一，满足即可）．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A，C分别在x轴、y轴上，以 为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为，则点D的坐标为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、正方形性质，垂径定理等知识点，过点作，交与点，连接，设得半径为，由正方形的性质及垂径定理可得，，，在根据勾股定理即可求解．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，交与点，连接，设得半径为，
∵，
∴在正方形中，，，
∵以 为弦的⊙D与y轴相切，，
∴，则是直径一部分
则，，
由垂径定理可得，
在中，，即：，
解得：，
∴点的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，将矩形绕点A旋转，使点B的对应点恰好落在上．若 连接，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形及等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是证明和是相似三角形，此题难度不大．
作于M， 于N，先用勾股定理求出， 进而用等积法得到AM，利用三角函数及等腰三角形的性质求出，最后证明，得成比例的线段即可得到的长度．
【详解】解∶
作于M， 于N，
，
，
矩形中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
16. 如图，在中，，是高，若，则的长的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】取中点，过点作，过点作，交于，连接，，可证明，得，则，是的垂直平分线，可知，由三角形三边关系可知，，当、、三点共线时取等号，即可求得的最小值为．
【详解】解：取中点，过点作，过点作，交于，连接，，
则，，
∴，
∴，
∵，是高，
∴，，
∴，
∴，则，
∵为中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
由三角形三边关系可知，，当、、三点共线时取等号，
即：的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，勾股定理，三角形三边关系，垂直平分线的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形，由三角形三边关系得是解决问题的关键．
三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得．熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组 并写出不等式组的整数解．
【答案】，整数解为整数解为、0、1．
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
所以其整数解为、0、1．
19. 人口数据是研究经济社会发展规划的重要依据，阅读以下统计图，并回答问题．
年中国城镇人口和乡村人口的统计图
（1）下列结论中，正确结论的序号是 ；
①2023年的总人口比2017年的总人口少；
②2017年我国乡村人口比上一年下降约；
③年我国城镇人口逐年增长，且增长率相同．
（2）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口相关的结论．
【答案】（1）② （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图：
（1）根据条形统计图中的数据进行逐一判断即可；
（2）根据条形统计图中的数据进行描述即可．
【小问1详解】
解：2023年的总人口14.09亿人比2017年的总人口14亿人多，故①错误；
2017年我国乡村人口比上一年下降约，故②正确；
年我国城镇人口逐年增长，但增长率逐不同，故③错误；
综上，正确结论的序号是②，
故答案为：②；
【小问2详解】
根据统计图可得，
①年我国城镇人口逐年增长，年我乡村人口逐年减少，说明我国逐渐向城镇化靠拢；
②年我国总人口逐年增长，但2023年有所下降，说明我国出生率有所上升．
20. 某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，
（1）甲从A 通道进入博物馆的概率是 ；
（2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率．
【答案】（1）
（2）甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为
【解析】
【分析】本题考查的是利用概率的定义求解概率，列表法或树状图法求解概率，熟练掌握概率的定义，以及列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键．
（1）直接利用概率公式求解可得答案；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：进入博物馆总共有三个通道，即三种可能的结果，并且他们发生的可能性相等，
而甲从A 通道进入博物馆是三种可能结果中的一种结果，其概率为：，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意列表如下：
总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种，
则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 ，
答：甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为．
21. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等，求甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个?
【答案】甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．设甲机器人每小时检测零件x个，则乙机器人每小时检测零件个，根据题意，列出关于x的方程，求解并检验即可．
【详解】解：设甲机器人每小时检测零件x个，则乙机器人每小时检测零件个，
根据题意有：，
解得：，
经检验是原方程的解，
个．
答：甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个．
22. 如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，，，当的长为 时，四边形是菱形．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握它们的判定方法并灵活运用．
（1）根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可；
（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求出的值．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：作于点G，作于点H，
,
四边形是矩形，
,
，
,
,
，
,
在中，，
设,
，则,
在中，，
，
解得：，
∴当时，四边形是菱形．
23. 如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作.无人机悬停在P 处，测得前方水平地面上大树的顶端B 的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为．已知点A，B，C，D，P 在同一平面内，大树的高度为，建筑物的高度 为，大树与建筑物的距离为，求无人机在P 处时离地面的高度（参考数据： ，）．
【答案】无人机在处时离地面的高度
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点作，过点作，过点作，得，，，，设，则，，利用锐角三角函数的定义表示出，的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，过点作，过点作，
则四边形，四边形均为矩形，
∴，，，，
由题意可知，，，
设，则，，
在中，，
在中，，
则，解得：，
即：无人机在处时离地面的高度．
24. 某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用)
【答案】（1）
（2）当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键．
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
当时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当时，w取得最大值，此时，
∵，
∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104元，
答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104元．
25. 如图，与相交于点E，连接，，．经过A，B，C三点的交于点F，且是的切线．
（1）连接，求证：；
（2）求证：
（3）若，，，，则的半径为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，交于点，由切线性质可知，由，，，可推导，进而可知，由垂径定理可得，垂直平分，即可证明结论；
（2）如图，连接，由（1）知，，则，结合圆周角定理可证，进而可证明，得，即可证明结论；
（3）如图，连接并延长交于点，连接，，结合题意知，由（2）可知，，可得，由（2）知，则，继而可得，可知垂直平分，得，由此可得，设半径为，则，，在中，，列出方程即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，交于点，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由垂径定理可得，垂直平分，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
由（1）知，，则，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：；
小问3详解】
解：如图，连接并延长交于点，连接，，
∵，，则，
由（2）可知，，
∴，
由（2）知，则，即，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
设半径为，则，，
在中，，即：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟悉相关图形的性质，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键．
26. 已知二次函数 ．
（1）求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且 求证
（3）若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）先求出，然后利用不等式的性质证明即可；
（2）利用根与系数的关系得出，，结合，求出， ，然后代入，整理即可得证；
（3）分对称轴在y轴左侧和右侧讨论，分别画出草图，结合图象列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴，
又，
∴，即，
∴该函数的图像与x轴总有两个公共点；
【小问2详解】
解∵该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为
∴，是的两个根，
∴，，
联立方程组，
解得，
把代入，得，
整理得；
【小问3详解】
解：∵，都在该二次函数的图像上，
∴抛物线的对称轴为，
当，即时，
∵，
∴画出草图，如下：
或
此时B的横坐标小于0，不符合题意，舍去；
当，即时，
∵，
∴画出草图，如下：
∴，解得；
或
∴，解得，
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图象，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键．
27. 几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系…
在 中，P是上一点，点E 在直线的上方，连接，，，探究下列问题：
【认识模型】
（1）如图①，，
①连接，求证：；
②与满足的数量关系为 ；
【运用模型】
（2）已知，D 是的中点，且，
①如图②，若P是的中点，连接，求证：；
②若 ，当点P在上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出的长的最小值．
【答案】（1）①见解析；②；（2）①见解析；②的最小值为1
【解析】
【分析】（1）①由相似三角形的性质可知，，得，，即可证明结论；
②根据相似三角形的性质可知，，再结合三角形的内角和定理即可得结论；
（2）①先证，得，由中位线定理及斜边上中线等于斜边得一半可得，，则，，再根据相似三角形的性质可知，，进而可得，即可证明结论；
②由含直角三角形可得，，进而可得，由三边关系可知，，则，当、、三点共线时，最小，此时，由相似三角形的性质可知，则，得，由，得，可得，由相似三角形的性质得 ，求得 ，即可得 的最小值为1．
【详解】解：（1）①证明：∵，
∴，，
则，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，，
则，，
∴，
∴；
∴，
∵是的中点，是的中点，，
∴，，
则，，
∵，
∴，，
则，
∴；
②∵，，，
∴，则，
∵是的中点，
∴，
由三边关系可知，，则，当、、三点共线时，最小，此时，
∵，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，即：，
∴，
则，
即：的最小值为1．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．甲
乙
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
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