2024年江苏省无锡外国语学校中考数学一模试题（原卷版+解析版）

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1. 实数9的平方根为（ ）
A 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可．
【详解】解：实数9的平方根为，
故选：D．
2. 函数中，自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，
故选：B
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
4. 将函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可.
【详解】解：将函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是，
故选：C
5. 分式的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式.
【详解】解：原式=，
故选C.
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握运算法则是解题关键.
6. 如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，在网格中构造直角三角形，由图知是等腰直角三角形，从而得到，，，再利用中，正切函数值的定义求解即可得到．
【详解】解：作于，如图所示：
设小正方形边长为，由图知是等腰直角三角形，
，，
，
在中，，
的值是，
故选：．
【点睛】本题考查网格中求三角函数值，熟记三角函数定义，根据图形，准确构造直角三角形是解决问题的关键．
7. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ）
A. 2，3B. 2，9C. 4，18D. 4，27
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数和方差的知识，说明了当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍，据此求解即可．
【详解】解：数据，，，，的平均数是2，方差是3，
数据，，，，的平均数为：，方差为：．
故选：D．
8. 下列四个命题不正确的是（ ）
A. 各角相等的圆内接五边形是正五边形B. 各边相等的圆内接五边形是正五边形
C. 各角相等圆内接六边形是正六边形D. 各边相等的圆内接六边形是正六边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多边形与圆的关系，根据正多边形的性质及正多边形与圆的关系逐项判断即可，熟记正多边形的概念及正多边形与圆的关系是解题的关键．
【详解】解：A、如图：
，
，即：，
，
，
同理可得：，
五边形是正五边形，则命题正确，故A不符合题意；
B、由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，可以证明该五边形的各角相等，因此命题正确，故B不符合题意；
C、如图：
，
，
，
，
同理可得：，，
只能证明该六边形的隔边相等，因此命题不正确，故C符合题意；
D、由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系可以证明该六边形的各角相等，因此命题正确，故D不符合题意．
故选：C．
9. 如图，在正方形中，是延长线上一点，在上取一点，使点关于直线的对称点落在上，连接交于点，连接交于点，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是（ ）
A. ②③④B. ①②③C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．如图1中，过点作于，证明即可判断①；过点作于，于，于．证明即可判断②；如图2中，过点作于，交于．先证明，再证明即可判断③；利用勾股定理计算，即可判断④．
【详解】解：如图1中，过点作于．
，关于对称，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，，故①正确，
，
过点作于，于，于．
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点作于，交于．
，关于对称，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③错误，
，，
，，，
，故④正确，
故选：D．
10. 二次函数，若当时，，则当时，函数值的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴交点，抛物线的交点个数与对应的一元二次方程的判别式的关系，二次函数的性质等知识，有一定的综合性．由对称轴公式求出抛物线的对称轴；再由a的范围得，设抛物线与轴交点为，（其中，则可确定t的范围及的范围，再由的范围两端的临界值，得对应的函数值，从而可得答案．
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线．
，
．
．
设与轴交点为，（其中，
即：，
当时，，且抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，或1时，，
，．
，
当，即时，随着的增大而减少，
当时，，
，
，
当时，，
，
当时，，
函数值的取值范围为．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11. 分解因式：2a3﹣8a=________．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】．
12. 年月日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到年全国城镇新增就业万人，将数据万用科学记数法表示是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：万，
故答案为：．
13. 某一次函数的图象经过点，且函数的值随着自变量的增大而减小，请你写一个符合条件的函数表达式：___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，根据一次函数的性质，待定系数法解答即可．熟练掌握性质和待定系数法是解题的关键．
【详解】解：设一次函数解析式为，
函数的值随着自变量的增大而减小，
，
当时，，
把代入得，
解得，
满足条件的一次函数可为．
故答案为．
14. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．
【答案】26
【解析】
【详解】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2．4，AE=10米，AE⊥BD，
∵i=，
∴BE=24米，
∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．
15. 等边△AOB的边长为4，如图所示地放置在平面直角坐标系中，点B绕点A旋转30°，恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝_____．

【答案】4﹣8或8
【解析】
【分析】分两种情形：当点B绕点A顺时针旋转30°得到AB′，AB′交OB于H．当点B绕点A逆时针旋转30°得到AB″，过点A作AM⊥y轴于M，过点B″作B″N⊥MA交MA的延长线于N．分别求出B′，B″的坐标即可．
【详解】解：当点B绕点A顺时针旋转30°得到AB′，AB′交OB于H．

∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵∠BAB′＝30°，
∴∠OAB′＝∠BAB′，
∴AH⊥OB，OH＝BH＝2，
∴AH＝＝＝2，
∵AB＝AB′＝4，
∴HB′＝4﹣2，
∴B′（2，2﹣4），
∵点B′在y＝上，
∴k＝4-8．
当点B绕点A逆时针旋转30°得到AB″，过点A作AM⊥y轴于M，过点B″作B″N⊥MA交MA的延长线于N．
∵∠OAB＝60°，∠BAB″＝30°，
∴∠OAB″＝90°，
∵∠AMO＝∠N＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，∠OAM+∠NAB″＝90°，
∴∠AOM＝∠NAB″，
∵AO＝AB″，
∴△AMO≌△B″NA（AAS），
∴AM=NB″＝2，，
∴MN＝AM+AN＝2+2，
∴B″（2+2，2﹣2），
∵B″在y＝上，
∴k＝（2+2）（2﹣2）＝8，
综上所述，满足条件的k的值为4﹣8或8．
故答案为4﹣8或8．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16. 如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】．
【解析】
【详解】试题解析：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，
在RT△AOC中，∵OA=2，OC=1，
∴cs∠AOC=，AC=
∴∠AOC=60°，AB=2AC=2，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB
=
=，
S阴影=S半圆-2S弓形ABM
=π×22-2（）
=2．
故答案为2．
17. 已知函数，且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是__．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，一次函数图象等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
先化简为，得出无论取何值，恒过，画出题中分段函数图象，结合随值不同，绕进行旋转，观察图象即可求解．
【详解】解：可化为，
无论取何值，恒过，
该函数图象随值不同，绕进行旋转，
作出题中，两个函数图象如下：
，
由图象可得，与轴的交点为，
当经过，时恰好与有两个交点，此时，
由图象可得，当时，的倾斜程度越缓，与只有一个交点，故的取值范围是，
当时，与平行，与只有一个交点，故的取值范围是，
综上所述，当时，关于，的二元一次方程有两组解．
故答案为：．
18. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，且，分别交，于点M，N．设和的面积分别为和，若，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于，得，设，，表示出其他线段以及与，再根据列出方程并解出即可；
【详解】解：如图，过点作于，

四边形为正方形，，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，，，
，
∴，
设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，辅助线的添加是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共96分）
19. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，负整数指数幂，乘法公式：
（1）先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和负整数指数幂，最后计算加减法即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
【详解】解：（1），
，，，
则，
，
即，；
（2）由得：，
由得：，
则不等式组的解集为
21. 如图，、是的对角线上两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握这两个基础知识点是解题关键
（1）根据平行四边形的判定和性质证明即可；
（2）根据矩形的判定得出是矩形，再由矩形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，，
是矩形，
，
．
22. 某校组织了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识调查活动，了解同学们在哪些方面的安全意识薄弱，便于今后更好地开展安全教育活动．根据调查结果，绘制出图1，图2两幅不完整的统计图．
请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次调查的人数为___________，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占_________%；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有1500名学生，请估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数；
(4)请你根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议．
【答案】（1）50， 40；（2）补图见解析；（3）120人；（4）见解析.
【解析】
【分析】(1)用“其他”的人数除以“其他”所占的百分比可得总人数，防校园欺凌意识薄弱的人数除以总人数即可该项目所占的百分比；
(2)防交通事故的百分比乘总人数得到该项目的人数，再画图；
(3)用样本估计总体，防溺水意识薄弱的人数的百分比乘总人数可得到总体中该项目的人数；
(4)答案不唯一，合理即可．
【详解】(1)本次调查的人数为8÷16%=50，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占20÷50×100%=40%，所以答案为50， 40；
(2)防交通事故意识薄弱人数为24%×50=12，补全图形如图；
(3)1500×=120(人)；
(4)答案不唯一，合理即可，如：应加强防校园欺凌的宣传力度，培养同学们的安全意识．
23. 为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用概率公式求概率，准确画出列表是解题关键．
（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；
（2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可．
【小问1详解】
解：第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为、、、，列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果，
所以小惠被抽中的概率为．
24. 某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克千克之间（含20千克和50千克）时，每千克批发价是5元；若超过50千克时，批发的这种蔬菜全部打八折．
（1）此种蔬菜的日销售量（千克）受零售价（元千克）的影响较大，为此该经销商试销一周获得如上数据（是的一次函数），根据以上数据求出与之间的函数关系式；
（2）若每天批发的蔬菜能够全部销售完，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）零售价定为6元时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大，最大利润为120元
【解析】
【分析】本题是一次函数与二次函数实际应用的综合题，掌握待定系数法求一次函数的步骤及二次函数求最值是解题的关键．
（1）利用待定系数法，把点，代入一次函数解析式，求出待定系数即可；
（2）设当日可获利润w（元），日零售价为x元，根据第（1）问及题意列出关于w和x的函数关系式，再根据二次函数的图象和性质及实际意义得出最大值．
【小问1详解】
解：设，把，代入得：
，
解得，
；
【小问2详解】
设经销商销售此种蔬菜的当日利润为元，
①当时，即，
解得：，
∴，
，
当时，最大值为67.5，此时；
②当时，即，
解得：，
∴，
，
当时，取最大值120，此时；
，
零售价定为6元时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大，最大利润为120元．
25. 已知中，，，，点E、F分别在边AC、边BC上（点E不与点A重合，点F不与点B重合），连接EF，将沿着直线EF翻折后，点C恰好落在边AB上的点D处，过点D作，交射线AC于点M．设，．
（1）如图1，当点M与点C重合时，求的值；
（2）如图2，当点M在线段AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求AD的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出．由垂直的定义求出，由题意可得：，即可求解．
（2）根据题意得出，根据直角三角形的性质证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（3）分两种情况讨论：①当点M在线段上时，②当点M在的延长线上时，利用勾股定理和相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，设交于点K，则，
∴，
∴，
∴点E为的中点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：①当点M在线段上时，
∵，
∴，
由（2）得：
∴，即，
∴，
∵，
∴，
过点F作于点H，
∴，
在中，，
∴；
②当点M在的延长线上时，
∵，
∴，
根据题意得：，
∴
∴，即，
∴，
∵，
∴，
过点F作于点G，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．
26. 某数学兴趣小组，开展项目式学习，问题如下：
如图，抛物线与轴正半轴分别交于、两点（点在点的右边），与轴交于点，点为抛物线上位于第一象限内的一动点（在的右侧），过点、的直线交轴于点，过点、的直线交轴于点，连接、、，试探究、、、之间的数量关系．为研究该问题，小组拟采用问题研究的一般路径一一从特殊到一般的研究方法：
（1）设，，．
①若点的横坐标为3，请计算 ；比较大小： （填“”，“ ”或“”）．
②若点的横坐标为，上述与之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）小明在研究时发现：当、两点的横坐标为，时，将抛物线变形为，研究此问题更加方便，请借助小明的发现验证你的猜想．
（3）请利用上述经验，解决项目式问题，若，请直接写出的取值范围 ．
【答案】（1）①，；②成立，证明见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的解析式和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先写出抛物线的表达式，得出点A、B的坐标，继而得出直线的表达式，则，，即可求解；
（2）求出点、N的坐标，即可求解；
（3）由求解即可．
【小问1详解】
①由题意得，抛物线的表达式为：，
当时，，即点，
令，则或2，
即点、的坐标分别为：、，
设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，则点的坐标为：，
同理可得，点，
则，，
即，，
故答案为：，；
②与之间的数量关系仍然成立，理由如下：
设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点的坐标为：，
同理可得，点，
则，，
即，；
即；
【小问2详解】
；理由如下：
设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点的坐标为：，
同理可得，点，
则，，
即；
【小问3详解】
，
设，
则，
，
故答案为：．
零售价（元千克）
5
5.5
6
6.5
7
日销售量（千克）
90
75
60
45
30