2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数为无理数的是( )
A. 3B. 3.14C. 2 2D. 237
2.如图，表示互为相反数的两个点是( )
A. 点A与点BB. 点A与点DC. 点C与点BD. 点C与点D
3.12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6名进入决赛，如果小粉知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，小粉需要知道这12位同学的成绩的
( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
4.下列运算正确的是( )
A. a+ b= a+bB. 2 a×3 b=5 ab
C. 5+ 3=5 3D. 20− 5= 5
5.分式方程2x−3=1x的解是( )
A. x=1B. x=−1C. x=3D. x=−3
6.在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AD=5，AC=10，BD=6，△BOC的周长为( )
A. 13B. 16C. 18D. 21
7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上的一点，ED⊥AB，垂足为D，若AD=4，则BE的长为( )
A. 3 5
B. 3 6
C. 185
D. 3
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点D的坐标为(4,3)，将菱形ABCD向右平移m个单位，使点D刚好落在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，则m的值为( )
A. 5B. 6C. 203D. 323
9.如图，在塔前的平地上选择一点A，由A点看塔顶的仰角是α，在A点和塔之间选择一点B，由B点看塔顶的仰角是β.若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m，AB=9m，α=45°，β=50°，则塔的高度大约为m．( )
(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)
A. 55.5
B. 54
C. 46.5
D. 45
10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0，c>1)，经过点(2,0)，其对称轴是直线x=12.则下列结论：①abc0时，y随x增大而减小；④a+b=0.其中正确的结论有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.代数式 x+42在实数范围内有意义时，x应满足的条件是______．
12.因式分解：4x3−x=______．
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60°，∠B=30°，若CD=3cm，则BD=______cm．
14.关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
15.如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到▱AB′C′D′(点B与点B′是对应点，点C与点C′是对应点，点D与点D′是对应点)，此时，点B′恰好落在BC边上，则∠C= ______．
16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，若延长FH交边BC于点M，则DH的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解方程：x2+6x+5=0．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC和∠ABC.求证：AD=CD，AB=CB．
19.(本小题6分)
已知T=aa2−1−1a+1．
(1)化简T；
(2)已知反比例函数y= 2x的图象经过点A(a−1,a+1)，求T的值．
20.(本小题6分)
“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”(21.0975公里)进行调查．
(1)为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：
已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人；
(2)本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．
21.(本小题8分)
某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
22.(本小题10分)
如图，二次函数y=−14(x+a)(x−3a)(a>0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点E．
(1)尺规作图：作抛物线的对称轴，交x轴于点D，并标记抛物线的顶点C，连接AE，且AE与对称轴相交于点F；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，若AO=2OE，求∠CAD的大小及AF的值．
23.(本小题10分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D．
(1)求证：AO平分∠BAC；
(2)若BC=12，sin∠BAC=35，求AC和CD的长．
24.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB= 3AD，AG= 3AE.矩形AGFE绕着点A旋转，连接BG，CF，AC，AF．
(1)求证：△ABG∽△ACF；
(2)当CE的长度最大时，
①求BG的长度；
②在△ACF内是否存在一点P，使得CP+AP+ 3PF的值最小？若存在，求CP+AP+ 3PF的最小值；若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
已知二次函数y=ax2+2ax+c图象与x轴交于点A和点B(−3,0)，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求点A的坐标；
(2)若点D是直线BC上方的抛物线上的一点，过点D作DE/​/y轴交射线AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，求3 2DF−DE的最大值及此时点D坐标；
(3)在(2)的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足∠PBQ=90°，试求点D到直线PQ的最大距离．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：3是整数，3.14，237是分数，它们都不是无理数；
2 2是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：3和−3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．
故选：B．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
3.【答案】B
【解析】解：由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少．
故选：B．
由题意，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
本题主要考查统计的有关知识，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：A． a与 b不能合并，所以A选项不符合题意；
B.2 a×3 b=6 ab，所以B选项不符合题意；
C.5与 3不能合并，所以C选项不符合题意；
D. 20− 5=2 5− 5= 5，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的加法运算对A选项、C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论是解题的关键．
将分式方程转化为整式方程，求出x的值，检验即可得出答案．
【解答】
解：2x−3=1x，
方程两边都乘x(x−3)得：2x=x−3，
解得：x=−3，
检验：当x=−3时，x(x−3)≠0，
∴x=−3是原方程的解．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：∵▱ABCD的两条对角线交于点0，AC=10，BD=6，AD=5，
∴BO=DO=3，AO=CO=5，BC=AD=5
∴△BOC的周长为：BO+CO+BC=3+5+3=13．
故选：A．
利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出BO，CO的长，即可得出△BOC的周长．
此题主要考查了平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分，得出BO，CO的长是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC= AB2−AC2= 102−82=6，
∵ED⊥AB于点D，AD=4，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴AEAB=ADAC=48=12，
∴AE=12AB=12×10=5，
∴CE=AC−AE=8−5=3，
∴BE= BC2+CE2= 62+32=3 5，
故选：A．
由∠C=90°，AB=10，AC=8，求得BC=6，由∠ADE=∠C=90°，∠A=∠A，证明△AED∽△ABC，则AEAB=ADAC，求得AE=5，则CE=AC−AE=3，即可根据勾股定理求得BE= BC2+CE2=3 5，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AED∽△ABC是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：(1)作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为(4,3)，
∴FO=4，DF=3，
∴DO=5，
∴AD=5，
∴A点坐标为：(4,8)，
∴xy=4×8=32，
∴k=32；
(2)将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为(4+m,3)．
代入y=32x，得到3=32m+4，解得m=203．
即菱形ABCD平移的距离为=203个单位长度．
故选：C．
将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为(4+m,3)，由D′在反比例函数图象上，将点D′代入反比例函数解析式，求出m的值，问题可解．
本题考查了反比例函数图象和菱形性质的应用，解答此题的关键是知道反比例函数图象上点的坐标特征．
9.【答案】A
【解析】解：如图：由题意得ED=BF=AG=1.5m，
∵α=45°，CE⊥EG，
∴∠ECG=α=45°，
∴CE=GE，
设CE=GE=x m，
则EF=(x−9)m，
在Rt△CEF中，tanβ=tan50°=CEEF=xx−9，
即xx−9≈1.2，
解得x=54，
∴CD=CE+ED=54+1.5=55.5(m)，
答：塔的高度大约为55.5m．
故选：A．
首先证明CE=EG，再利用tan50°=CEEF即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用−俯角仰角问题，解决本题的关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=12，
∴点(2,0)关于直线x=12的对称点的坐标为(−1,0)，
∵c>1，
∴抛物线开口向下，
∴a0，
∴abc