2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数为无理数的是（ ）
A．3B．3.14C．D．
2．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（ ）
A．点A与点BB．点A与点DC．点C与点BD．点C与点D
3．（3分）12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6名进入决赛，如果小粉知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，小粉需要知道这12位同学的成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）分式方程＝的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3
6．（3分）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AD＝5，AC＝10，BD＝6，△BOC的周长为（ ）
A．13B．16C．18D．21
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上的一点，ED⊥AB，垂足为D，若AD＝4，则BE的长为（ ）
A．B．C．D．3
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3），将菱形ABCD向右平移m个单位，使点D刚好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则m的值为（ ）
A．5B．6C．D．
9．（3分）如图，在塔前的平地上选择一点A，由A点看塔顶的仰角是α，在A点和塔之间选择一点B，由B点看塔顶的仰角是β．若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m，AB＝9m，α＝45°，β＝50°，则塔的高度大约为（ ）m．
（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
A．55.5B．54C．46.5D．45
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1），经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．则下列结论：①abc＜0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a无实数根；③当x＞0时，y随x增大而减小；④a+b＝0．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 ．
12．（3分）因式分解：4x3﹣x＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝ cm．
14．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
15．（3分）如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到▱AB′C′D′（点B与点B′是对应点，点C与点C′是对应点，点D与点D′是对应点），此时，点B′恰好落在BC边上，则∠C＝ ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，若延长FH交边BC于点M，则DH的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程：x2+6x+5＝0．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC和∠ABC．求证：AD＝CD，AB＝CB．
19．（6分）已知T＝．
（1）化简T；
（2）已知反比例函数y＝的图象经过点A（a﹣1，a+1），求T的值．
20．（6分）“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查．
（1）为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：
已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为 人；
（2）本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．
21．（8分）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
（1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
（2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
22．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x+a）（x﹣3a）（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点E．
（1）尺规作图：作抛物线的对称轴，交x轴于点D，并标记抛物线的顶点C，连接AE，且AE与对称轴相交于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若AO＝2OE，求∠CAD的大小及AF的值．
23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC＝12，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．
24．（12分）如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD＝4，AE＝2，，．矩形AGFE绕着点A旋转，连接BG，CF，AC，AF．
（1）求证：△ABG∽△ACF；
（2）当CE的长度最大时，
①求BG的长度；
②在△ACF内是否存在一点P，使得的值最小？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2+2ax+c图象与x轴交于点A和点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求点A的坐标；
（2）若点D是直线BC上方的抛物线上的一点，过点D作DE∥y轴交射线AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，求3DF﹣DE的最大值及此时点D坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足∠PBQ＝90°，试求点D到直线PQ的最大距离．
2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：3是整数，3.14，是分数，它们都不是无理数；
2是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
3．【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【解答】解：由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少．
故选：B．
【点评】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
4．【分析】根据二次根式的加法运算对A选项、C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．2×3＝6，所以B选项不符合题意；
C．5与不能合并，所以C选项不符合题意；
D． ﹣＝2﹣＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
5．【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x的值，检验即可得出答案．
【解答】解：＝，
方程两边都乘x（x﹣3）得：2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的解．
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论是解题的关键．
6．【分析】利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出BO，CO的长，即可得出△BOC的周长．
【解答】解：∵▱ABCD的两条对角线交于点0，AC＝10，BD＝6，AD＝5，
∴BO＝DO＝3，AO＝CO＝5，BC＝AD＝5
∴△BOC的周长为：BO+CO+BC＝3+5+3＝13．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分，得出BO，CO的长是解题关键．
7．【分析】由∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，求得BC＝6，由∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，证明△AED∽△ABC，则＝，求得AE＝5，则CE＝AC﹣AE＝3，即可根据勾股定理求得BE＝＝3，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝＝6，
∵ED⊥AB于点D，AD＝4，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴AE＝AB＝×10＝5，
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3，
∴BE＝＝＝3，
故选：A．
【点评】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AED∽△ABC是解题的关键．
8．【分析】将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（4+m，3），由D′在反比例函数图象上，将点D′代入反比例函数解析式，求出m的值，问题可解．
【解答】解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴FO＝4，DF＝3，
∴DO＝5，
∴AD＝5，
∴A点坐标为：（4，8），
∴xy＝4×8＝32，
∴k＝32；
（2）将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（4+m，3）．
代入y＝，得到3＝，解得m＝．
即菱形ABCD平移的距离为＝个单位长度．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象和菱形性质的应用，解答此题的关键是知道反比例函数图象上点的坐标特征．
9．【分析】首先证明CE＝EG，再利用tan50°＝即可求出答案．
【解答】解：如图：由题意得ED＝BF＝AG＝1.5m，
∵α＝45°，CE⊥EG，
∴∠ECG＝α＝45°，
∴CE＝GE，
设CE＝GE＝x m，
则EF＝（x﹣9）m，
在Rt△CEF中，tanβ＝tan50°＝＝，
即1.2，
解得x＝54，
∴CD＝CE+ED＝54+1.5＝55.5（m），
答：塔的高度大约为55.5m．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，解决本题的关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
10．【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴﹣＝，得出b＝﹣a，判断a，b与0的关系，得到a+b＝0，abc＜0，即可判断①④；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴点（2，0）关于直线x＝的对称点的坐标为（﹣1，0），
∵c＞1，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴顶点在x轴的上方，
∵a＜0，
∴抛物线与直线y＝a有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝，
∴当x＞时，y随x增大而减小；故③错误；
∵﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a+b＝0，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．【分析】根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x+4≥0，
解得x≥﹣4．
故答案为：x≥﹣4．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
12．【分析】先提取公因式x，再用平方差公式即可．
【解答】解：4x3﹣x
＝x（4x2﹣1）
＝x（2x+1）（2x﹣1），
故答案为：x（2x+1）（2x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
13．【分析】利用三角形的外角性质定理和给出的已知数据可求出∠BAD＝30°，所以△ABD为等腰三角形，即AD＝BD，再利用30°角的直角三角形可解，进而求出BD的长．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴BD＝AC＝2CD＝6cm，
故答案为：6．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的外角性质定理、等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的有关知识．属于基础题目．
14．【分析】根据方程有两个实数根，得出Δ≥0且k﹣1≠0，求出k的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：由题意知：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×3（k﹣1）＝16﹣12k≥0且k﹣1≠0，
解得：k≤且k≠1．
则k的取值范围是k≤且k≠1．
故答案为：k≤且k≠1．
【点评】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；③Δ＜0⇔方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．
15．【分析】根据旋转的性质，得出AB＝AB′，再利用等边对等角求出∠B的度数，最后根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠C的度数．
【解答】解：由旋转可知，
AB＝AB′，∠BAB′＝30°，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查旋转的性质及平行四边形的性质，熟知图形旋转的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
16．【分析】点F与点D重合，此时点M在BC边上，且DH的值最大，由折叠得DH＝FH＝FA＝DA＝2，则DH的最大值为2；连接DE，因为HE＝AE＝BE＝AB＝1，∠A＝90°，所以DE＝＝，由DH+HE≥DE，得DH≥﹣1，则DH的最小值为﹣1，所以DH的最值范围是﹣1≤DH≤2，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，点F与点D重合，此时点M在BC边上，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴DA＝AB＝2，
由折叠得DH＝FH＝FA＝DA＝2，
∴DH的最大值为2；
如图2，连接DE，
∵E为AB的中点，
∴HE＝AE＝BE＝AB＝1，
∵∠A＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴DH+HE≥DE，
∴DH+1≥，
∴DH≥﹣1，
∴DH的最小值为﹣1，
∴DH的最值范围是﹣1≤DH≤2，
故答案为：﹣1≤DH≤2．
【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x+1）（x+5）＝0，
x+1＝0或x+5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了实数的运算．
18．【分析】利用AAS 可得△ABD≌△CBD，即可得答案．
【解答】证明：∵BD平分∠ADC和∠ABC，
∴∠ADC＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA）．
∴AD＝CD，AB＝CB．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键．
19．【分析】（1）化成同分母的分式，然后根据加法法则计算即可；
（2）根据反比例函数系数k＝xy得到（a﹣1）（a+1）＝，代入（1）中化简的T的式子即可求解．
【解答】解：（1）T＝
＝﹣
＝；
（2）∵反比例函数y＝的图象经过点A（a﹣1，a+1），
∴（a﹣1）（a+1）＝，
∴T＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握分式加法的法则以及反比例函数系数k＝xy是解题的关键．
20．【分析】（1）由表格可知，随调查总人数的增加，参加“半程马拉松”频率接近0.30，根据用样本估计总体，用20000乘以0.30即可得出答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好录取2名初中生志愿者的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由表格可知，随调查总人数的增加，参加“半程马拉松”频率接近0.30，
∴本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为20000×0.30＝6000（人）．
故答案为：6000．
（2）将2名初中生分别记为A，B，1名高中生记为C，1名大学生记为D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的结果有：AB，BA，共2种，
∴恰好录取2名初中生志愿者的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体，熟练掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题的关键．
21．【分析】（1）设购进甲种圆规的单价是x元，乙种圆规的单价是y元，根据“购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设这个文具店购进m个甲种圆规，则购进（100﹣m）个乙种圆规，利用总利润＝每个甲种圆规的销售利润×购进甲种圆规的数量+每个乙种圆规的销售利润×购进甲种圆规的数量，结合总利润不低于480元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进甲种圆规的单价是x元，乙种圆规的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种圆规的单价是10元，乙种圆规的单价是8元；
（2）设这个文具店购进m个甲种圆规，则购进（100﹣m）个乙种圆规，
根据题意得：（15﹣10）m+（12﹣8）（100﹣m）≥480，
解得：m≥80，
∴m的最小值为80．
答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．【分析】（1）按要求作AB的中垂线即为抛物线的对称轴，即可求解；
（2）求出点A、E的坐标，由AO＝2OE，即3a＝2×a2，求出a的值，进而求解．
【解答】解：（1）按要求作AB的中垂线即为抛物线的对称轴，再按要求作图如下：
（2）对于y＝﹣（x+a）（x﹣3a），当x＝0时，y＝a2＝OE，
令y＝﹣（x+a）（x﹣3a）＝0，
解得：x＝﹣a或3a，
则OA＝3a，
∵AO＝2OE，即3a＝2×a2，
解得：a＝0（舍去）或2，
则点A的坐标为：（6，0）、点E（0，3）、点C（2，4），
则CD＝4＝AD，
故∠CAD＝45°，
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝2时，y＝2，即yD＝2，
则AF＝＝＝2．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到图象作图、一次函数的图象和性质等，综合性强，难度适中．
23．【分析】（1）先延长AO交BC于H，连接BO，AB＝AC，OB＝OC，因此A，O在线段BC的垂直平分线上，则AO⊥BC，又因为AB＝AC，所以AO平分∠BAC．
（2）延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径，∠EBC＝90°，BC⊥BE，可知∠E＝∠BAC，sin∠E＝sin∠BAC，因而＝，CE＝BC＝10，利用勾股定理得：BE＝＝8，OA＝OE＝CE＝5，可知AH⊥BC，因此BE∥OA，＝，即＝，即可得出OD，而CD＝5+OD＝，由BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，可知OH是△CEB的中位线，因此OH＝BE＝4，CH＝BC＝3，则AH＝5+4＝9，在Rt△ACH中，利用勾股定理得：AC＝＝＝3．
【解答】解：（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴A，O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴AO平分∠BAC．
（2）延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径，
∵∠EBC＝90°，BC⊥BE，
∴∠E＝∠BAC，sin∠E＝sin∠BAC，
∴＝，CE＝BC＝10，
∴BE＝＝8，OA＝OE＝CE＝5，
∵AH⊥BC，
∴BE∥OA，
∴＝，即＝，
解得：OD＝，
∴CD＝5+＝，
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，
∴OH是△CEB的中位线，
∴OH＝BE＝4，CH＝BC＝3，
∴AH＝5+4＝9，
在Rt△ACH中，AC＝＝＝3．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，角平分线，垂径定理，圆周角定理和解直角三角形，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键．
24．【分析】（1）根据题意，计算出＝＝，∠EAF＝∠FAG＝30°，然后求得∠FAC＝∠BAG，即可证明△ABG∽△ACF；
（2）①当C，A，E三点共线时，AC+AE＝CE，CE的长度最大，由（1）知BC＝4，AC＝8，AE＝2，EF＝2，△ABG∽△ACF，可得CF＝＝＝4，＝，因此BG＝CF×＝2．
②如图3，将AP绕着点A顺时针旋转30°，且使AK＝AP，连接PK，根据△APK边角关系，可得PK＝AP；同理将AF绕着点A顺时针旋转30°，得到AL，且使AL＝AF，连接LK，根据旋转，可得∠PAF＝∠KAL，根据两边对应成比例且夹角相等可得：△APF∽△AKL，因此KL＝PF，由于CP+PK+KL≥CL，即CP+AP+PF≥CL，因此当C，P，K，L四点共线时，CL最小，由题意可知：∠LAC＝150°，AF＝4，AC＝8，AL＝4，过点L作LQ垂直CA的延长线于点Q，可得∠LAQ＝30°，可知QL＝2，AQ＝6，在Rt△CLQ中，根据勾股定理得CL＝＝4，因此CP+AP+PF的最小值为4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，CD＝AB＝AD＝4，AD＝4，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AC＝8，
∴∠BAC＝30°，＝＝，
∵AG＝AE＝2，AE＝FG＝2，
∴AF＝＝4，
∴＝＝，∠EAF＝∠FAG＝30°，
∵∠FAG＝∠FAC+∠CAG＝30°，
∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝30°，
∴∠FAC＝∠BAG，
∴△ABG∽△ACF；
（2）解：①如图2，AC+AE≥CE，当C，A，E三点共线时，AC+AE＝CE，CE的长度最大，
由（1）知BC＝4，AC＝8，AE＝2，EF＝2，△ABG∽△ACF，
∴CF＝＝＝4，＝，
∴BG＝CF×＝2．
解：②如图3，将AP绕着点A顺时针旋转30°，且使AK＝AP，连接PK，
根据△APK边角关系，可得PK＝AP；
同理将AF绕着点A顺时针旋转30°，得到AL，且使AL＝AF，连接LK，
根据旋转，可得∠PAF＝∠KAL，
根据两边对应成比例且夹角相等可得：△APF∽△AKL，
∴KL＝PF，
∵CP+PK+KL≥CL，即CP+AP+PF≥CL，
∴当C，P，K，L四点共线时，CL最小，
由题意可知∠LAC＝150°，AF＝4，AC＝8，AL＝4，过点L作LQ垂直CA的延长线于点Q，可得∠LAQ＝30°，
∴QL＝2，AQ＝6，
在Rt△CLQ中，根据勾股定理得CL＝＝4，
∴CP+AP+PF的最小值为4．
【点评】本题考查的是相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
25．【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）证明FD＝DN，则3DF﹣DE＝3DF﹣DE＝3（yD﹣yN）﹣（yD﹣yE）＝4yD﹣3yN﹣yE，即可求解；
（3）由tan∠PBM＝tan∠BQN，即，得到mn﹣（m+n）＝﹣2，设直线PQ的表达式为：y＝kx+c，得到k＝﹣m﹣n﹣2，c＝mn+3，则直线PQ的表达式为：y＝（﹣m﹣n﹣2）x+mn+3＝（m+n）（1﹣x）﹣2x+1，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，则x＝﹣3或1，
即点A（1，0）；
（2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣3x+3，
同理可得，直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点D（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，m+3）、E（m，﹣3m+3），
延长DE交BC于点N，
由点B、C的坐标知，∠BCO＝45°＝∠DNF，
则FD＝DN，
则3DF﹣DE＝3DF﹣DE＝3（yD﹣yN）﹣（yD﹣yE）＝4yD﹣3yN﹣yE＝4（﹣m2﹣2m+3）﹣3（m+3）+3m﹣3＝﹣4m2﹣8m＝﹣（m+1）2+4≤4，
故m＝﹣1时，3DF﹣DE的最大值为4，此时，点D（﹣1，4）；
（3）设点P、Q的坐标分别为：（m，﹣m2﹣2m+3）、（n，﹣n2﹣2n+3），
过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，
∵∠PBQ＝90°，
∴∠PBM+∠QBN＝90°，
∵∠QBN+∠BQN＝90°，
∴∠PBM＝∠BQN，
∴tan∠PBM＝tan∠BQN，即，
即＝，
整理得：mn﹣（m+n）＝﹣2，
设直线PQ的表达式为：y＝kx+c，
将点P、Q坐标分别代入上式得：﹣m2﹣2m+3＝km+c且﹣n2﹣2n+3＝kn+c，
解得：k＝﹣m﹣n﹣2，c＝mn+3，
则直线PQ的表达式为：y＝（﹣m﹣n﹣2）x+mn+3，
∵mn﹣（m+n）＝﹣2，
则y＝（m+n）（1﹣x）﹣2x+1，
当x＝1时，y＝﹣1，
∴直线PQ恒过（1，﹣1），
∴点D到PQ的增大距离是点D到该点的距离＝．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，图象的平移，求一次函数的解析式，解直角三角形，利用解直角三角形的方法确定P、Q的关系是解题的关键．
调查总人数
20
50
100
200
500
参加“半程马拉松”人数
7
17
31
58
150
参加“半程马拉松”频率
0.35
0.34
0.31
0.29
0.30