2023-2024学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线l1：(a−1)x+y−1=0和直线l2：6x+ay+2=0平行，则a=( )
A. −2B. −2或3C. 3D. 不存在
2.圆O1：x2+y2−2x=0与圆O2：x2+y2−4y=0的位置关系是( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有( )
A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条
4.设椭圆x22+y2=1的左右焦点为F1，F2，点P在该椭圆上，则使得△PF1F2为等腰三角形的点P的个数为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.双曲线x24−y25=1的离心率为______．
6.若直线l：x+my+5=0的倾斜角为π4，则实数m的值为______．
7.已知椭圆x24+y23=1长轴的一个顶点为A，短轴的一个顶点为B，则|AB|= ______．
8.已知两点A(3,4)、B(−5,6)，则直线AB的斜截式方程是______．
9.若三点A(−1,2)、B(3,4)、C(5,m)共线，则m的值为______．
10.已知抛物线的焦点是圆x2+y2−3x−1=0的圆心，则该抛物线的标准方程为______．
11.若双曲线经过点P(4,3)，它的一条渐近线方程为y=12x，则双曲线的标准方程为______．
12.若O为坐标原点，P是直线x−y+2=0上的动点，则|OP|的最小值为______．
13.已知椭圆x2a2+y212=1(a>2 3)的左、右焦点分别为F1，F2，若过F1且斜率为34的直线与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⋅F2F1=0，则a的值为______．
14.省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为______米.
15.已知双曲线x29−y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交该双曲线于点A、B，且AF1⋅AF2=0，F2B+2F2A=0，则△F1AB的面积为______．
16.能使得命题“曲线x29−y2a2=1(a≠0)上存在四个点A，B，C，D满足四边形ABCD是正方形”为真命题的一个实数a是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知△ABC中，A(−2,1)，B(4,3)．
(1)若C(3,−2)，求BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
(2)若点M(3,1)为边AC的中点，求BC边所在直线的一般式方程．
18.(本小题10分)
已知抛物线C：y2=4x的焦点为F．
(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若|AF|=3，求线段AB的长．
19.(本小题10分)
如图，某苗圃有两个入口A、B，|AB|=100，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的C处，已知|CA|=80，|CB|=88，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．
(1)工人计划将树苗运送至P(7,1)处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
(2)工人将C处树苗运送到苗圃内点P处时，发现从两个入口A、B运输的最近距离相等，求出的点P所有可能的位置．
20.(本小题10分)
已知点B(2,0)是椭圆Γ：x24+y29=1的一个顶点．
(1)若椭圆Γ的焦点分别为F1、F2，求△BF1F2的面积；
(2)设P、Q是椭圆D上相异的两点，有如下命题：“若|BP|=|BQ|，则P与Q关于x轴对称.”；请判断该命题的真假，并说明理由．
21.(本小题14分)
已知椭圆Γ1：x24+y23=1，抛物线Γ2：y2=8x若直线l与曲线Γ1交于点A、B，直线l与曲线Γ2分别交于点C、D.当|AB|=|CD|时，则称直线l是曲线Γ1与Γ2的“等弦线”．
(1)求椭圆Γ1的离心率；
(2)直线m同时满足以下两个条件：①直线m经过原点②直线m是Γ1与Γ2的“等弦线”.请求出m的方程；
(3)已知点T(x0,0)，−23或a88+5 74，
所以经过B入口运送较近．
(2)设点P(x,y)，已知|CA|+|AP|=|CB|+|BP|，即|PA|−|PB|=|CB|−CA|=8，
所以点P所有可能的位置是以A、B为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则2a=8，即a=4，又因为c=50，b2=c2−a2=2500−16=2484，
所以点P所有可能的位置是x216−y22484=1(x>4,y>0)在苗圃内所对应的点．
【解析】(1)由题意可得A，B的坐标，计算|AP|，|BP|，比较|CA|+|AP|与|CB|+|BP|即可求解的结论；
(2)设点P(x,y)，由|CA|+|AP|=|CB|+|BP|，可得|PA|−|PB|=|CB|−CA|=8，可得点P所有可能的位置是以A、B为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，求出a，b的值即可得出双曲线方程，从而可得结论．
本题主要考查实际应用问题，轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为点B(2,0)是椭圆Γ：x24+y29=1的一个顶点，
所以S△BF1F2=2×12×2× 9−4=2 5；
(2)不妨设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
若|BP|=|BQ|，
即|BP|2=|BQ|2，
即(x1−2)2+y12=(x2−2)2+y22，
因为P，Q两点均在椭圆Γ上，
所以y12=9(1−x124)y22=9(1−x224)，
即−54x12−4x1=−54x22−4x2，
整理得(x2−x1)[54(x1+x2)+4]=0，
当x1=x2时，P，Q对称；
当x1≠x2时，x1+x2=−165，
因为x1，x2∈[−2,2]，
所以x1+x2∈[−4,4]，
则存在x1+x2=−165x1≠x2，
此时P，Q不关于x轴对称．
综上，命题：“若|BP|=|BQ|，则P与Q关于x轴对称．”为假命题．
【解析】(1)由题意，结合题目所给信息以及三角形面积公式进行求解即可；
(2)设出P，Q两点的坐标，将|BP|=|BQ|转化成(x1−2)2+y12=(x2−2)2+y22，结合P，Q两点均在椭圆Γ上，推出(x2−x1)[54(x1+x2)+4]=0，分别讨论当x1=x2和x1≠x2这两种情况，进而即可求解．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据椭圆性质知，c= a2−b2=1，a=2，所以离心率为e=ca=12．
(2)①直线方程斜率不存在时，直线与抛物线有且仅有1公共点，显然不合题意．
②直线方程斜率存在时，斜率设为k，直线方程为y=kx.联立方程y=kxy2=8x，消去y可得k2x2−8x=0，解得x1=0，x2=8k2(k≠0)．
联立方程y=kxx24+y23=1，消去y可得(3+4k2)x2−12=0，解得x′1=− 123+4k2，x′2= 123+4k2．
当|AB|=|CD|时，即 1+k2|x1−x2|= 1+k2|x′1−x′2|，等价于|x1−x2|=|x′1−x′2|，代代入联立结果得8k2=2 124k2+3，解得k12=6，k22=−230时，m2∈(−x02,+∞)．
由根与系数的关系可得y1+y2=8m，y1y2=−8x0，所以(y1−y2)2=(y1+y2)2−4y1y2=64m2+32x0，
联立方程x=my+x0x24+y23=1，消去x可得(3m2+4)y2+6mx0y+3x02−12=0，
此时必有两个交点，由根与系数的关系可得y′1+y′2=−6mx03m2+4，y′1y′2=3x02−123m2+4，
所以(y′1−y′2)2=(y′1+y′2)2−4y′1y′2=48(3m2+4−x02)(3m2+4)2．
如果存在等弦线使得|AB|=|CD|，等价于 1+m2|y1−y2|= 1+m|y′1−y′2|，化简可得|y1−y2|=|y1′−y′2|，
将联立结果代入可得4m2+2x0=3(3m2+4−x02)(3m2+4)2，
换元，令3m2+4=z∈(−3x02+4,+∞)，代入上式可得4z+6x0−16=9(z−x02)z2．
由于z≠0，化简得到4z3+(6x0−16)z2−9z+9x02=0．
题目等弦线存在性证明，等价于证明：对任意x0∈(−2,0)，4z3+(6x0−16)z2−9z+9x02=0在z∈(−3x02+4,+∞)上有解．
令f(z)=4z3+(6x0−16)z2−9z+9x02，则f(−3x02+4)=4(−3x02+4)3−4(−3x02+4)3−9(−3x02+4)+9x02=9(x02+3x02−4)，
令g(x)=x2+3x2−4，由于g(−2)