2020-2021学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷，共16页。

2020-2021学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．（3分）复数3+4i（i为虚数单位）的模是　 　．
2．（3分）圆心为（﹣1，2），半径为2的圆的标准方程是　 　．
3．（3分）双曲线的焦距为　 　．
4．（3分）已知复数z1＝6+2i，z2＝1+ai（i为虚数单位），且z1+是实数，则实数a的值为　 　．
5．（3分）方程表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是 　 　．
6．（3分）已知复数z满足|z|＝1，则（i为虚数单位）的最小值为　 　．
7．（3分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（﹣1，4）的双曲线方程是　 　．
8．（3分）以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点（1，2）的抛物线的方程是　 　．
9．（3分）若△ABC的两个顶点B（0，﹣3），C（0，3），周长为16，则第三个顶点A的轨迹方程是　 　．
10．（3分）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝12，则|AB|等于 　 　．
11．（3分）若直线y＝2x+b与曲线没有公共点，则实数b的取值范围是　 　．
12．（3分）关于曲线C：＝1，则以下结论正确的序号是　 　．
①曲线C关于原点对称；
②曲线C中x∈[﹣2，2]，y∈[﹣2，2]；
③曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝8无公共点；
④曲线C与曲线D：|x|+|y|＝4有4个交点，这4点构成正方形．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）设复数z＝a+bi（a、b∈R），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（　　）
A．既不充分也不必要条件 B．充要条件
C．充分非必要条件 D．必要非充分条件
14．（3分）设M＝i+i2+i3+i4，N＝i•i2•i3•i4，i为虚数单位，则M与N的关系是（　　）
A．M+N＝0 B．M＜N C．M＞N D．M＝N
15．（3分）双曲线4x2+ky2＝4k的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k的值是（　　）
A．16 B． C．﹣16 D．
16．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（　　）
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．直线
三、简答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（8分）已知复数z＝（m2﹣m﹣6）+（m2﹣3m﹣10）i（i为虚数单位），当m为何值时，复数z为：
（1）实数；
（2）纯虚数．
18．（10分）已知圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣3＝0．
（1）求过点（3，2）且与圆C相切的直线方程；
（2）若直线y＝x+1与圆C相交于A，B，求弦长|AB|的值．
19．（10分）已知复数z满足|z|+﹣8﹣4i＝0（i为虚数单位）．
（1）求复数z；
（2）若m∈R，ω＝zi+m，求|ω|的取值范围．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，C（﹣2，0），D（2，0），曲线E上的动点P满足|PC|+|PD|＝，直线l过D交曲线E于A、B两点．
（1）求曲线E的方程；
（2）当AC⊥AB时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；
（3）设M（﹣2，2），N（2，2），P是曲线E上的任意一点，若＝m+n，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，原点为O，抛物线C的方程为x2＝4y，线段AB是抛物线C的一条动弦．
（1）求抛物线C的准线方程；
（2）求，求证：直线AB恒过定点；
（3）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线交于P、Q两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段PQ、CD的中点，求△FMN面积的最小值．

2020-2021学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．（3分）复数3+4i（i为虚数单位）的模是　5　．
【分析】直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】解：由z＝3+4i，所以|z|＝．
故答案为5．
【点评】本题考查了复数模的求法，是基础的运算题，属会考题型．
2．（3分）圆心为（﹣1，2），半径为2的圆的标准方程是　（x+1）2+（y﹣2）2＝4　．
【分析】根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．
【解答】解：根据题意，要求圆的（x+1）2+（y﹣2）2＝4，
则要求圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4；
故答案为：（x+1）2+（y﹣2）2＝4．
【点评】本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．
3．（3分）双曲线的焦距为　2　．
【分析】直接利用双曲线的标准方程，求解双曲线的实半轴虚半轴的长，然后求解半焦距，即可得到结果．
【解答】解：双曲线，可得a＝．b＝1，则c＝，
所以双曲线的焦距为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
4．（3分）已知复数z1＝6+2i，z2＝1+ai（i为虚数单位），且z1+是实数，则实数a的值为　2　．
【分析】由已知求得z1+，再由虚部为0求解a值．
【解答】解：∵z1＝6+2i，z2＝1+ai，
∴z1+＝（6+2i）+（1﹣ai）＝7+（2﹣a）i，
由题意，2﹣a＝0，即a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5．（3分）方程表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是 　（4，+∞）　．
【分析】由椭圆的标准方程的形式列出不等式，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程表示的曲线是椭圆，
则，
解可得：4＜m，
故m的取值范围为（4，+∞）；
故答案为：（4，+∞）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的基本形式，属于基础题．
6．（3分）已知复数z满足|z|＝1，则（i为虚数单位）的最小值为　1　．
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：∵|z|＝1，∴z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，
的几何意义为圆上的点到P（1，）的距离，
如图，
∴的最小值为|OP|﹣1＝．
故答案为：1．

【点评】本题考查复数模的求法，考查数形结合思想，是基础题．
7．（3分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（﹣1，4）的双曲线方程是　　．
【分析】设双曲线方程为．利用双曲线过点（﹣1，4），求出k，即可得出双曲线方程．
【解答】解：设双曲线方程为．
∵双曲线过点（﹣1，4），∴1﹣＝k，
∴k＝﹣3．
所以双曲线方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，是基础题．
8．（3分）以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点（1，2）的抛物线的方程是　y2＝4x或者　．
【分析】根据题意，分析可得抛物线的开口向上或向左，据此分2种情况讨论，分析设出抛物线的方程，将M的坐标代入计算可得p的值，综合2种情况即可得答案．
【解答】解：根据题意，要求抛物线经过点（1，2），
则该抛物线开口向上或向右，
若抛物线开口向左，设其方程为y2＝2px，
又由其经过点（1，2），
则有4＝2×p×1，解可得p＝2，
此时抛物线的方程为y2＝4x，
若抛物线开口向上，设其方程为x2＝2py，
又由其经过点（1，2），
则有12＝2p×2，解可得p＝，
此时抛物线的方程为x2＝y，
综合可得：抛物线的方程为y2＝4x或者．
故答案为：y2＝4x或者．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，关键是依据点M的坐标，分析抛物线开口的方向，设出其方程，是中档题．
9．（3分）若△ABC的两个顶点B（0，﹣3），C（0，3），周长为16，则第三个顶点A的轨迹方程是　．　．
【分析】由三角形的周长和椭圆的定义，即可得到所求轨迹方程．
【解答】解：△ABC的周长为16，且顶点B（0，﹣3），C（0，3），
可得|BC|＝6，|AB|+|AC|＝16﹣6＝10＞|BC|，
由椭圆的定义可得A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（去除B，C两点），
设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），可得a＝5，c＝3，b＝4，
则A的轨迹方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意定义法的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10．（3分）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝12，则|AB|等于 　14　．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程是x＝﹣1，结合抛物线的定义可得|AF|＝x1+1且|BF|＝x2+1，两式相加并结合x1+x2＝12，即可得到|AB|的值．
【解答】解：∵抛物线方程为y2＝4x，
∴p＝2，可得抛物线的准线方程是x＝﹣1，
∵过抛物线 y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2），
∴根据抛物线的定义，可得|AF|＝x1+＝x1+1，|BF|＝x2+＝x2+1，
因此，线段AB的长|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2，
又∵x1+x2＝12，∴|AB|＝x1+x2+2＝14．
故答案为：14．
【点评】本题给出抛物线焦点弦AB端点A、B的横坐标的关系式，求AB的长度，着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
11．（3分）若直线y＝2x+b与曲线没有公共点，则实数b的取值范围是　　．
【分析】作出图形，求出半圆的切线，从而得出b的范围．
【解答】解：曲线表示圆的下半个圆，
设直线y＝2x+b与半圆相切，
则，解得b＝3（舍）或b＝﹣3．直线经过A（﹣3，0），
可得b＝6，
∵直线y＝2x+b与曲线没有公共点，
∴b＜﹣3或b＞6．
故答案为：．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
12．（3分）关于曲线C：＝1，则以下结论正确的序号是　①③　．
①曲线C关于原点对称；
②曲线C中x∈[﹣2，2]，y∈[﹣2，2]；
③曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝8无公共点；
④曲线C与曲线D：|x|+|y|＝4有4个交点，这4点构成正方形．
【分析】以﹣x替换x，以﹣y替换y，方程不变判断①；求出x，y的范围判断②；联立方程组判断③；由两曲线的对称性判断④．
【解答】解：在曲线C：＝1中，以﹣x替换x，以﹣y替换y，方程不变，则曲线C关于原点对称，故①正确；
由＝1，得＞0，得x2＞4，即x＜﹣2或x＞2，同理求得y＜﹣2或y＞2，故②错误；
由求得的x、y的范围可得曲线C不是封闭图形，联立，得x4﹣8x2+32＝0，
方程的判别式Δ＝64﹣4×32＜0，方程无解，故曲线C与圆x2+y2＝8无公共点，故③正确；
当x＞0，y＞0时，方程|x|+|y|＝4化为x+y＝4，不是方程组的解，
由对称性可知，方程组要么无解，要么多于1解，则曲线C与曲线D不可能有4个交点，故④错误．
∴正确的结论是①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查曲线与方程的概念，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）设复数z＝a+bi（a、b∈R），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（　　）
A．既不充分也不必要条件 B．充要条件
C．充分非必要条件 D．必要非充分条件
【分析】根据复数的概念可得当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．
【解答】解：复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数，
则“a＝0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，
故选：D．
【点评】本题考查了复数的概念，以及充分条件，必要条件，属于基础题．
14．（3分）设M＝i+i2+i3+i4，N＝i•i2•i3•i4，i为虚数单位，则M与N的关系是（　　）
A．M+N＝0 B．M＜N C．M＞N D．M＝N
【分析】利用虚数单位i的运算性质化简M与N，则答案可求．
【解答】解：∵M＝i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0，
N＝i•i2•i3•i4＝i•（﹣1）•（﹣i）•1＝i2＝﹣1，
∴M＞N．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的加减运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．
15．（3分）双曲线4x2+ky2＝4k的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k的值是（　　）
A．16 B． C．﹣16 D．
【分析】双曲线4x2+ky2＝4k的虚轴长是实轴长的2倍，列出方程，可求得双曲线的虚轴长，即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
∴其实轴长为4，可得2＝8，
∴k＝﹣16．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（　　）
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．直线
【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．
【解答】解：排除法：设动点为Q，

1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB＝QA，
又QB+QC＝R，所以QA+QC＝R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．
2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R＝QA，得QC﹣QA＝R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；
3．当点A与圆心C重合，要使QB＝QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；
则本题选D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
三、简答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（8分）已知复数z＝（m2﹣m﹣6）+（m2﹣3m﹣10）i（i为虚数单位），当m为何值时，复数z为：
（1）实数；
（2）纯虚数．
【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列出方程，求出m的值即可；
（2）根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，求出m的值即可．
【解答】解：（1）当m2﹣3m﹣10＝0，
即m＝5或m＝﹣2时，z为实数．
（2）当m2﹣m﹣6＝0且m2﹣3m﹣10≠0时，z为纯虚数，
解得m＝3．
【点评】本题考查复数为纯虚数、实数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题．
18．（10分）已知圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣3＝0．
（1）求过点（3，2）且与圆C相切的直线方程；
（2）若直线y＝x+1与圆C相交于A，B，求弦长|AB|的值．
【分析】（1）求出圆心与半径r，①当直线斜率不存在时，验证是否满足题意．②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），利用点到直线的距离公式求解即可．
另解：设所求直线的方程为a（x﹣3）+b（y﹣2）＝0（a2+b2≠0），利用点到直线的距离公式求解即可．
（2）利用点到直线的距离，结合圆的半径计算弦长即可．
【解答】解：（1）圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4圆心为C（1，0），半径r＝2，
①当直线斜率不存在时，由过点（3，2）得直线方程为x＝3，与（1，0）的距离为2，与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，
圆心（1，0）到直线的距离，解得k＝0．∴直线方程为y＝2．
综上，所求直线方程为y＝2或x＝3．
另解：可设所求直线的方程为a（x﹣3）+b（y﹣2）＝0（a2+b2≠0），
即ax+by﹣3a﹣2b＝0由题意得圆心（1，0）到切线的距离，
得ab＝0，所求为y＝2或x＝3．
（2）圆心C（1，0）到直线y＝x+1与的距离，
又半径r＝2，∴弦长|AB|＝．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（10分）已知复数z满足|z|+﹣8﹣4i＝0（i为虚数单位）．
（1）求复数z；
（2）若m∈R，ω＝zi+m，求|ω|的取值范围．
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），
（1）把z代入已知等式，利用复数相等的条件列式求得a与b的值，则z可求；
（2）利用复数模的计算公式求得|ω|，再由配方法求得|ω|的取值范围．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
（1）由|z|+﹣8﹣4i＝0，
得，则，
∴z＝3﹣4i；
（2）|ω|＝|（3﹣4i）i+m|＝|4+m+3i|＝，
∵m∈R，∴|ω|≥3，
故|ω|的取值范围是[3，+∞）．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，C（﹣2，0），D（2，0），曲线E上的动点P满足|PC|+|PD|＝，直线l过D交曲线E于A、B两点．
（1）求曲线E的方程；
（2）当AC⊥AB时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；
（3）设M（﹣2，2），N（2，2），P是曲线E上的任意一点，若＝m+n，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．
【分析】（1）由椭圆的定义可知动点P的轨迹是以C、D为焦点，长轴长为的椭圆，进而可得a，c，再计算b2＝a2﹣c2，即可得出答案．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），（y1＞0），由AC⊥AB，得•＝0，解得x1，y1，即可得出A点坐标，写出直线l的方程，联立椭圆的方程，解得x2，即得B点坐标．
（3）设P（xP，yP），代入椭圆的方程，+＝1，由＝m+n，得，化简即可得出答案．
【解答】解：（1）由椭圆的定义可知动点P的轨迹是以C、D为焦点，长轴长为的椭圆，
即a＝2，c＝2，
所以曲线E的方程为+＝1．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），（y1＞0），由题C（﹣2，0），D（2，0），
因为AC⊥AB，且A，D在一条直线上，
所以•＝（﹣2﹣x1，﹣y1）•（2﹣x1，﹣y1）＝x12﹣4+y12＝x12﹣4+4（1﹣）＝x12＝0，
所以x1＝0，y1＝2，A（0，2），
则直线l的方程为：y＝﹣x+2，
联立，得3x2﹣8x＝0，
所以x1＝0，x2＝，
所以y2＝﹣+2＝﹣，
所以B（，﹣）．
（3）设P（xP，yP），则+＝1，
由题，
所以m2+n2＝，即证动点Q（m，n）在以原点为圆心，以为半径的定圆上运动．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，原点为O，抛物线C的方程为x2＝4y，线段AB是抛物线C的一条动弦．
（1）求抛物线C的准线方程；
（2）求，求证：直线AB恒过定点；
（3）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线交于P、Q两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段PQ、CD的中点，求△FMN面积的最小值．
【分析】（1）由焦点在y轴的正半轴上的抛物线的准线方程可得所求；
（2）设直线AB方程为y＝kx+b，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，解方程可得b，进而得到定点；
（3）求得F（0，1），分别设直线l1，l2的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M，N的坐标，由抛物线的定义，可得|FM|，|FN|，再由三角形的面积公式和基本不等式，计算可得所求最小值．
【解答】解：（1）抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝﹣1；
（2）证明：设直线AB方程为y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，可得x2﹣4kx﹣4b＝0，
所以x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，
•＝x1x2+y1y2＝x1x2+＝﹣4b+＝﹣4，解得b＝2，
则直线y＝kx+2过定点（0，2）；
（3）由F（0，1），由题意，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，
设直线l1的方向向量为（1，k）（k＞0），则（1，k）是直线l2的一个法向量，
故直线l1的方程为＝，即y＝kx+1，
直线l2的方程为x+k（y﹣1）＝0，即y＝﹣x+1，
由，可得x2﹣4kx﹣4＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2＝4k，
则M（2k，2k2+1）；
同理可得N（﹣，1+）．
所以S△FMN＝|FM|•|FN|＝•＝2（k+）≥4，
当且仅当k＝1时，△FMN的面积取最小值4．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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