安徽省合肥市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分）
1. 实数、、π、、、……中无理数的个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此进行解答即可．
【详解】解：实数、、π、、、……中、π、是无理数，故无理数个数为3个．
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方运算法则计算出各项后再进行判断即可．
详解】解：A． ，故选项A计算错误，不符合题意；
B． ，故选项B计算错误，不符合题意；
C． ，故选项C计算错误，不符合题意；
D． ，故选项D计算正确，符合题意；
故选：D
3. 实数16的算术平方根是（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根；
一个正数有两个平方根，其中正的平方根称为这个正数的算术平方根，据此可得答案．
【详解】解：实数16的算术平方根是4，
故选：B．
4. 如果，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小估算， 求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间，与被开方数的差值较小的那个正整数的算术平方根即为与其最接近的整数．根据，即可得出m的取值范围．
【详解】解：，，
，
故选：C．
5. 已知不等式组的解集在数轴上表示如图，则此不等式组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示解集．熟练掌握在数轴上表示解集是解题的关键．
根据在数轴上表示解集进行判断作答即可．
【详解】解：由数轴可知，不等式组为，
故选：A．
6. 下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B．，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意．
故选：B．
7. 若，a为任意实数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，对选项分别讨论，即可得出结论．
【详解】解：选项A：若，当时，则；当时，则；当时，则，故该选项错误．
选项B：若，当时，则，故该选项错误．
选项C：若，a为任意实数，则，故该选项错误．
选项D：若，a为任意实数，则，故该选项正确．
故选：D
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键在熟练掌握不等式的性质．不等式性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数或式，不等号方向不发生变化；不等式性质2：不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不发生变化；不等式性质3：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向发生变化．
8. 实数a在数轴上的位置如图所示，则a、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，因为是选择题故可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．
先由点a在数轴上的位置确定a的取值范围，用取特殊值进行计算再比较即可解决问题．
【详解】解：由数轴得：，
故令，则，，
∴，
故选：B．
9. 如图，数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上之间的距离是．
设点表示的数是，求出之间的距离，求出，即可得出关于的方程，求出即可．
【详解】解：设点表示的数是，
在数轴上数表示2，的对应点分别是C、B，
、之间的距离是，
点C是的中点，
，
点表示的数是2，点表示的数是，
，
解得：．
故选：C．
10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点．连结．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用．正确表示阴影部分面积是解题的关键．
设甲正方形的边长为，则乙正方形的边长为，由题意知，，则，，将代入求解即可．
【详解】解：设甲正方形的边长为，则乙正方形的边长为，
由题意知，，则，
点为的中点，则，
，
将代入得，原式，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每题3分，满分15分）
11. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 比较大小：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的性质，先求出无理数的平方，进而比较大小．
【详解】解：，，
，
，，
，
故答案为：
13. 如果，那么m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用平方根的含义解方程，先把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
14. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则变形，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：．
15. 按如图的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 __________________．
【答案】＜x≤
【解析】
【分析】根据程序进行3次才停止，即可得出关于x一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得，
解得： ．
故答案为：＜x≤．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
16. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定计算顺序和方法．
分别计算算术平方根，立方根，算术平方根的相反数，再计算乘法，最后再相加．
【详解】解：
．
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当，时，原式．
19. 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围．
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1
【答案】（1）
（2）-1
【解析】
【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非正数，y为负数列出不等式组，解之可得；
（2）由不等式的性质求出m的范围，结合（1）中所求范围可得答案．
【小问1详解】
解：，
由①+②得：，
由①-②得：，
∵x为非正数，y为负数，
∴，解得：；
【小问2详解】
解：∵不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵m为整数，
∴当m=-1时，不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减消元法和解不等式组的能力是解题的关键．
20. 我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则：
（1）的整数部分是______，的小数部分可以表示为______；
（2）已知的小数部分是a，的小数部分为b．求的值．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
（1）先估算出的取值范围，再确定的整数部分和小数部分；
（2）先估算出和的取值范围，再确定a与b的值，最后代入代数式计算即可；
【小问1详解】
解：，
，
的整数部分是1，
的整数部分为2，小数部分为，
故答案为：2，；
小问2详解】
，
，
的整数部分是1，
的整数部分为3，小数部分为，
∴的整数部分为5，小数部分为，
．
21. 材料阅读：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（a，b是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是______．
（2）试判断（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
（3）已知（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出一个符合条件的k值，并说明理由．
【答案】（1）2（答案不唯一）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断，并写出一个小于10的“完美数”即可说明；
（2）根据新定义，先进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解；
（3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可．
【小问1详解】
解：，
是“完美数”，
故答案为：2（答案不唯一）．
【小问2详解】
解：
，
是“完美数”．
【小问3详解】
解：
，
为“完美数”，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的运算，有理数的运算，用完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
22. 某单位准备购买文化用品m件，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）当时，在甲超市的购物金额为______元；乙超市的购物金额为______元；
（2）若时，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【答案】（1）300，240
（2）当购买数量超过40件不足80件时，选择乙超市支付费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据两超市给出的优惠方案，用含m的代数式表示出在两家超市的购物金额是解题的关键．
（1）利用总价＝单价×数量，可求出购买30件这种文化用品所需原价，再结合两超市给出的优惠方案，即可求出在两家超市的购物金额；
（2）当时，在甲超市的购物金额为元，在乙超市的购物金额为元，分、以及三种情况，可求出m的取值范围或m的值，综上，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵（元），，
∴在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为（元）．
故答案为：300；240．
【小问2详解】
解：当时，在甲超市购物金额为（元），在乙超市的购物金额为（元），
若，则；
若，则；
若，则，
综上，当购买数量超过40件不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．
23. 已知表示不超过x的最大整数，例如：，．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法，一元一次方程的应用，先求解，可得，再解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
解得：，而为整数，
∴，
∴当时，
∴，
∴．
故答案为：