甘肃省定西市陇西县镇南九年制学校2023-2024学年七年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：100分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共30分）
1. 下列四个图形中，和互为对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶点的定义，共用顶点，两边互为反向延长线，进行判断即可．
【详解】解：根据对顶点的定义，共用顶点，两边互为反向延长线，可知：只有选项D满足题意；
故选D．
2. 9的平方根是（ ）
A. 3B. C. D. 没有平方根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键.
【详解】解：9的平方根是，
故选C.
3. 如图，直线与相交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查对顶角和邻补角，根据对顶角相等，邻补角互补，进行求解即可．
【详解】解：∵，且是对顶角，
∴，
∵，
∴，
故选C．
4. 实数，中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的分类，熟练牢记有理数的分类和无理数的概念是解题的关键．
【详解】解：由实数的分类可知，有理数分为分数和整数，无理数是无限不循环小数，
，
∴无理数有2个
故选：B．
5. 估计的值应在（ ）
A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，利用算术平方根的性质可得．
【详解】解：，
，
故选：C．
6. 下列各数中没有平方根的数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．根据负数没有平方根，找出计算结果为负数即可．
【详解】解：A、，故有平方根，不合题意；
B、，故没有平方根，符合题意；
C、，故有平方根，不合题意；
D、0有平方根，不合题意．
故选：B．
7. 下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点到直线的距离，理解“点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离”是解题的关键．
过点作直线的垂线，垂足为，线段的长就是点A到直线距离，据此求解即可．
【详解】解：线段长表示点A到直线距离的是：
故选：C．
8. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可以得到，不符合题意；
B、，根据同旁内角互补，两直线平行，可以得到，不符合题意；
C、，根据内错角，两直线平行，可以得到，不符合题意；
D、，根据同位角相等，两直线平行，可以得到，不能得到，符合题意；
故选D．
9. 如图，已知直线和相交于点平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查垂直的定义、角平分线的定义，熟练掌握垂直的定义、角平分线的定义是解决本题的关键．根据，可得，从而得到的度数，再由平分，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵平分，
∴
∴．
故选：A．
10. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共18分）
11. 在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a__________c．
【答案】##平行于
【解析】
【分析】本题考查的是同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，由平行线的判定方法可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：
12. 如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有______（填写所有正确条件的序号）．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键．
根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：①，
，符合题意；
②，
，故本选项错误；
③，
，故本选项正确；
④；
，故本选项错误；
故选答案为：①③．
13. 比较大小：______1（填写“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】平方法比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查实数比较大小，熟练掌握平方法比较大小，是解题的关键．
14. 若，则的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，关键是掌握非负数的性质．
非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质即可解决问题．
【详解】解，
，，
，，
．
故答案为：2．
15. 如图，将沿方向平移，得到，点E落在线段上，若的周长为，则四边形的周长为________cm；
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
先根据平移性质得，，再由的周长为得到，然后利用等线段代换可计算出，于是得到四边形的周长为
【详解】解：沿方向平移得到，
，，
的周长为，即，
，
即四边形的周长为．
故答案为：16．
16. 观察分析下列数据，并寻找规律：，，，，，，…，根据规律可知第n个数据应是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定数中被开方数变化找出变化规律“第n个数据中被开方数为：3n-1”，依此即可得出结论．
【详解】∵被开方数为：2=3×1-1，5=3×2-1，8=3×3-1，11=3×4-1，14=3×5-1，17=3×6-1，…，
∴第n个数据中被开方数为：3n-1，
故答案为．
【点睛】本题考查了算术平方根以及规律型中数的变化类，根据被开方数的变化找出变化规律是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先算开方和绝对值，再算加减即可．
【详解】解：
．
19. 解方程：．
【答案】或．
【解析】
【分析】本题考查了平方根解方程，利用平方根的性质得到，即可求解．
【详解】解：
，
，
或．
20. 如图是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：

（1）将向上平移2个单位，向左平移1个单位得到，画出；
（2）连结，，则与之间的位置关系为______．
【答案】（1）见解析 （2）平行
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，平移的性质．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：由平移的性质得，
∴与之间的位置关系为平行，
故答案为：平行．
21. 已知的算术平方根是2，的立方根是，
（1）求a，b的值；
（2）求的平方根.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）4的算术平方根是2，的立方根是，据此即可求解；
（2）先求出的值，即可计算．
【小问1详解】
解：∵的算术平方根是2，的立方根是，
∴，，
解得：，.
【小问2详解】
解：∵，，，
∴的平方根为.
【点睛】本题考查了立方根、平方根、算术平方根．熟记相关定义即可．
22. 完成推理填空：
如图，已知，，.将证明的过程填写完整.
证明：，
（__________________）
_______（__________________）
又
_______（__________________）
（__________________）
【答案】同旁内角互补，两直线平行；；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先根据同旁内角互补得两直线平行，然后得，再进行角的等量代换，得，即可作答．
【详解】证明：，，
，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
23. 如图，已如，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，可证得，进而可求得，即可求得答案．
【详解】∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
24. 已知一个正数的两个平方根分别为a和2a－9.
(1)求a的值，并求这个正数；
(2)求17－9a2的立方根．
【答案】(1)这个正数为9；(2) 17－9a2的立方根为－4.
【解析】
【分析】（1）根据平方根的性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数列出算式，求出a的值即可；（2）求出17-9a²的值，根据立方根的概念求出答案．
【详解】(1)由平方根的性质，得a＋2a－9＝0，解得a＝3，32＝9.
∴这个正数9.
(2)当a＝3时，17－9a2＝－64.
∵－64的立方根是－4，
∴17－9a2的立方根为－4.
【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．
25. 某市决定在一块面积为的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？
【答案】能，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够根据题意求出足球场的长．先设足球场的宽为，列出方程求得足球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建足球场了．
【详解】解：设足球场的宽为，则长为，根据题意，得
，即，
∵x为正数，
∴，
∴足球场的宽为，
∴足球场的长为，
∵ ，
∴，
∴能按规定在这块空地上建一个足球场．
26. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：已知：，其中是整数，且，求的相反数．
【答案】同意小明的表示方法；
【解析】
【分析】本题主要考查无理数、相反数等．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分．根据题意确定出等式左边的整数部分得到x的值，进而求出y的值，即可求出所求．
【详解】解：同意小明的表示方法．
，
，
无理数的整数部分是，
即，
无理数的小数部分是，
即，
，
的相反数为．
27. 综合与实践
阅读下面内容，并解答问题
已知：如图1，，．求证：．
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是_____________________．
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的、与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图①中、与之间的数量关系并加以证明；
②利用图③探究，在拖动点至的上方或的下方时，、与之间还存在其它数量关系，请直接写出、与之间的数量关系：____________（写出一种即可）．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，垂直地面于，平行于地面，若，则度数为__________．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）①，证明见解析；②或（写出一种即可）；（3）120°
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质进行填空即可；
（2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作、，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；
（3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵
∴（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：两直线平行，同旁内角互补．
（2）①
证明：如下图，过D作
∴
∵
∴
∴
∴；
②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴；
当拖动点至的下方时，如下图，过点D作
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴；
故答案为：或（写出一种即可）．
（3）
过点B作
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质及证明方法是解决本题的关键．