2024年辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校九年级中考模拟数学模拟预测题（一）（原卷版+解析版）

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（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的概念，根据负数的绝对值是它的相反数，即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
2. 用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图的相关知识直接找出主视图即可．
【详解】主视图即从图中箭头方向看，得出答案为A，
故答案选：A．
【点睛】此题考查立体图形的三视图，理解定义是关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项．
根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据同底数幂的除法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、原式，故该选项符合题意；
故选：D．
4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图是轴称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．
5. 若关于x的一元二次方程（m+1）x2-2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. m≥0B. m≤0C. m≠1D. m≤0且m≠-1
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义可知，再由方程有实数根可得出△，联立关于的不等式组，求出的取值范围即可
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查的是根的判别式，解题的关键是要注意这一隐含条件．
6. 如图，ABCD，，，则∠AEC的度数为（ ）
A. B. C. D. A
【答案】C
【解析】
【分析】延长AE交CD于点F，根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAE+∠EFC=180°，已知∠BAE的度数，不难求得∠EFC的度数，再根据三角形的外角的性质即可求得∠AEC的度数．
【详解】解：如图，延长AE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠EFC=180°
又∵∠BAE=120°，
∴∠EFC=180°-∠BAE=180°-120°=60°
又∵∠DCE=30°，
∴∠AEC=∠DCE+∠EFC=30°+60°=90°．
故选∶C．
【点睛】此题主要考查学生对平行线的性质及三角形的外角性质的综合运用，添加合适的辅助线是解题的关键．
7. 某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：
表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（ ）
A. 7个，7个B. 7个，6个C. 22个，22个D. 8个，6个
【答案】A
【解析】
【分析】一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，居中的一个数据或两个数据的平均数是这组数据的中位数，根据定义解答.
【详解】根据题意，这组数据中的7出现22次，且次数最多，故这组数据的众数是7个，
这组数据中共有15+22+13=40个数据，居中的两个数分别是7和7，
故这组数据的中位数是个，
故选：A.
【点睛】此题考查众数和中位数的定义，正确理解定义并会求众数和中位数是解题的关键.
8. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，
根据题意可得：，
故选：B．
9. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，再利用平行四边形的性质即可证明，即，即可求出，最后在中，利用勾股定理即可求出AE的长．
【详解】根据作图可知DE为的角平分线，即，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．理解题意，判断出DE为的角平分线是解答本题的关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝∠EAF；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①设正方形的边长为2,然后求出AE、FC、EF，然后比较正切函数值即可；
②由已知条件，可得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分线；
④结合②③的结论，确定CF和CD的关系，从而可以判断CF=CD是否成立；
④由已知条件和全等三角形的判定与性质以及线段的和差即可判定AF=AB+CF是否成立．
【详解】解：设正方形的边长为2
∵在正方形ABCD中， E是BC的中点
∴AB=BC=2，BE=EC=AB=1，∠C=∠B=90°，
∴AE=,tan∠BAE=
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE =90°，
∴∠BAE=∠BAE
∴tan∠FEC=,CE=1
∴CF=
∴EF=
∴tan∠EAF =
∴∠BAE＝∠EAF，故①正确；
∴tan∠CFE=，tan∠AFE=，
∴∠AFE=∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；
∵BC=CD，BC=2CE=4CF，
∴CF=CD，故③正确；
作EG⊥AF于点G，
∵FE平分∠AFC，∠C=90°，
∴EG=EC，
∴EG=EB，
∵∠B=∠AGE=90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中
AE=AE，EB=EG
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）
∴AB=AG，
又∵CF=GF，AF=AG+GF，
∴AF=AB+CF，故④正确；
综上共有4个正确结论．
故答案为D．

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，明确题意并正确运用数形结合的思想是解答本题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过万党员的世界第一大政党.万用科学记数法表示为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
、
12. 若实数，是一元二次方程的两根，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两根，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
13. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=53，则∠BAC的度数等于________．
【答案】37°
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠ABC=53°，然后再计算出∠BAC的度数即可．
【详解】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ADC=53°，
∴∠ABC=53°，
∴∠BAC=180°-90°-53°=37°，故答案为37°．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点，则的面积为______．
【答案】2.5
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形、反比例函数的图象上的点的坐标特征，设则，，从而得出，，最后根据三角形面积计算即可，用字母表示出各点的坐标是解此题的关键．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
设，
点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点，
，，
，，
，
故答案为：．
15. 在矩形中，，，是边上任意一点，则的最小值是_________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造含的直角三角形，是解题的关键．
过点作直线，使与的夹角为30°，过点作，垂足为点，则的最小值即为的最小值，过点作，垂足为点，的最小值，先证明，再由解三角形求出即可求解．
【详解】解：过点作直线，使与的夹角为30°，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当和在同一直线上时，最小，最小值为，
∵，且，
∴，
∵
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案是：．
三、解答题：
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、因式分解法解一元二次方程，准确进行计算是解此题的关键．
（1）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂，进行计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
或，
，．
17. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论；
（2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB＝CD
∴∠DAE＝∠AEB
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠AEB
∴BE＝AB
∴BE=CD
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE
∴AF＝EF
在△ADF和△ECF中
∴△ADF≌△ECF
∴DF＝CF
又∵AF＝EF
∴四边形ACED是平行四边形．
【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
18. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．
（1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
【答案】（1）162；162
（2）175；108 （3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义可得答案．
（2）先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
该组数据的中位数是．
该组数据中出现次数最多的为162，
该组数据的众数为162．
故答案为：162；162．
【小问2详解】
全校的男生人数为（人，
选择项目的男生共有（人．
扇形统计图中项目所占圆的圆心角为．
故答案为：175；108．
【小问3详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
19. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（）米；（）米．
【解析】
【分析】（）过作于点，证明四边形是矩形，则有米，点太阳高度角为，则米；
（）过作于点，过作于点，证明，则，从而，则有米；
此题考查了真实情景下的三角函数的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
【详解】（）过作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵小明打算在这天点露营休息，
∴太阳高度角为，
∴，
则（米）；
（）过作于点，过作于点，
∵米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
∴，
∴，
同（）理得四边形是矩形，
∴，米，
∴，
∴米．
20. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y是销售单价x的函数，其销售单价x，周销售量y，周销售利润w的三组对应值如下表：
（1）请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式；
（2）①请求出该商品的进价；
②若该公司想每周获利2000元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价；
（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件商品向希望小学捐款10元，要使该公司在捐款后该商品每周获利最大，请求出周利润最大时，该商品的销售单价及此时每周的最大利润．（注：物价部门最新规定该商品每件的售价不得超过65元）
【答案】（1）
（2）①30元；②50元
（3）65元，1750元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，待定系数法求一次函数解析式：
（1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可；
（2）①设该商品进价为a元，从表格中选择1列数据列一元一次方程，即可求解；②设此时该商品销售单价为m元，则周销量为件，根据售价、进价、销量、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可；
（3）列出w关于x的二次函数解析式，变形为顶点式，结合x的取值范围求出w的最值即可．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数解析式为，
将和代入，得，
解得，
y关于x的函数解析式为；
【小问2详解】
解：①由表格知，时，，，
设该商品进价为a元，
则，
解得，
即该商品进价为30元；
②设此时该商品销售单价为m元，
则，
整理得，
解得，，
每件的售价不得超过65元，
此时该商品销售单价为50元；
【小问3详解】
解：由题意知，，
，
w关于x的函数图象开口向下，当时，w随x的增大而增大，
又每件的售价不得超过65元，
当时，w取最大值，
，
即周利润最大时，该商品的销售单价为65元，每周的最大利润为1750元．
21. 如图，已知是⊙O的直径，⊙O经过的直角边上的点，交边于点，点是弧的中点，，连接．
（1）求证：直线是⊙O切线．
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）连接OF，因为点是弧的中点，所以可得，因为，所以，所以，所以，所以，即可得出直线是⊙O切线；
（2）由（1）得，所以，所以，可求出，在，根据勾股定理可得出，再根据，即，可得，在中，可求出.
【详解】解：如图，连接OF，
是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
直线是⊙O切线.
（2），
；
由（1）得，
，
;
在中，，
，
，
可得：，解得：，
在中，可得：
即：.
【点睛】本题考查与圆有关的证明，熟练掌握与圆有关的定理是做题关键，比如本题中看到弧相等，就要转化成相应的圆周角或者圆心角相等；当题目中出现平行线，并且求线段长度，可考虑利用相似三角形的性质进行求解，结合勾股定理，注意计算不要出错.
22. 【发现问题】
各式各样精致流水景观成了当下家装的一种时尚，用各种盛水容器可以制作家用流水景观（如图①）．爱思考的小琦用一些高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，如图②．如果在离水面竖直距离的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程，随着的变化而变化．（图中，，，在同一平面内）
【提出问题】
小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）与小孔离水面竖直距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】小琦结合实际操作和计算得到下表所示数据：
然后在平面直角坐标系中，描出表格中与的各对数值所对应的点，得到图③，小琦根据图③中点的分布情况，确定其图象是抛物线的一部分．
【解决问题】
（1）直接写出与的解析式；
（2）求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少？
（3）如图④，在（2）的条件下，如果水流的路线刚好是以小孔的位置为顶点的抛物线的一部分，将一个高度为，底面直径的圆柱体杯子如图摆放，水流能否落在杯口中心位置？通过计算说明理由．
【答案】【解决问题】（1） ；（2）时，射程有最大值，最大射程是；（3）水流能落在杯口中心位置
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，运用了待定系数法，二次函数的极值，二次函数的图象与性质等知识，求出水流的抛物线解析式是解题的关键．
（1）采用待定系数法即可求解；
（2）将写成顶点式，按照二次函数的性质得出的最大值，再求的算术平方根即可；
（3）根据（2）中的结论可得N点坐标为：，B点坐标为：，再根据顶点式可得水流的抛物线解析式为：，结合图形可知杯口中心的坐标为：，代入验证即可判断．
【详解】（1）设与的解析式为：，
根据表格数据有：，
解得：，
即：与的解析式为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴当时，s有最大值．
∴当h为时，射程s有最大值，最大射程是；
（3）在（2）中当h为时，射程s有最大值，最大射程是，
即可知N点坐标为：，B点坐标为：，
∵水流路线刚好是以小孔的位置为顶点的抛物线的一部分，
∴设水流的抛物线解析式为：，
代入B点坐标可得：，
解得：，
∴水流的抛物线解析式为：，
∵杯子的高度为，，，
∴杯口中心的坐标为：，
将代入，可知：水流的抛物线经过点，
∴水流能落在杯口中心位置．
23. 【问题初探】：（1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，垂足为E．求证：．
①如图2，小涵同学从，这个条件出发，给出如下解题思路：得出，作平分交于点F，将转化为与之间的数量关系．
②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长至点G，使，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】：
（2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答．
如图4，在中， ，D是边上一点，连接，过点B作于点E，在上截取，连接交于点G．求证：．
【学以致用】：
（3）如图5，在中，，，D是中点，点E在线段上，连接，延长至点F，使，连接，若．求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）选择小涵同学的解题思路：作平分交于点F，利用等腰三角形的想着全等三角形的判定与性质解答即可；选择小慧同学的解题思路：延长至G，使，连接，利用等腰三角形的想着全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）方法一：过A作交延长线于点M，利用直角三角形性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）连接，过F作交的延长线于点M，利用直角三角形的边角关系定理，表示出的三边，利用等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）证明：选择小涵同学的解题思路：
作平分交于点F，如图，
，
．
，
,
又，
，
平分，
，
．
又，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
；
选择小慧同学的解题思路：
延长至G，使，连接，如图，
，
．
，
，
又，
，
,
为线段的垂直平分线，
,
，
．
又，
，
在和中，
，
,
，
．
（2）证明：方法一：过A作交延长线于点M，如图，
，
，
，
，
,
在和中，
，
，
，
．
，
,
在和中，
，
，
，
．
，
，
即 ，
；
（3）解：连接，过F作交的延长线于点M，如图，
，D为中点，
，
．
在中，
，
设，
根据勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,
在和中，
，
，
，
，
，
3，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键．零件个数(个)
6
7
8
人数(人)
15
22
13
探究遮阳伞下的影子长度
素材1
图是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化．自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻
14点
15点
16点
太阳高度角（度）
60
45
30
参考数据：，.
解决问题
（1）
确定影子长度
小明打算在这天16点露营休息，请帮小明求出此时影子GH的长度．
（2）
探究影子长度
若某一时刻测得BD＝1.9米，请求出此时影子GH长度．
销售单价x（元）
60
65
70
75
周销售量y（件）
80
70
60
50
周销售利润w（元）
2400
2450
2400
2250
小孔离水面竖直距离为
0
1
2
3
4
…
小孔射出水的射程
0
12
16
0
76
144
204
256