2022-2023学年宁夏吴忠四中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年宁夏吴忠四中八年级（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列计算错误的是（ ）
A．÷＝2B．C．＝D．
2．（2分）下列各式中最简二次根式为（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．B．C．﹣2D．2
4．（2分）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4B．a＝4，b＝4，c＝5
C．a＝5，b＝6，c＝7D．a＝5，b＝12，c＝13
5．（2分）四边形的四个相邻内角度数的比值依次如下，那么是平行四边形的为（ ）
A．1：2：2：1B．1：3：1：3C．1：1：4：4D．1：2：3：4
6．（2分）如图所示，四边形ABCD，当AB∥CD，AB＝CD时，再下列选项中，添加一个条件，使得四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．有一个内角是直角
7．（2分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC⊥BD时，它是菱形
8．（2分）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
A．27°B．53°C．57°D．63°
9．（2分）如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是15，B的面积是12，C的面积是17，则D的面积为（ ）
A．16B．18C．20D．22
10．（2分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AD＝2，则菱形AECF的面积为（ ）
A．16B．8C．4D．2
二、填空题（共10小题，每题2分，共20分）
11．（2分）化简，x＞0，y＞0的结果为 ．
12．（2分）若，那么（x+y）2023＝ ．
13．（2分）直角三角形两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线等于 ．
14．（2分）菱形的一组邻角的比为1：2，其中一条对角线的长为4cm，则这个菱形的周长为 ．
15．（2分）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3，则AB＝ ．
16．（2分）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ．
17．（2分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ．
18．（2分）如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合，若BC＝8，CD＝6，则CF＝ ．
19．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ ．
20．（2分）如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2015＝ ．
三、解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）计算：
（1）；
（2）．
22．（6分）先化简、再求值：
（）÷，其中x＝+2，y＝﹣2．
23．（8分）如图，将长为25米长的云梯AB斜靠在建筑物的侧墙上，BE长7米．
（1）求梯子上端到墙的底端E的距离AE的长；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，则梯脚B将外移多少米？
24．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数．
26．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
27．（8分）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
求证：AP＝EF．
28．（8分）数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得以化简．例如：
∵
∴
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，x，y为正整数，求a的值．
2022-2023学年宁夏吴忠四中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分20分）
1．【分析】利用根式运算的性质即可求出答案．
【解答】解：（A）÷＝＝＝2，故正确；
（B）＝＝×＝2，故正确；
（C）×＝＝，故正确；
（D）由于与不是同类二次根式，故不能合并，故错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，要注意是同类二次根式才能进行合并．
2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A．被开方数含分母，故A错误；
B．被开方数含能开得尽方的因式，故B错误；
C．被开方数含分母，故C错误；
D．被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．【分析】利用勾股定理求出半径，确定OA的长，根据数轴点A的位置确定符号，得出答案．
【解答】解：直角三角形中，斜边＝＝，
也就是说圆弧的半径OA＝．
因为A在原点左侧，所以点A对应的实数是﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴与实数的一一对应关系，解答时，需要用到勾股定理、同圆的半径相等等知识，解题的关键是确定OA的长．
4．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【解答】解：A、22+32≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
C、52+62≠72，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
D、52+122＝132，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．【分析】由两组对角相等的四边形是平行四边形，结合比值可得答案．
【解答】解：∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴比值中能反映对角相等的只有1：3：1：3，
∴A，C，D不符合题意，B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定，熟记两组对角分别相等的四边形是平行四边形并灵活应用是解本题的关键．
6．【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再结合各选项逐一判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴添加AC⊥BD，
可得四边形ABCD是菱形；故C符合题意；
添加A不能判定，添加B，可判断四边形ABCD是矩形，
添加D，可判断四边形四边形ABCD是矩形．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形的判定，熟记判定方法是解本题的关键．
7．【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、正确．根据邻边相等的平行四边形是菱形；
B、错误．对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形．
C、正确．有一个角是直角的平行四边形是矩形．
D、正确．对角线垂直的平行四边形是菱形．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，属于基础题．
8．【分析】根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．
【解答】解：如图，
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABF+27°＝90°，
∴∠ABF＝63°，
∴∠EAB＝63°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠EAB＝63°．
故选：D．
【点评】本题结合矩形考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质得出角的相等或互补关系是解题的关键．
9．【分析】由题意根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．
【解答】解：如图标记图中三个正方形分别为P、Q、M．
根据勾股定理得到：C与D的面积的和是Q的面积；A与B的面积的和是P的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D的面积之和为M的面积．
∵M的面积是82＝64（cm2），
∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，
∴15+12+17+x＝64，
∴x＝20，即D的面积为20cm2．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．观察并能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
10．【分析】根据翻折的性质可得∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，再根据菱形的对角线平分一组对角可得∠OAF＝∠OAE，然后求出∠OAE＝30°，然后解直角三角形求出AE，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD＝2，
在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE，
∴∠OAE＝×90°＝30°，
∴AE＝AO÷cs30°＝2÷＝4，
∴菱形AECF的面积＝AE•AD＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，熟记翻折前后图形能够重合并求出∠OAE＝30°是解题的关键．
二、填空题（共10小题，每题2分，共20分）
11．【分析】由x＞0，y＞0，结合，再化简即可．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质并进行化简是解本题的关键．
12．【分析】由，可得x+3＝0，y﹣2＝0，解方程再代入求值即可．
【解答】解：∵，
∴x+3＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，y＝2，
∴（x+y）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是算术平方根与偶次方的非负性的应用，求解代数式的值，理解算术平方根的非负性是解本题的关键．
13．【分析】利用勾股定理求得直角三角形的斜边，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
则根据勾股定理知，AB＝＝13，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝＝6.5．
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．即直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方．直角三角形的性质：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
14．【分析】分两种情况讨论：如图菱形ABCD的一条对角线AC为4厘米，对角线的交点为O，当菱形ABCD的一条对角线BD为4厘米，证明△ABC是等边三角形，从而解决问题．
【解答】解：如图菱形ABCD的一条对角线AC为4cm，对角线的交点为O，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠BAD：∠ABC＝1：2，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∴C菱形ABCD＝4AB＝16；
当菱形ABCD的一条对角线BD为4厘米，
∴AC⊥BD，，，OA＝OC，
∴AB＝2AO，
∴，
∴，
∴；
故答案为：16cm或．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，周长公式等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，发现△ABC是等边三角形是突破点，属于中考常考题型．
15．【分析】首先证明OE是△BCD的中位线，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，
∵BE＝EC，
∴OE＝CD，
∵OE＝3，
∴AB＝CD＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
16．【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（3+2）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm，
由勾股定理得：x2＝202+[（3+2）×3]2＝625，
解得x＝25．
故答案为：25dm．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
17．【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AC＝4，即可得出点C的坐标．
【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD＝2，BD＝8，
∴AE＝OD＝2，DE＝4，
∴AC＝4，
∴点C的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
18．【分析】根据折叠的性质知：DF＝D′F，可在Rt△CFD′中，用CF的长表示出D′F，进而由勾股定理求得CF的值．
【解答】解：∵D′是BC的中点，
∴D′C＝BC＝4；
由折叠的性质知：DF＝D′F，设CF＝x，则D′F＝DF＝6﹣x；
在Rt△CFD′中，根据勾股定理得：D′F2＝CF2+CD′2，即：
（6﹣x）2＝x2+42，解得x＝；
故CF＝．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应的边相等．
19．【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝5，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝•AC•BD，
S菱形ABCD＝DH•AB，
∴DH•5＝•6•8，
∴DH＝．
故答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
20．【分析】根据勾股定理分别列式计算，然后根据被开方数的变化规律解答．
【解答】解：由勾股定理得，
∵，，，依此类推，
∴．
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分60分）
21．【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式与完全平方公式进行二次根式的乘法运算，再合并即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，利用乘法公式进行简便运算是解本题的关键．
22．【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝+2，y＝﹣2时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
23．【分析】（1）在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长即可；
（2）首先在Rt△CDE中利用勾股定理求出DE的长，然后再计算出DB的长即可．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝CD＝25米，BE＝7米，
由AE2＝AB2﹣BE2，
∴（米）；
（2）∵AC＝4米，AE＝24米，
∴CE＝AE﹣AC＝24﹣4＝20（米）；
∵DE2＝DC2﹣CE2，
∴（米），
∴BD＝DE﹣BE＝15﹣7＝8（米）．
∴梯脚B将外移8米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握正确运用勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
24．【分析】首先利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出EO＝FO，BO＝DO，即可得出答案．
【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AF＝EC，则FO＝EO，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出FO＝EO是解题关键．
25．【分析】在直角△ABD中，利用内角和定理求得∠B的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求解．
【解答】解：∵ED⊥BC，∠E＝35°，
∴∠B＝55°．
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝BD．
∴∠BAD＝∠B＝55°．
∴∠BDA＝70°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质，理解性质是关键．
26．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
27．【分析】利用正方形的关于对角线成轴对称，利用轴对称的性质可得出EF＝AP．
【解答】证明：如图，连接PC，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
又∵P为BD上任意一点，
∴PA、PC关于BD对称，
可以得出，PA＝PC，所以EF＝AP．
【点评】此题主要考查了正方形的对称性．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
28．【分析】（1）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案；
（2）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案；
（3）由，可得，可得，结合a，x，y为正整数，从而可得答案．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）∵，，
∴，
∴，即，
∵a，x，y为正整数，
∴或，
当时，a＝x2+3y2＝12+3×52＝76，
当时，a＝x2+3y2＝52+3×12＝28，
综上：a的值为：76或28．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法运算，二次根式的化简，理解题意，掌握化简的方法是解本题的关键．