宁夏吴忠市思源实验学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份宁夏吴忠市思源实验学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年宁夏吴忠市思源实验学校八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下面4个图案，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）1纳米等于0.000000001米，则35纳米用科学记数法表示为（　　）
A．35×10﹣9米 B．3.5×10﹣9米
C．3.5×10﹣10米 D．3.5×10﹣8米
3．（3分）下列算式中，结果等于a6的是（　　）
A．a4+a2 B．a2+a2+a2 C．a2•a3 D．a2•a2•a2
4．（3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为（　　）

A．90° B．60° C．86° D．43°
5．（3分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
6．（3分）如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　）

A．DC B．BC C．AB D．AE+AC
7．（3分）关于x的分式方程+3＝无解，m的值为（　　）
A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1
8．（3分）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．2mn B．（m+n）2 C．（m﹣n）2 D．m2﹣n2
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x2﹣8＝　 　．
10．（3分）若a+b＝8，ab＝﹣5，则（a﹣b）2＝　 　．
11．（3分）如图，有一个池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接达到点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，量出DE＝8，则AB＝　 　．

12．（3分）已知点P（a+1，3）与D（1，2b﹣3）关于y轴的对称点在第二象限，则a　 　，b　 　．
13．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为　 　．
14．（3分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于D，PC＝10，则PD＝　 　．

15．（3分）已知，则＝　 　．
16．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝　 　．

三、解答题（共72分）
17．（8分）计算下列各题：
（1）8x4y2÷x3y×2x；
（2）（2x+5）（3x﹣7）﹣（2x+y）2．
18．（6分）解方程式：﹣3＝．
19．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．

21．（6分）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
22．（8分）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的长．

23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：点D在∠BAC的角平分线上．

24．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC＝11，AB＝6，求BD长．

25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，点P在线段MC上，∠ABP＝2∠ACM．
（1）若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值；
（2）若点M在底边BC的中线上，且BP＝AC，试探究∠A与∠ABP之间的数量关系，并证明．


2022-2023学年宁夏吴忠市思源实验学校八年级（上）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下面4个图案，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）1纳米等于0.000000001米，则35纳米用科学记数法表示为（　　）
A．35×10﹣9米 B．3.5×10﹣9米
C．3.5×10﹣10米 D．3.5×10﹣8米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：35×0.000000001＝3.5×10﹣8；
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列算式中，结果等于a6的是（　　）
A．a4+a2 B．a2+a2+a2 C．a2•a3 D．a2•a2•a2
【分析】A：a4+a2≠a6，据此判断即可．
B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2＝3a2．
C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3＝a5．
D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2＝a6．
【解答】解：∵a4+a2≠a6，
∴选项A的结果不等于a6；

∵a2+a2+a2＝3a2，
∴选项B的结果不等于a6；

∵a2•a3＝a5，
∴选项C的结果不等于a6；

∵a2•a2•a2＝a6，
∴选项D的结果等于a6．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
4．（3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为（　　）

A．90° B．60° C．86° D．43°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝43°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝86°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（3分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【分析】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n﹣2）＝360，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设此多边形是n边形，
∵多边形的外角和为360°，
∴180（n﹣2）＝360，
解得：n＝4．
∴这个多边形是四边形．
故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n﹣2）．
6．（3分）如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　）

A．DC B．BC C．AB D．AE+AC
【分析】通过角的计算可得出∠B＝∠D、∠BCA＝∠DCE，再结合AC＝CE即可证出△ABC≌△EDC（AAS），由此即可得出DE＝BA，此题得解．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠AFD＝∠CFB，∠1+∠AFD+∠D＝180°＝∠2+∠CFB+∠B，
∴∠B＝∠D．
∵∠2＝∠3，∠DCE＝∠DCA+∠3，∠BCA＝∠2+∠DCA，
∴∠BCA＝∠DCE．
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴DE＝BA．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、对顶角以及三角形内角和定理，通过角的计算求出∠B＝∠D、∠BCA＝∠DCE是解题的关键．
7．（3分）关于x的分式方程+3＝无解，m的值为（　　）
A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1
【分析】根据分式方程无解，可得分式方程的增根，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：两边都乘以（x﹣1），得
7+3（x﹣1）＝m，
m＝3x+4，
分式方程的增根是x＝1，
将x＝1代入，得
m＝3×1+4＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，将分式方程的增根代入整式方程得出关于m的方程是解题关键．
8．（3分）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．2mn B．（m+n）2 C．（m﹣n）2 D．m2﹣n2
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），
故正方形的面积为（m+n）2，
又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积＝（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x2﹣8＝　2（x﹣2）（x+2）　．
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）
＝2（x﹣2）（x+2）．
故答案为：2（x﹣2）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
10．（3分）若a+b＝8，ab＝﹣5，则（a﹣b）2＝　84　．
【分析】把a+b＝8两边平方，利用完全平方公式化简，将ab＝﹣5代入计算求出a2+b2的值，原式化简后代入计算即可求出值．
【解答】解：把a+b＝8两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
将ab＝﹣5代入得：a2+b2＝74，
则原式＝a2+b2﹣2ab＝74+10＝84，
故答案为：84
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．（3分）如图，有一个池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接达到点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，量出DE＝8，则AB＝　8　．

【分析】连接AB，由题意知AC＝DC，BD＝EC，根据∠1＝∠2即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB＝DE，即可解题．
【解答】解：连接AB，
由题意知AC＝DC，BD＝EC，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEC是解题的关键．
12．（3分）已知点P（a+1，3）与D（1，2b﹣3）关于y轴的对称点在第二象限，则a　＞﹣1　，b　＞　．
【分析】根据点P（a+1，3）与D（1，2b﹣3）关于y轴的对称点在第二象限，可得，再解不等式组即可．
【解答】解：∵P（a+1，3）与D（1，2b﹣3）关于y轴的对称点在第二象限，
∴，
解得a＞﹣1，b＞．
故答案为：＞﹣1，＞．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，以及象各限内点的坐标的特点，先判断出点P、点D在第一象限是解题的关键．
13．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为　19°或71°　．
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数．
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝52°，
∴∠A＝90°﹣52°＝38°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣38°）＝71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣52°＝38°，
∴∠BAC＝180°﹣38°＝142°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣142°）＝19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°．
故答案为：19°或71°．


【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解．
14．（3分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于D，PC＝10，则PD＝　5　．

【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的定义可得∠AOB＝2∠AOP，根据两直线平行，同位角相等可得∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PE＝PC，最后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2×15°＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠PCE＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝×10＝5，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝5．
故答案为：5．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形以及与PD相等的线段是解题的关键．
15．（3分）已知，则＝　5　．
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后代入原式计算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：＝3，即x+y＝3xy，
则原式＝，
＝，
＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式的加减法，掌握运算法则是关键．
16．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝　8　．

【分析】设点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接ND，NP，MN，MP，MC，OP、OC、OD．
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝∠DOA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝8．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8．
故答案为：8．

【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算下列各题：
（1）8x4y2÷x3y×2x；
（2）（2x+5）（3x﹣7）﹣（2x+y）2．
【分析】（1）直接利用整式的乘除运算法则计算得出答案；
（2）直接利用多项式乘多项式以及完全平方公式化简，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝8xy×2x＝16x2y；

（2）原式＝6x2﹣14x+15x﹣35﹣（4x2+y2+4xy）
＝6x2﹣14x+15x﹣35﹣4x2﹣y2﹣4xy
＝2x2+x﹣4xy﹣y2﹣35．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（6分）解方程式：﹣3＝．
【分析】方程两边同时乘以（x﹣2）化成整式方程，解整式方程得出x的值，检验后即可得出分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣2）得：
1﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
1﹣3x+6＝1﹣x，
x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣2≠0，
∴x＝3是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，把分式方程化成整式方程是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】首先化简（﹣）÷，然后把x的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝÷
＝
当x＝时，
原式＝＝3﹣2
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．

【分析】（1）先作出△ABC关于x轴的对称顶点，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
（2）根据△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位，即可得到△A2B2C2，进而写出顶点A2，B2，C2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．
【点评】本题主要考查了利用平移变换以及轴对称变换进行作图，解题时注意：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21．（6分）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量＝2000元购买的数量×3．
（2）盈利＝总售价﹣总进价．
【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价是x元．第二批供应书包单价（x+4）元
则：×3＝．
解得：x＝80．
经检验：x＝80是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．

（2）×（120﹣80）+×（120﹣84）＝3700（元）．
答：商店共盈利3700元．
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．（8分）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的长．

【分析】（1）由AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D，根据SAS即可证明；
（2）由△ABC≌△DFE，推出BC＝EF，推出BE＝CF，由BF＝21，EC＝9，推出BE+CF＝12，可得BE＝CF＝6，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACB＝∠DEF，
∴AC∥DE．

（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC＝EF，
∴BE＝CF，
∵BF＝21，EC＝9，
∴BE+CF＝12，
∴BE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝6+9＝15．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：点D在∠BAC的角平分线上．

【分析】连接AD，D是BC的中点，那么AD就是等腰△ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线．
【解答】证明：如图，连接AD．

∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
∴AD平分∠BAC，
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC＝11，AB＝6，求BD长．

【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE＝∠AFB＝90°，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF＝∠ABF，得到AE＝AB，于是得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD＝ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF＝∠DBF，等量代换得到∠AED＝∠ABD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE＝∠AFB＝90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠BAF，
又∵在△AEF和△ABF中
∠AFE+∠EAF+∠AEF＝180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180°
∴∠AEF＝∠ABF，
∴AE＝AB，
∴△ABE为等腰三角形；

（2）解：连接DE，
∵AE＝AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BE，
∴BD＝ED，
∴∠DEF＝∠DBF，
∵∠AEF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ABD，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
又∵△CED中，∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴CE＝BD．
∴BD＝CE＝AC﹣AE＝AC﹣AB＝11﹣6＝5．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，点P在线段MC上，∠ABP＝2∠ACM．
（1）若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值；
（2）若点M在底边BC的中线上，且BP＝AC，试探究∠A与∠ABP之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据AB＝AC，∠BAC＝80°，可得∠ABC＝∠ACB＝50°，又∠PBC＝10°，∠ABP＝2∠ACM，可求∠BCM＝30°，由三角形的外角性质即可求解；
（2）过点A作BC边上的中线AD，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠CAM＝∠BAM，从而可证△ABM≌△ACM，进而证明△ABM≌△PBM，可证出∠AMB＝120°，进而得结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∵∠PBC＝10°，
∴∠ABP＝40°，
∵∠ABP＝2∠ACM，
∴∠ACM＝20°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠MPB＝∠PBC+∠BCP＝40°．
答：∠MPB的值为40°．
（2）如图：
过点A作BC边上的中线AD，
∵AB＝AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵点M在底边BC的中线上，
∴点M在∠BAC的角平分线上，即AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAM，
∴连接BM，又AM是公共边，
∴△ABM≌△ACM，
∴∠AMB＝∠AMC．∠ABM＝∠ACM，
∵∠ABP＝2∠ACM，
∴∠ABP＝2∠ABM，
∴∠ABM＝∠PBM，
∵BP＝AC，AC＝AB，
∴BP＝AB，BM＝BM，
∴△ABM≌△PBM（SAS），
∴∠AMB＝∠PMB，
∴∠AMB＝∠PMB＝∠AMC，
∴∠AMB＝120°，
∴∠ABM+∠MAB＝60°，
∠BAC＝2∠MAB，∠ABP＝2∠MAB，
∴∠BAC+∠ABP＝120°．
答：∠BAC与∠ABP的数量关系为：∠BAC+∠ABP＝120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是准确作出辅助线利用角的和差关系．