2024届高三数学二轮复习奔驰定理与三角形的“四心”问题讲义

这是一份2024届高三数学二轮复习奔驰定理与三角形的“四心”问题讲义，文件包含2024届高三数学二轮复习奔驰定理与三角形的“四心”问题讲义原卷版docx、2024届高三数学二轮复习奔驰定理与三角形的“四心”问题讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
【知识拓展】
（一）四心的基本概念
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
（二）四心的向量表示
1、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若 QUOTE AP=?AB+AC 或，，则P一定经过三角形的重心
（4）若或 QUOTE OP=OA+?ABABsinB+ACACsinC ，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心
2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
（2）AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
3、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
（1） QUOTE OA=OB=OC?OA2=OB2=OC2
（2）OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OA+OC∙AC=0
（3）动点P满足OP=OB+OC2+λABABcsB+ACACcsC，λ∈0,+∞，
则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.
（4）若OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OC+OA∙CA=0，则O是∆ABC的外心.
4、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
（1）OA∙OB=OB∙OC=OC∙OA
（2）OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2
（3）动点P满足 QUOTE OP=OA+?ABABcsB+ACACcsC ，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定过∆ABC的垂心
（三）奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
（一）奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
（二）奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：．
（4）是的垂心：．
核心考点题型一 重心的向量表示及其应用
【例题1】．（2023秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）若是内一点，，则是的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【例题2】（2023·湖南长沙高三检测）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【例题3】（2023秋·湖北武汉高三专题检测）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【例题4】．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．
【变式1-1】（2023·山东威海高三阶段检测）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·江西九江高三模拟预测）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．
【变式1-3】（2023秋·云南曲靖高三模拟）设为的重心，若，则___________．
【变式1-4】．（2023·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
核心考点题型二 内心的向量表示及其应用
【例题1】（2023秋·甘肃白银高三联考）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【例题2】．（2023·河南郑州高三模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则_________．
【例题3】．（2023秋·四川成都高三专题检测）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.
【变式2-1】（2023秋·云南曲靖高三专题检测）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式2-2】（2023·河北石家庄高三专题检测）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】．（2023秋·陕西西安联考）已知是所在平面内一点，且点满足 则点一定的（ ）
A．外心B．重心C．内心D．垂心
【变式2-4】（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考）设为的内心，，，，则为________．
【变式2-5】．（2023秋·内蒙古呼和浩特高三校考）校考期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（ ）
A．B．3C．D．4
核心考点题型三 的向量表示及其应用
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟预测）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【例题2】．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则___________．
【变式3-1】（2023·云南曲靖高三专题检测）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
【变式3-2】．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．
【变式3-3】（2023秋·浙江金华高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
核心考点题型四 的向量表示及其应用
【例题1】（2023·江西九江高三专题检测）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【例题2】．（2023秋·重庆八中高三专题检测）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .
【变式4-1】（2023·陕西榆林高三模拟）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【变式4-2】．（2023·四川绵阳高三模拟）已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .
【变式4-3】．（2023·广东深圳高三模拟检测）设H是的垂心，且，则_____．
【变式4-4】．（2023·银川一中高三第二次模拟）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.
【变式4-5】．（2023秋·河南濮阳·高三统考期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
核心考点题型五 奔驰定理及其应用
【例题1】（2023·河北保定高三模拟）已知是内一点，且满足，记的面积依次为，则等于 （ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023·广西桂林高三专题检测）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2023·湖北武汉高三专题检测）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】．（2023·山东烟台高三模拟）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2023·云南大理高三专题检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
【变式5-4】．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考）（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则