2024届高三数学二轮复习素养提升点3-7立体几何中的取值范围或最值问题讲义

这是一份2024届高三数学二轮复习素养提升点3-7立体几何中的取值范围或最值问题讲义，文件包含2024届高三数学二轮复习素养提升点3-7立体几何中的取值范围或最值问题原卷版docx、2024届高三数学二轮复习素养提升点3-7立体几何中的取值范围或最值问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
纵观近十多年的高考命题规律，立体几何以考查位置关系为主、辅以考查数学运算如：空间角、距离，表面积、体积求解等之外，还考查立体几何中有关量的取值范围或最值问题，求解该类问题时，要考虑题中存在的一些不等关系，其次需要结合函数、不等式、导数进行综合求解，属于难度较大的题型。
【归纳题型】
核心考点题型一 几何体的表面积或体积的最值问题
【例题1】（2023秋.山东青岛高三校考开学考）如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积为，体积为V，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【例题2】（2023秋.湖南长沙高三模拟）正方体的棱长为2，底面内(含边界)的动点到直线的距离与到平面的距离相等，则三棱锥体积的取值范围为 .
【例题3】（2023秋.四川成都高三模拟）已知等腰直角中，为直角，边，P，Q分别为AC，AB上的动点（P与C不重合），将沿PQ折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCPQ．若点，B，C，P，Q均在球O的球面上，则球O体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023秋·甘肃兰州一中高三开学考试）鳖臑（biē nà）出自《九章算术·商功》，指的是四个面均为直角三角形的三棱锥，如图所示的鳖臑中，，，，且，，则其外接球体积的最小值为 .

【变式1-2】（2023秋·陕西榆林高三模拟）设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023秋·湖南长沙高三模拟）(多选题)如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是( )
A．面积的最大值为
B．存在某个位置，使得
C．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为
D．三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为.
【变式1-3】（2023秋·山西太原高三模拟）在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部(包含边界)，且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为( )
A．B．C．D．
【变式1-4】（2023秋·河南洛阳高三模拟）．在中，，点分别在边上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是( )
A．B．C．D．
核心考点题型二 距离或长度最值范围问题
【例题1】（2024·湖北三市联考模拟预测）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】（2024·河南洛阳高三联考模拟预测）如图，在中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点，在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是（ ）
A．B．20C．D．30
【例题3】（2023·河南安阳实验中学校考二模）正四棱柱中，，为底面的中心，是棱的中点，正四棱柱的高，点到平面的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【例题4】（2023·四川成都实验中学二模）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是________．
【变式2-1】（2024·江苏徐州高三统考模拟）以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成的二面角.若，，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·湖北武汉高三专题检测）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2024·四川绵阳高三模拟）已知三棱锥的所有棱长均为2，点M为边上一动点，若且垂足为N，则线段长的最小值为( )
A．B．C．D．1
【变式2-4】（2024·甘肃白银高三联考）已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-5】（2024·山西大同高三模拟）.在棱长为的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【变式2-6】（2024·江苏无锡高三模拟）已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论：
①线段的长度为；②点到面的距离范围为；
③周长的最小值为；④的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为( )
A．B．C．D．
核心考点题型三 空间角的最值问题
【例题1】（2024·四川巴中高三模拟）.如图，在长方体中，是的中点，点是上一点，，，，动点在上底面上，且满足三棱锥的体积等于，则直线与所成角的正切值的最小值为 .
【例题2】（2024·江苏无锡高三模拟）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【变式3-1】（2023秋·云南大理高三模拟）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A. B．C． D．
【变式3-2】（2024·湖北武汉高三模拟）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
（1）证明：∠PAD＝∠PBC；
（2）当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，
求此时二面角P—AB—C的大小．
【变式3-3】（2024·河北石家庄高三模拟）(多选)已知正方体的棱长为1，为棱(包含端点)上的动点，下列命题正确的是( )
A．
B．二面角的大小为
C．点到平面距离的取值范围是
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【变式3-4】（2024·河北石家庄高三模拟）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【变式3-5】（2023·山西太原统考模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，，直角梯形ABCD绕BC旋转一周形成一个圆台．
(1)求圆台的表面积和体积；
(2)若直角梯形ABCD绕BC逆时针旋转角到，且直线与平面ABCD所成角的正弦值为，求角的最小值．
核心考点题型四 截面面积的最值问题
【例题1】（2023·山西太原统考模拟预测）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】（2023·四川广元高三模拟预测）在长方体中，，过点作平面与分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【例题3】（2023·云南曲靖一中高三模拟预测）.如图，已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【变式4-1】（2023·宁夏银川一中模拟预测）正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·江西九江高三模拟预测）如图，在四面体中，，，，、分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2023上·甘肃西北师大附属中学校考）如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列四个结论：
①三棱锥的体积为定值；②存在点使得平面：
③的最小值为；
④对每一个点E，在棱上总存在一点P，使得平面；
⑤M是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为
其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
核心考点题型五 截面面积的最值问题
【例题1】（2023秋·四川宜宾高三检测）设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023秋·山西太原第一中学质量检测）如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2023秋·河南开封高三模拟检测）若球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2023秋·四川绵阳高三模拟检测）正三棱锥，为中点， ，，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023秋·河北保定高三模拟）已知正四面体的棱长为4，点在棱上，且，过作四面体外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】（2023·山东青岛高三模拟检测）如图，三棱锥的四个顶点恰是长､宽､高分别是，2，的长方体的顶点，此三棱锥的体积
为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为__________．
【变式5-5】（2023秋·江苏无锡高三模拟检测）.已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，点为内（包括边界）的一个动点，则三棱锥为外接球的表面积最大值为 .