2024届高三数学二轮复习素养提升点3-4衍生新数列讲义

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衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题。
【考题归类】
核心考点题型一 数列中的公共项问题
【例题1】（2023秋·四川成都统考三模）已知数列的前项和为，满足，等差数列中.
(1)求和的通项公式；
(2)数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积.
【答案】(1)，；(2).
【详解】（1），，当时，，两式相减得：，
即，而，解得，因此数列是首项为3，公比为3的等比数列，，
在等差数列中，由，得，解得，
则公差，，
所以和的通项公式分别为，.
（2）令数列的第m项与数列的第k项相同，即，
于是，
显然是4的正整数倍，要成立，
当且仅当为正偶数，因此数列与的共同项为，即，
所以.
【例题2】（2023陕西汉中高三期末）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和.
【答案】(1)， (2)341
【解析】(1) 由与的关系式可得通项公式，再由点与直线的关系可得的通项公式；
(2) 找出满足条件的共同项再求和即可.
(1)
，，，
①，，，满足①，
所以是以1为首项2为公比的等比数列，
所以.
因为点在直线上，
所以，，是首项为1公差为3的等差数列，所以.
(2)
且满足的中项一定是除3余1的数，即形如的数，
同时满足，所以，，，，
数列{cn}所有项的和为：.
【变式1-1】（2023·江苏无锡高三模拟）已知等差数列中，，首项，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.
(1)求的通项公式；
(2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前n项和为，求.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）根据题意求出，从而求出通项公式；（2）先求出的前25项和，再减去前25项中含有数列中的项的和，求出答案.
(1)等差数列中，，，其前四项，，，中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.
根据题意，当删去数列中第三项时，
满足，解得；
删去时，满足，此方程无解，不满足题意，同理可证，删除与时，均不满足题意；
故；
所以，
(2)已知等差数列中，，
数列中的项为：4，8，16，32，64，128，256，…，
所以.
故数列的前25项和为，
数列的前25项中含有数列中的项的和为，
所以.
题型二 数列的并项问题
【例题1】（2023秋·湖南长沙高三模拟）已知等差数列和等比数列满足
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合､，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.
【答案】．（1），；（2）4081.
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出的通项公式；
（2）的前50项中含有的前7项，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出．
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为
所以，解得，，
（2）因为，，，
所以的前50项中含有的前7项且含有的前43项
【例题2】（2023秋·云南大理高三模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.
【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为.
【分析】（1）由可得可得答案；
（2）由得，两式相除可得数列的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列的前2n项的和.
【详解】（1）由，，
得，所以.
因为，所以，所以，.
又当时，，适合上式.
所以，.
（2）因为，，所以，
又，所以.
所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.
故数列的前2n项的和，
所以数列的前2n项和为.
【变式2-1】．（2023秋·山西大同高三模拟）已知数列的前项和为，，当时，.
（1）求证：当，为定值；
（2）把数列和数列中的所有项从小到大排列，组成新数列，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）4594.
【分析】（1）由可求得的值，令由可得出，两式作差可得出，可得出数列是以为首项，以为公比的等比数列，进而可求得数列的通项公式；
（2）确定数列所包含数列中的项，利用分组求和可求得的值.
【详解】解：（1）当时，，
即，得，
当时，因为，所以，
两式相减得，所以，
，所以，当时，.
所以；
（2）数列前项为、、、、、、，
数列为、、、、、，
所以数列前项含有数列的项为、、、、、，共六项，
所以
.
【变式2-2】．（2023秋·辽宁大连高三模拟）在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，______，数列是公比为2的等比数列，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列；，，，，，，，，…，求数列的前项和．
【答案】．(1)， (2)
【解析】（1）根据条件，得出有关数列的方程组通过解方程得到数列的通项，进而得出的通项；
（2）通过“分组求和”即可求得．
(1)设等差数列的公差为d，
选择①，，可知，所以．
又，
所以数列的公差，所以；
选择②，，可知，
，
则
所以；
选择③，，可知，
则
所以．
又因为，所以数列的通项公式为．
(2)由题意
.
核心考点题型三 数列的定项问题
【例题1】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根据，，得到为等差数列，根据通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到的通项公式，再利用等比数列通项公式基本量计算出和公比，求出的通项公式；
（2）在第一问的基础上得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式求出答案.
【详解】（1），，，
即，，，
故为等差数列，设公差为，
故，，
解得：，，
所以，
设等比数列的公比为，，
因为，成等差数列，所以，
即，与联立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由题意得：为中的整数个数，
故，
所以
.
【例题2】（2023秋·重庆八中一模）已知等比数列的前n项和为（b为常数）．
(1)求b的值和数列的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）解：由题设，显然等比数列的公比不为1，
若的首项、公比分别为、，则，
∴且，所以，
故的通项公式为．
当时，；
（2）解：令，，解得，所以
数列在中的项的个数为，则，所以，
∵，①
∵②
两式相减得∴．
∴
【变式3-1】（2023秋·湖北武汉一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．
(1)求，的值；
(2)求最小自然数n的值，使得．
【答案】(1)，；；(2)11
【分析】（1）利用等比数列的性质求得公差，得通项公式，写出时的集合可得元素个数，即；
（2）由（1）可得，然后分组求和法求得和，用估值法得时和小于2022，时和大于2022，由数列的单调性得结论．
【详解】（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，
，解得，所以，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为；
（2）由（1）知，
，
时，=20012022，
记，显然数列是递增数列，
所以所求的最小值是11.
核心考点题型四 数列的插项问题
（一）插入新数列构成等差
【例题1】（2023秋·江苏南通高三校联考）已知数列的前项和为，且满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由①
得时②
①-②得，①中令得，
是以为首项，为公比的等比数列，，
（2）
假设存在这样的三项成等比数列，
为递增数列，不妨设，
则
则，
成等差数列，
，，
由，得，所以，与题设矛盾
不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.
【例题2】（2023·湖北十堰·三模）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为，①
当时，
当时，，②
①②得.
所以.
又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.
(2)解：由题可知，得，
则，③
，④
③④得
，
解得.
【变式4-1】（2023秋·陕西汉中高三模拟）已知正项等比数列和其前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.
【答案】(1) (2)6
【解析】（1）依题意，设等比数列的公比为，则，，
因为，所以，解得或（舍去），
因为，所以，
即，解得或（舍去），
所以；
（2）由题意可得，，
则，
故数列单调递增，不难发现，
故满足题意的m的最小值为6.
【变式4-2】（2023秋·山东青岛高三模拟）已知等比数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设等比数列的公比为q，
当时，有，则①，
当时，，两式相减可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比数列的通项公式为；
（2）由已知在与之间插入n个数，组成以为首项的等差数列，设公差为，
所以
则，
设，则是递增数列，
当n为偶数时，恒成立，即，所以；
当n为奇函数时，恒成立，即，所以；
综上所述，的取值范围是．
【变式4-3】（2023·安徽合肥高三模拟）数列的前n项和为，且.
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的最大项.
【答案】(1)证明见解析，（）(2)
(1)因为，所以，
即，即.
设，则.
因为，则，所以，
所以是首项和公比均为﹣1为等比数列，即数列是首项和公比均为﹣1为等比数列，
所以，所以，
即数列的通项公式为（）.
(2)依题意，因为（），
所以，.
所以当n为奇数时，，，
所以数列的所有奇数项依次构成一个递减数列（即），
因此，数列的所有奇数项中的最大项为；
当n为偶数时，，，
所以数列的所有偶数项依次构成一个递减数列（即），
因此，数列的所有偶数项中的最大项为；
因为，所以数列的最大项为.
（二）插入新数列构成等比
【例题1】（2023秋·四川成都高三模拟）已知数列的前项和满足，，.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入一项，使，，成等比数列，且公比为，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
(1)数列的前项和满足：
则有：
可得：
又，
则有：
故是首项为1，公差为2的等差数列
则有：
即的通项公式为：
(2)因为，，成等比数列，且公比为，所以
因为，所以，即
因为，则有：
可得：
化简可得：
所以数列的前项和：
【例题2】（2023秋·云南大理高三联考）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，，证明见解析 (2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意，，
在数列中，当时， 成等差数列，
∴，
即，即，即.
∴，
猜想.
下面我们证明.
∵，∴，
∵当时，，
∴对任意正整数，均有，
∴，
∴，
∴，
即数列的通项公式为：.
（2）由题意及（1）得，
在数列中，，
∴.
假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，
即，化简得，
∵成等差数列，∴，
∴，化简得，
又，∴，即，
∴，∴，这与题设矛盾，所以假设不成立，
∴在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
【变式4-4】（2023秋·四川绵阳三模）已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，数列中第，，，…，…项构成新的数列，且数列为等比数列，求数列前项和.
【答案】(1)(2)
(1)∵，∴，∴.
∴，
∴当时，.
即.
又，∴，∴，∴.
(2)由（1）知数列中第，项为，，
即等比数列为首项为3，公比为3的等比数列，
∴，而，∴.
∴.
【变式4-5】(2023秋·山西运城高三模拟）已知等差数列{An}的首项A1为4，公差为6，在{An}中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若EQ a\S\DO(k\S\DO(1))，EQ a\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQ a\S\DO(k\S\DO(n))，…是从{an}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，eq k\s\d(1)＝1，k\s\d(2)＝5，令eq b\s\d(n)＝2nk\s\d(n)＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）eq a\s\d(n)＝a\s\d(1)＋(n－1)d＝4＋(n－1)×2＝2n＋2；（2）eq ∴T\s\d(n)＝(2n－1)·3\s\up6(n)＋1
【解析】(1)设数列{an}的公差为d，
由题意可知，eq a\s\d(1)＝A\s\d(1)＝4，a\s\d(4)＝A2＝4＋6＝10，
所以eq a\s\d(4)＝4＋(4－1)×d＝10，
解得d＝2，
所以eq a\s\d(n)＝a\s\d(1)＋(n－1)d＝4＋(n－1)×2＝2n＋2；
(2)设等比数列EQ a\S\DO(k\S\DO(1))，EQ a\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQ a\S\DO(k\S\DO(n))，…的公比为q，
则q＝EQ \F(a\S\DO(k\S\DO(2)),a\S\DO(k\S\DO(1)))＝EQ \F(a\S\DO(5),a\S\DO(1))＝EQ \F(12,4)＝3，所以EQ a\S\DO(k\S\DO(n))＝eq 4·3\s\up6(n－1)，
又EQ a\S\DO(k\S\DO(n))＝eq 2k\s\d(n)＋2，
所以eq 2k\s\d(n)＋2＝4·3\s\up6(n－1)，k\s\d(n)＝2·3\s\up6(n－1)－1，
eq ∴b\s\d(n)＝2nk\s\d(n)＋2n＝4n·3\s\up6(n－1)，
因为eq T\s\d(n)＝4×3\s\up6(0)＋8×3\s\up6(1)＋12×3\s\up6(2)＋…＋4n·3\s\up6(n－1)，
所以eq 3T\s\d(n)＝4×31eq ＋8×3\s\up6(2)＋12×3\s\up6(3)＋…＋4(n－1)·3\s\up6(n－1)＋4n·3\s\up6(n)，
相减得：eq －2T\s\d(n)＝4×3\s\up6(0)＋4×3\s\up6(1)＋4×3\s\up6(2)＋…＋4·3\s\up6(n－1)－4n·3\s\up6(n)
eq ＝\f(4(1－3\s\up6(n)),1－3)－4n·3\s\up6(n)＝－2(2n－1)·3\s\up6(n)－2
eq ∴T\s\d(n)＝(2n－1)·3\s\up6(n)＋1
（三）插入插入新数混合
【例题1】（2023秋·四川广元一模）己知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
【答案】（1）；（2）=142
【解析】 (1)设的公差为d，由已知，．
解得，d＝2．所以；
(2)因为与之间插入个1，
所以在中对应的项数为
，
当k＝6时，，当k＝7时，，
所以，，且．
因此
.
【例题2】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔高三模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，求的前项和.
【答案】(1)；(2).
(1)当时，，解得：；
当时，由得：，
两式作比可得：，整理可得：，
数列是以为首项，为公差的等差数列，；
(2)设和插入的个数构成一组数，则前组共有个数，
令，又，解得：；
当时，，
的前项中包含前组数和第组数的前个，
.
【变式4-6】（2023秋·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，由求解；
（2）方法一：由题意得到，的各项为，再确定数列的项求解；方法二：由在数列中，前面（包括）共有项，令，确定数列的项求解.
(1)
解：设等差数列的公差为，
由题得，即，
整理得，解得. 所以.
(2)方法一：由题意可知，的各项为
即，
因为，
且，
所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，
所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，
所以，
方法二：在数列中，前面（包括）共有项，
令，则，
所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，
所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，
所以，

【变式4-7】（2023秋·山西太原高三期末）（多选）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.
【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第次得到数列1，，2 此时
所以，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则
又
所以 ，故B项正确；
由B项分析可知
即，故C项错误.
，故D项正确
【变式4-8】（2023·内蒙古呼和浩特三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
【答案】(1)，(2)11522
【解析】(1)由
得：∵
是首项，公差为2的等差数列 ∴
又当时，得
当，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，∴， ∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
(2)依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
【变式4-9】（2023秋·银川一中三模）已知等差数列的前n项和记为（），满足，若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．
【答案】
【详解】若，则，
根据题意数列为：
第一组为：1，；
第二组为：，，；
第三组为：，，，；
……
第组为：，，，，…，；
则前组一共有项，当时，项数为.
故相当于是前组的和再加上这五项，即：
设，则可看成是数列的前项和
所以
【变式4-10】（2024·贵州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列是由数列的项删去数列的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列的前50项和.
【答案】(1)，.(2)3066.
(1)因为①，
所以②，
由②①得，即，
当时，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
设数列的公差为d，，，
所以，所以，.
(2)因为，，
所以数列的前50项即为数列的前56项删去数列中的前6项，
故所求数列的前50项和.
所以.
核心考点题型五 数列的减项问题
【例题1】（2023秋·河南洛阳模拟预测）已知是首项为1的等差数列，公差是首项为2的等比数列，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的第项，满足__________（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．
①②．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设的公差为的公比为，
因为，所以，
联立消得，解得或与矛盾，
故，代回计算得，
所以
（2）若选①，则有，
所以剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为，
所以当时，对应的为整数，满足，
当时，对应的不为整数，不满足，
所以剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，
所以；
【例题2】（2023.陕西宝鸡高三第一次模拟）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
【答案】（1）证明见解析，；（2）11202.
【解析】（1）证明：因为n，，成等差数列，所以，①
所以.②
①－②，得，所以.
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）根据（1）求解知，，，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
又因为，，，，，，，，
，，，
所以
.
【变式5-1】（2023秋.云南曲靖高三第一次模拟）已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为q，
由已知得，解得， ，所以；
所以，，所以.
（2）由题意可知新数列为：，，，，…，
则当n为偶数时
，
则当n为奇数时,
，
综上：