2024届高三数学二轮复习热点1-10空间几何体的表面积和体积（考点八大题型）讲义

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【考情透析】
空间几何体的表面积和体积是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题为主，要求考生要有较强的空间想象和计算能力，难度为中档。
【归纳题型】
核心考点题型一 空间几何体的结构特征
1．【多选】（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）下列命题正确的是（ ）
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
【例题2】（2023秋·四川绵阳高三校考模拟预测）已知：“四棱柱是正棱柱”，：“四棱柱的底面和侧面都是矩形”，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【例题3】（2023秋·云南曲靖一中高三专题）《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，则（ ）
A．“羡除”有且仅有两个面为三角形；B．“羡除”一定不是台体；
C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除”；D．“羡除”至多有两个面为梯形.
【变式1-1】（2023秋·河南安阳高三模拟）在三棱锥中，“三棱锥为正三棱锥”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2023春·甘肃兰州高三校联考期中）下列命题正确的是（ ）
A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
【变式1-3】（2023秋·河北保定高三模拟）正方体中，用平行于的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能是（ ）
A．两个三棱柱 B．两个四棱台 C．两个四棱柱 D．一个三棱柱和一个五棱柱
【变式1-4】．（2023春·河南商丘实验中学校联考）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）

A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面
C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点
【变式1-5】（2023·河南洛阳高三专题检测）1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：．已知一个正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则（ ）
A．50B．52C．60D．62
核心考点题型二 空间图形的展开图及最短路径问题
【例题1】．（2023秋·云南曲靖一中校考期末）如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是_______.
①与 ②与 ③与 ④与
【例题2】（2023·安徽黄山·统考一模）如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，则该四棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为 .
【例题3】．（2023秋·河南开封高三模拟）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A．B．C．3D．2
【例题4】（2023·四川成都高三模拟）如图，在直三棱柱中，，，，E、F分别是、的中点，沿棱柱的表面从E到F的最短路径长度为________．

【例题5】．（2023·陕西榆林高三专题检测）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________
.
【变式2-1】（2023·河北保定高三专题检测）如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（ ）
A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线
【变式2-2】（2023·江苏无锡高三统考模拟预测）如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2023·陕西汉中高三统考模拟预测）如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（ ）

A．14B．C．7D．
【变式2-4】（2023·云南大理高三模拟预测）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（ ）

A．B．3C．4D．
【变式2-5】（2023·山东威海高三专题检测）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．6D．
【变式2-6】（2023·陕西汉中高三统考模拟预测）如图，长方体中，，，M是的中点.

(1)求证：；
(2)求证：∥平面；
(3)点P是棱上的动点，求的最小值，并说明此时点P的位置.
【变式2-7】（2023·河北唐山高三统考模拟）如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．

核心考点题型三 斜二测画法及应用
【例题1】（2023·江苏镇江高三统考模拟预测）如图，一个水平放置的的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形，若，则原三角形的面积为 .
【例题2】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ）
A． B． C．D．
【例题3】（2023·河北石家庄高三模拟预测）如图，长方体的底面的斜二测直观图为平行四边形.已知，，高，，分别为，的中点，用平面截该长方体，则剩余的三棱台的体积为 .

【变式3-1】（2023·江西上饶高三统考模拟预测）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ）

A．B．C．D．5
【变式3-2】（2023·甘肃天水高三模拟预测）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，该直观图是一个等腰梯形，且，则原平面图形的边 .

【变式3-3】（2023·山西大同高三模拟预测）．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则 ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为 .

【变式3-4】（2023·四川广元高三模拟预测）用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为（ ）

A．B．C．D．
【变式3-5】（2023·山东烟台高三模拟）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-6】（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）（多选题）如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积为14
B．与同向的单位向量的坐标为
C．在向量上的投影向量的坐标为
D．的最小值为17
核心考点题型四 空间几何体的表面积
【例题1】（2023·江苏南通高三三模）如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【例题2】（2023秋·辽宁沈阳高三统考期末）如图，扇形中，，，将扇形绕所在直线旋转一周所得几何体的表面积为______．
【例题3】（2023秋·山东烟台高三专题检测）如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是_________．
【例题4】．（2023·河南洛阳高三模拟）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（ ）
A．2B．C．D．4
【变式4-1】．（2023·吉林长春高三模拟）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体称作“阿基米德体”．若一个正四面体的棱长为12，则对应的“阿基米德体”的表面积为 ．


【变式4-2】．（2023·云南昆明高三模拟）．如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为，则其体积为 .

【变式4-3】（2023秋·内蒙包头高三校考）如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为______.
【变式4-4】．（2023秋·江西南昌高三校联考）已知是圆锥的一个轴截面，分别为母线的中点，，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-5】．（2023·四川绵阳高三模拟）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（ ）（，，）
A．B．C．D．
【变式4-6】（2024·河南郑州统考模拟预测）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（ ）．

A．B．
C．D．
【变式4-7】（2023·甘肃张掖高台县第一中学校考模拟预测）仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代宣德年间产的瓷器．该盘盘口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齐．通体施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不胜收．仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体，其口径为15.5cm，足径为9.2cm，顶部到底部的高为4.1cm，底部圆柱高为0.7cm，则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为（ ）（参考数据：π的值取3，）

A．B．C．D．
【变式4-8】（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（ ）

A．B．
C．D．
核心考点题型五 空间几何体的体积
（一）直接法
【例题1】（2023秋·四川成都七中校考）若某圆锥高为3 ， 其侧面积与底面积之比为， 则该圆锥的体积为________.
【例题2】（2024春·辽宁鞍山高三校联考开学考试）已知A，B，C是半径为的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱台中，，，则其体积为________.
【例题4】．（2023·黑龙江齐齐哈尔高三统考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为（ ）
A．18B．C．D．27
【变式5-1】（2023秋·重庆一中校考检测）若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2023秋·云南曲靖一中校考检测）已知一个圆锥的底面半径为1，体积是，则其侧面展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2023·江苏无锡高三模拟预测）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥的高为4.87m，其侧棱与高的夹角为45°，则该正四棱锥的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023秋·陕西宝鸡高三校考检测）图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（ ）

A．B．C．D．
割补法
【例题1】（2023秋·云南曲靖一中高三校考检测）如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
【例题2】（2023·江西婺源高三统考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．1:2B．4:5C．4:9D．5:7
【变式5-5】（2023·贵州贵阳高三统考预测）如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ）

A．B．C．D．
【变式5-6】（2023·广西柳州统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-7】（2023·四川·校联考模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得.

(1)求证：平面平面；
(2)若，分别为，的中点，求三棱锥的体积.
（三）等体积法
【例题1】（2023•天津高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为
A．B．C．D．
【例题2】．（2023·吉林四平统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；(2)求三棱锥的体积．
【变式5-8】．（2023·吉林四平统考模拟预测）．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．

(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱唯的体积．
【变式5-9】（2023·山西运城高三模拟预测）如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
核心考点题型六 空间几何体的截面问题
【例题1】（2023秋·云南大理高三检测）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【例题2】（2023·宁夏银川实验中学校考模拟预测）已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
【例题3】（2023·湖北武汉高三模拟预测）已知球O中有两个半径为2的截面圆，，圆与圆的相交弦， 的中点为P，若，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023秋·吉林通化高三统考模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【变式6-2】．（2023秋·四川绵阳高三模拟）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为_________．

【变式6-3】．（2023秋·河南安阳高三模拟）已知四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，平面过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为（ ）
A．所得截面是正五边形B．截面过棱PA的三等分点
C．所得截面面积为D．截面不经过CD中点
【变式6-4】（2023秋·浙江嘉兴高三统考开学考试）在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型七 空间几何体的外接球
【例题1】．（2023秋·山东济南高三模拟）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【例题2】（2023·湖南长沙高三统考一模）在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023·四川南充·阆中中学校考二模）如图，圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________.
【变式7-1】（2023•四川绵阳高三模拟）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为
A．B．C．D．
【变式7-2】（2023秋·山西大同高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·河南郑州高三模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，P为侧棱SA的中点，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2023·广东汕头统考一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】（2023·云南曲靖高三统考一模）在矩形中，，，点E，F分别为BC，AD的中点，点H为AE的中点，将沿直线AE翻折至的位置，当时，三棱锥的外接球的体积是 ．
核心考点题型八 空间几何体的内切球
【例题1】（2023·江苏徐州高三统考一模）已知圆锥的顶点为，轴截面为锐角，，则当 时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为 ．
【例题2】（2023秋·辽宁大连高三统考期末）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023·安徽合肥高三统考一模）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）

A．B．C．2D．
【变式8-1】（2023·甘肃兰州高三统考一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2023·陕西师范大学附中校考）古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）．现有球与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆柱的表面积分别为，体积分别为，则__________；_________．
【变式8-3】（2023秋·河北石家庄高三联考）（多选）正三棱锥的底面边长为3，高为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥的表面积为
C．三棱锥的外接球的表面积为 D．三棱锥的内切球的表面积为