安徽省合肥市寿春中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市寿春中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．2024相反数的倒数是( )
A.B.C.2024D.
2．据水利部介绍，自从南水北调东、中线建成以来，已经累计调水量超过698亿立方米，其中698亿用科学记数法表示( )
A.B.C.D.
3．如图所示的几何体的左视图( )
A.B.C.D.
4．下列计算正确的是( )
A.B.C.D.
5．若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A.B.1C.D.
6．如图，是的内接四边形，连接、，，则的度数是( )
A.B.C.D.
7．春节期间，小明和小华分别从三部春节档影片《飞驰人生2》《热辣滚烫》和《第二十条》中随机选择两部部观看，则小明和小华选择的两部影片相同的概率为( )
A.B.C.D.
8．如图，的边上有D、E、F三点，若，，，根据图中标示的长度，四边形与的面积比是( )
A.B.C.D.
9．一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是( )
A.B.C.D.
10．如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接.下列结论正确的是( )
A.当点P与点A重合时，最小B.当点P与点D重合时，最小
C.当最小时，A、E、C三点共线D.当最小时，
二、填空题
11．已知a为整数，且，则_____.
12．化简的结果为_____.
13．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则.若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为_____.
14．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点.
（1）_____；
（2）若直线轴，交一次函数与点，交反比例函数与点，当点在点的上方时，面积的最大值是_____.
三、解答题
15．解不等式，并把解在数轴上表示出来.
16．某快餐店有线上和线下两种消费方式.2022年，该快餐店的年收入总额达50万元，线上收入与线下收入的比是.2023年，该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广的力度，因而收入总额明显提升.与2022年相比，年收入总额增长了，其中线上收入增长了.求该快餐店2023年的线下收入的增长率.
17．观察下列关于自然数的等式：
，①
，②
，③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：_____；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
(3)根据你发现的规律，可知_____.（直接写出结果即可）
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）.
(1)以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，画出；
(2)用无刻度直尺画图（要求：保留关键作图痕迹，无需写作法）
①过点作的垂线，交于点，并标出点；
②在上找一点，使得，并标出点.
19．随着《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的落实，劳动课已成为各中小学不可或缺的独立课程.某学校利用空地建成劳动实践基地.已知空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地的面积（参考数据：，）.
20．如图1，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是弧的“幸运角”,如图，
(1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接.求证：是弧的“幸运角”；
(2)如图3，若直径，弦，弧的“幸运角”为，求的长.
21．某校七、八年级各有500名学生，为了解两个年级学生对“防电信诈骗”的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行“防诈反诈”知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：：，：，：，：，：，：.并绘制了七、八各年级的统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩组的全部数据如下：85，85，86，86，87，88，89.
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)______，______；
(2)八年级测试成绩的中位数是______；
(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对“防电信诈骗”关注程度高，请估计该校七、八两个年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由.
22．如图，已知正方形，点E在边上，点在边的延长线上，且.连接并延长，交于点G.
(1)如图1，①求证；；②连接，求的度数；
(2)如图2，若，求的值.
23．如图，平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为，点是抛物线第一象限内一点，且在抛物线对称轴右侧，其横坐标为.
(1)求该抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
(2)过点作轴，交抛物线于点，分别过点、作轴的垂线，垂直分别是、，当矩形的周长最大时，求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：的相反数是，
相反数的倒数是.
故选：B.
2．答案：B
解析：1亿
698亿.
故选：B.
3．答案：C
解析：从左边看，是一个矩形，矩形中间靠上有一条竖向的虚线.
故选：C.
4．答案：D
解析：A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.，故该选项计算错误，不符合题意，
D.，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D.
5．答案：A
解析：x(x+1)+ax=0，
∴x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选A.
6．答案：A
解析：，
,
故选：A.
7．答案：B
解析：把三部影片分别记为A、B、C，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小华选择的影片相同的结果有3种，
∴小明和小华选择的影片相同的概率为39=13，
故选：B.
8．答案：D
解析：由题意可知，，，
，
，，
，
，
∴，
，
（负值舍去），
，
，
同理可证，
，
，
，
,
故选：D.
9．答案：B
解析：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，则，
二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的正半轴，
故选：B.
10．答案：D
解析：如图，以为边向右作等边，连接.

是等边三角形，
，，，
，
，
，，
点在射线上运动，且，设交于点，
则，
当时，的长最小，此时，则，
，，
，
，即：点为中点
，
，
.
综上，当点为中点时，的长最小，此时；
故选：D.
11．答案：4
解析：，
，
，
又，
，
故答案为：4
12．答案：
解析：
，
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意可知，，
∴的外心与内心之间的距离，
故答案为：.
14．答案：2；2
解析：（1），都在反比例函数上
解得（舍弃）；
（2）如图
一次函数的解析式为
反比例函数的解析式为
设
当时，有最大值为2.
15．答案：，数轴上表示见详解
解析：去分母得：
，
则，
解得：.
解集在数轴上表示为：
16．答案：
解析：设2022年线上收入万元，线下收入万元，
则，解得：，
则，，
即：2022年线上收入20万元，线下收入30万元，
设该快餐店2023年的线下收入的增长率为，
则，解得：，
答：该快餐店2023年的线下收入的增长率为.
17．答案：(1)
(2)第n个等式为：，验证见解析
(3)
解析：（1）观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：；
故答案为：；
（2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1，
再由（1）可知，第n个式子应该就是：；
等式右边左边，
所以猜想正确；
（3）
，
故答案为：.
18．答案：(1)见详解
(2)①见详解；②见详解
解析：（1）如图所示，即为所求；
（2）①如图所示， 取格点K，连接交于H，点H即为所求；
易证明，则点H即为所求；
②如图所示，取于格线的交点P，点即为所求.
易证明，即可得到。
19．答案：1680平方米
解析：如图所示，过点作于
，
四边形是矩形
在中，
,,
（米）
在中，
,,
（平方米）.
20．答案：(1)见详解
(2)
解析：（1）是直径，
平分
是等腰三角形
是弧的“幸运角”；
（2）如图，连接
弧的“幸运角”为
即的长为.
21．答案：(1)，4
(2)87
(3)275
解析：（1）八年级测试成绩组：的频数为7，由扇形统计图知D组占
∴进行冬奥会知识测试学生数为（人），
∴，解得
故答案为：，4；
（2）A、B、C三组的频率之和为，
A、B、C、D四组的频率之和为，
∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，88，88，89
∵，即：第6个数据在组
则，第10与第11两个数据为86，88，
∴中位数为，
故答案为：87；
（3）八年级E：，F：，两组占，
该校七年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生有人
七年级E：，F：两组人数为人
该校八年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生有人
∴该校七、八两个年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生一共有人.
22．答案：(1)①见解析；②
(2)
解析：（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，则，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：；
②连接，
∵，，
∴，
由①可知，，则点、、、四点共圆，
∴；
（2）∵，设，则，
∴，，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴.
23．答案：(1),顶点的坐标为
(2)的值为2
解析：（1）将、代入得
解得
该抛物线的解析式为
顶点的坐标为；
（2）
的对称轴为
矩形的周长为
当时，周长最大为10
故的值为2.
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC