福建省龙岩市上杭县第四中学等三校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 满分150分）
注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！在本试题上答题无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 下列给出的数中，是无理数的是（ ）
A. 3.14B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义，逐项分析即可．
【详解】A. 3.14是有理数，不符合题意；
B. 是有理数，不符合题意；
C. ，是无限循环小数，是有理数，不符合题意；
D. 是无理数，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”，熟记定义是解题关键．
2. 现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具有平移性，下列汉字是由平移构成的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的基本性质，汉字只需由两或多个完全相同的部分组成即可．
【详解】解：根据题意，由两或多个完全相同的部分组成的汉字即可满足条件，
∵ “朋”由两个“月”组成，
∴“朋”可以通过“月”平移得到．
∴B选项满足题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的基本性质，熟知图形平移不变性是解答此题的关键．
3. 为梦想奔跑，为青春喝彩！由羽毛球奥运冠军林丹领跑的2024·上杭“红古田”半程马拉松赛于2024年3月24日在著名的龙岩市古田旅游区鸣枪开跑．以下能够准确表示古田镇地理位置的是（ ）
A. 距离上杭县城60公里B. 在福建省
C. 位于龙岩市的中部D. 东经，北纬
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用有序数对表示位置，涉及图形与坐标知识，理解有序实数对的实际意义与运用是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，东经，北纬能够准确表示古田镇地理位置，
故选：D
4. 下列句子中，是命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. a，b两条直线平行吗
C. 画一个角等于已知角D. 过一点画已知直线的垂线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可．
【详解】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意；
B、a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意；
C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意，
D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意；
故选A．
5. 如图，直线被直线c所截，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 与是邻补角B. 与是对顶角
C. 与是内错角D. 与是同位角
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别分析即可．
【详解】解：A、∠3与∠2是邻补角，故原题说法正确；
B、∠1与∠3是对顶角，故原题说法正确；
C、∠1与∠4不是内错角，故原题说法错误；
D、∠2与∠4是同位角，故原题说法正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形．
6. 下列等式正确的是（ ）
A. ±B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根立方根的性质即可化简判断.
【详解】A. =2，故错误；
B. =2，故错误；
C. =-2，正确；
D. =0.1，故错误，
故选C.
【点睛】此题主要考查平方根立方根的性质，解题的关键是熟知平方根立方根的性质.
7. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
【详解】解：如图，

∵，
∴．
∵直尺的上下两边平行，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
8. 电影院里的座位按“x排y号”编排，简记为，小明的座位简记为，小菲的座位简记为，则小明与小菲的座位（ ）
A. 在同一排B. 在前后同一条直线上
C. 中间隔六个座位D. 前后隔六排
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用有序数对确定位置，一对有顺序的数叫做有序数对，理解有序数对是两个数据是解题的关键．根据有序数对的定义即可解答．
【详解】因为小明的座位简记为，小菲的座位简记为，所以小明和小菲的座位在同一排，不是在前后同一条直线上，所以B，D错误；小明和小菲的座位中间隔五个座位，所以C错误．
故选：A．
9. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10. 已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可．
【详解】解：当时，，，不合题意；
当时，，当时，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4，共24分）
11. 计算：=_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：原式==4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
12. 写出一个第四象限的点的坐标_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】第四象限的点的坐标必须满足：横坐标是正数，纵坐标是负数.
本题主要考查了平面直角坐标系中各象限中点的坐标，解题的关键是熟记各象限点的坐标特点.
【详解】根据第四象限的点的坐标特点，可以是，等.
故答案为（答案不唯一）
13. 一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：内错角相等，两直线平行．”小妙做法的依据是______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质：同位角相等两直线平行；错角相等两直线平行．根据两个大小、形状都相同的三角板可知：，由此可得，据此可得小妙做法的依据．
【详解】解：依题意得：，
，
因此，小妙做法的依据是同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
14. 在平面直角坐标系内，点到轴的距离是______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系内点到坐标轴的距离．掌握点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到轴的距离是其横坐标的绝对值是解题关键．
【详解】解：点到轴的距离是9．
故答案为：9．
15. 如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义．
如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解．
【详解】解：输入x的值为时，的算术平方根是，
是有理数，再输入可得：
的算术平方根是，
∵，
则输出y的值是．
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A，B，C的坐标分别为，，，若的面积为面积的2倍，则m的值为_________．
【答案】13或
【解析】
【分析】由点坐标得出轴，，点到的距离为，根据题意得出，解绝对值方程即可求得的值．
【详解】解：点，，的坐标分别为，，，
轴，，点到的距离为，
的面积为面积的2倍，
，
，
解得或，
故答案为：13或．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，根据题意列出关于的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，实数的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是本题的关键；
（1）先去括号，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算乘方，化简绝对值，计算立方根，再合并即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
18. 求下列各式中x值
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键；
（1）先把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）先把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
解得：；
【小问2详解】
，
∴，
∴，
∴；
19. 如图，∠1=∠D，∠C=45°，求∠B的度数．
【答案】∠B=135°．
【解析】
【分析】由平行线的判定可得AB∥CD，再利用平行线的性质即可求∠B的度数．
【详解】解：∵∠1=∠D，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=45°，
∴∠B=180°-∠C=135°．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
20. 补全下面括号内容，完成下面的证明．
如图，E、F分别在，上，，与互余，于点G，求证：．
证明：∵（已知），
∴（_________________） ，
∵（已知），
∴，（同位角相等，两直线平行），
∴（________________），
又∵（已知），
∵，
∴，
∴（_______________________），
∴（________________________）．
【答案】垂直的定义；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息逐步填写推理依据即可，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义） ，
∵（已知），
∴，（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∵，
∴，
∴（同角的余角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）．
21. 如图，AB∥CD，EF分别交AB，CD于点E、F，∠AEF、∠DFE的平分线分别为EG、FH，求证：EG∥FH．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行，内错角相等得到一对内错角相等，再由EG与FH为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD（两直线平行，内错角相等）．
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠GEF＝∠AEF，∠HFE＝∠EFD（角平分线定义），
∴∠GEF＝∠HFE，
∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
22. 如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为．
（1）写出点A、B 的坐标：A ，B ；
（2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出．
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）5
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，平移作图．熟练掌握平移的性质，利用分割法求面积，是解题的关键．
（1）根据点在坐标系的位置，写出点的坐标即可；
（2）根据平移的性质，先确定平移后对应点，再画出即可；
（3）分割法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：根据A，B的位置可得：，；
【小问2详解】
如图所示，即为所求作；
．
【小问3详解】
由图知，的面积为
，
23. 据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？
（1）【发现与思考】
，；
又；
是两位数；
的个位数字是9；
的个位数字是 ．
，；
的十位数字是 ．
．
（2）【运用并解决】类比上述的发现与思考，推理求出110592的立方根．
【答案】（1）9；3；39
（2）48
【解析】
【分析】（1）根据推导过程即可完成填空；（2）结合（1）中的推导过程即可求解．
【小问1详解】
解：由推导过程可知：
第一空填：9；第二空填：3；第三空填：39
【小问2详解】
解：，；
又；
是两位数；
的个位数字是2；
的个位数字是8.
，；
的十位数字是4.
.
【点睛】本题以求立方根为背景，考查了学生整合信息能力．
24. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴负半轴交于，与y轴正半轴交于且．

（1）求的面积．
（2）如图2，若P为直线上一动点 ，连接，且，求P点横坐标的值．
【答案】（1）12 （2）或
【解析】
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求出，，得到点A和点B的坐标，即可求得面积；
（2）过点P作轴于H，，分为点P在第一象限、第二象限和第三象限三种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
；
【小问2详解】
过点P作轴于H，

∴，由图形可知：
①点P在第一象限时，，
∴不存在；
②点P在第二象限时，，
，
，
解得
③点P在第三象限时，，
解得，
综上，P点横坐标为或．
【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
25. 已知与，其中是锐角，设，，当，时，那么α与β有什么数量关系？

（1）勤奋的小明同学，根据题意画出了下面图形，请根据小明的图形判断此时α与β的数量关系是______；
（2）善于思考的小颖同学认为小明同学的解答不够全面，缺少了一种情况．α与β的数量关系还可能是什么？请画出图形，并说明理由；
（3）学霸小乐将原题中的条件改为，其它条件均不变，请直接写出此时α与β有什么数量关系．
【答案】（1）
（2）α与β的数量关系还可能是：，见解析
（3），或
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质即可即可；
（2）画出与射线延伸方向相反的情况，即可探究出α与β的另一种数量关系，再利用平行线的性质说明理由即可；
（3）根据题意，画出符合题意的两个图形，再利用平行线的性质探究出结论即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：α与β的数量关系还可能是：．
图形如下：

理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，即；
【小问3详解】
解：α与β数量关系：，或．
理由如下：设的垂足为D．
情况1：如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
即；
情况2：如图，

反向延长得，
由情况1，知，
∵，
∴，
整理，得，
综上，，或．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答时需要一定的灵活变换图形的能力，以及探究能力．