2023-2024学年上海交通大学附属中学高二下学期期中考试数学试卷含详解

这是一份2023-2024学年上海交通大学附属中学高二下学期期中考试数学试卷含详解，共20页。
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1 设函数，则__________.
2. 4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）
3. 设事件是互斥事件，且，则__________.
4. 已知函数的导函数满足，则的值为__________.
5. 若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________.
6. 为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为______
7. 一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余人无疗效，则没有明显疗效的频率是______．
8. 某篮球运动员的罚球命中率为，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.
9. 设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为__________.
10. 小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）
11. 为庆祝70周年校庆，学校开设三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､已六位同学报名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.
12. 设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为__________.
二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.
13. 抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A. 大量的试验中，出现正面的频率为0.5.
B. 不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C. 试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5
D. 试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5
14. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A. B. C. D.
15. 掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A与B是独立事件；②事件B与C是互斥事件；③事件C与D是对立事件；④.其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
16. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：
①在区间上优于；
②在区间上优于.
那么（ ）
A. ①､②均正确B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确D. ①､②均错误
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面
（2）若，求二面角的余弦值.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上恰有一个零点，求取值范围.
19. 某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，其中，试求甲答对的题数比乙多的概率.
20. 设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.
（1）求椭圆方程；
（2）求点到直线的距离的最大值；
（3）判断的面积是否为定值，并说明理由.
21. 已知函数.
（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围；
（3）若，且，求实数的最大值.
上海交通大学附属中学2023-2024学年度第二学期
高二数学期中考试卷
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 设函数，则__________.
【答案】
【分析】由复合函数的导数公式即可求得答案.
【详解】因为，所以，
故答案为：.
2. 4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）
【答案】384
【分析】视每对双胞胎为一个整体作全排列，再排列各对双胞胎即得.
【详解】每对双胞胎视为一个整体作全排列，有种，而每对双胞胎的排列有，
所以不同的站法种数是是.
故答案为：384
3. 设事件是互斥事件，且，则__________.
【答案】##0.5
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式直接计算得解.
【详解】事件是互斥事件，且，所以.
故答案为：
4. 已知函数的导函数满足，则的值为__________.
【答案】1
【分析】求出函数的导数，利用给定导数值求出的值.
【详解】函数，求导得，由，得，
所以.
故答案为：1
5. 若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用古典概率，结合组合应用问题列式计算即得.
【详解】从正方体的12条面对角线中，随机选取两条的试验有个基本事件，
由于任意两个面的4条对角线中有2对异面直线，因此能成异面直线的对数是，
所以它们成异面直线的概率是.
故答案为：
6. 为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为______
【答案】504
【分析】符合要求的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，利用分步乘法原理求出各类的方法数，再利用分类加法原理求总的方法数.
【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：
第一类“射”排在第五周的排法，排法有种，
第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，
①若“乐”在第二周，则射有四种选法，然后剩余四项全排列，则共有种排法
②若“乐”不在第二周，则“射”与乐共有种选法，然后剩余四项全排列则共有种，
由分类加法原理可得总的排法数为，
故答案为：504.
7. 一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是______．
【答案】0.386##
【分析】根据题意得到没有明显疗效的人数，然后利用频率的计算公式即可得到答案
【详解】解：由题意可得没有明显疗效的人数为，
所以没有明显疗效的频率为，
故答案为：0.386
8. 某篮球运动员的罚球命中率为，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.
【答案】0.992#
【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．
【详解】某篮球运动员在赛场上罚球命中率，
所以这名运动员在赛场上的3次罚球中，
至少有一次命中的概率为．
故答案为：．
9. 设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】设，求导得，根据题意得在上单调递增，再根据函数的奇偶性和函数零点即可得到不等式解集.
详解】设,则
当时,有恒成立,
当时,在上单调递增,
是定义在上的偶函数,
，
即是定义在上的奇函数,
在上也单调递增.
又.
不等式的解可等价于即的解,
或,
不等式的解集为.
故答案为：.
10. 小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）
【答案】2520
【分析】考查排列问题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，则由每一串只能从上往下吃可知每一串冰糖葫芦相对位置是已定的，所以根据定序问题处理即可求出答案.
【详解】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，
则因为每一串只能从上往下吃，
所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的，
所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种.
故答案为：2520.
11. 为庆祝70周年校庆，学校开设三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､已六位同学报名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.
【答案】540
【分析】将甲、乙、丙、丁、戊、已六位同学分为三组，确定每组的人数，然后将这三组同学分配给三门校史课程培训，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】将甲、乙、丙、丁、戊、已六位同学分为三组，
每组人数分别为4、1、1或3、2、1或2、2、2，
然后将这三组同学分配给三门校史课程培训，
由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为
故答案为：540.
12. 设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为__________.
【答案】
【分析】设，则，进而，表示到的距离平方，结合导数的几何意义求出即可.
【详解】由题意知，设，
由，得，
得，即，
所以，
即，
表示点到点的距离平方，
其中在曲线上，在直线上，
的最小值为曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离.
设切点，则，
解得，即切点为，所以，
则，得，
即点M到原点O的距离最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将问题转化为点到点的距离平方的最小值，利用导数的几何意义求解即可.
二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.
13. 抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A. 大量的试验中，出现正面的频率为0.5.
B. 不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C. 试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5
D. 试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5
【答案】B
【分析】根据频率、概率、经验概率的概念分析可得答案.
【详解】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确；
对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确；
对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确；
对于D，试验次数每增加一次，不能判断下一次出现正面的频率比它前一次更接近于0.5，D不正确.
故选：B
14. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】从插空的角度考虑，有8盏灯亮着，4盏灯熄灭，4盏熄灭的灯不相邻插空且不能在两端.
【详解】先将8盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，则有7个符合条件的空位，进而在7个空位中任取4个插入熄灭的4盏灯，则有种方法，
故选：A.
15. 掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A与B是独立事件；②事件B与C是互斥事件；③事件C与D是对立事件；④.其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】A
【分析】利用独立事件、互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【详解】掷一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，
事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，
对于①， ， ，，
，事件与是独立事件，故①正确；
对于②，事件与事件不能同时发生，事件与事件是互斥事件，故②正确；
对于③，事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故③错误；
对于④，，故④错误．
故选：A.
16. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：
①在区间上优于；
②在区间上优于.
那么（ ）
A. ①､②均正确B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确D. ①､②均错误
【答案】A
【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解.
【详解】①：当时，；当时，，
所以函数图象都经过点，
则直线的方程为，即，
在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图，
由图可知，，
即存在使得在区间上恒成立，
所以在区间上优于，故①正确；
②：问题等同于在区间上优于
在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图，
由图可得，，即，
所以直线的方程为，即.
设曲线在处且平行于直线的切线为，
由，，得，解得，
则切点，
所以，即，
取，则，
所以切线位于直线的下方，则存在实数使得
，
即在区间上优于，故②正确.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数新定义，利用导数研究不等式恒成立，和导数的几何意义；在利用导数求切线方程时，可用导数的意义求出切线的斜率.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式即可求出答案.
【小问1详解】
证明：连接交于点，则是的中点，
连接，又是中点，所以.
又平面平面，所以平面.
【小问2详解】
解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，.
设是平面的法向量，由
可得令，得.
设是平面的法向量，由可得
令，得.
所以，
即二面角的余弦值为.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）递增区间是，，递减区间是；
（2）.
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解.
（2）利用导数按和探讨在上的单调性，结合零点存在性定理求解即得.
【小问1详解】
当时，函数的定义域为，
求导得，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，；递减区间是.
【小问2详解】
函数，求导得，
当，即时，，，函数在上单调递增，
由函数在区间上恰有一个零点，得，
解得，因此；
当，即时，当时，，即函数在上递减，
又，要函数在区间上恰有一个零点，当且仅当，
则与矛盾，
所以的取值范围是.
19. 某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，其中，试求甲答对的题数比乙多的概率.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式列式求解即可；
（2）先求出甲答对1道和答对2到的概率，乙答对0道和答对1到的概率，再结合题意根据互斥事件加法公式和独立事件乘法公式求解即可.
【小问1详解】
设甲同学答对第一题乙同学答对第一题，则.
设甲､乙二人均答对第一题甲､乙二人中恰有一人答对第一题，
则.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，
所以
由题意可得，即，解得或，
由于，所以.
【小问2详解】
由题意得，，
设{甲答对的题数比乙多，则.由于和相互独立，与，彼此互斥，
所以
所以甲答对的题数比乙多的概率为.
20. 设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.
（1）求椭圆的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值；
（3）判断的面积是否为定值，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）为定值
【分析】（1）根据已知列出关于的方程组，结合解出椭圆方程.
（2）当直线斜率不存在时，易求得到直线的距离为.当直线斜率存在时设的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点到直线的距离并化简即可求解；
（3）当直线斜率存在时，利用弦长公式化简计算表示出，结合（2）可得点到直线的距离为，对化简计算即可下结论.
【小问1详解】
由题意得，整理得，
解得，所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，设，根据题意有.
因为原点是的重心，所以，
解得，.
将，代入，解得，所以由知或.
所以到直线的距离为.
即直线斜率不存在时，到直线的距离为.
当斜率存在时，设所在直线方程为，.
由，得，
且，即.
所以.
因为原点是的重心，所以，
所以，即.
将点代入椭圆方程得并整理可得，
所以点到直线的距离为
.
综上所述，当与轴垂直时点到直线的距离最大为；
【小问3详解】
的面积为定值，理由如下：
当直线斜率存在时，由（2）知，
且点到直线的距离为，
，
所以的面积为；
当直线斜率不存在时，由（2）知
面积为.
综上，的面积为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21. 已知函数.
（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围；
（3）若，且，求实数最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用函数与直线相切结合导数的几何意义求出；
（2）构造新函数，利用导数求出的最小值即可得到的取值范围；
（3）化简得，令，则，构造函数，利用导数法研究函数最值即可求解.
【小问1详解】
因为，直线是曲线的切线，
令，所以，所以，
解得或（舍去），所以，代入直线得，
即切点为，
即，所以；
【小问2详解】
令，则，
令，则，
所以可得恒为递增函数，又，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，若对任意实数恒成立，
则，解得；
【小问3详解】
因为，所以
，
因为，所以，
所以，仅当时，等号成立，
令，则，
因为，
所以当时，恒成立，
令，，
则在上单调递增，
所以.所以在上单调递减，
所以，所以，
所以的最大值为.
【点睛】涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.