上海交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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2024.4
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.设函数，则__________.
2.4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）
3.设事件是互斥事件，且，则__________.
4.已知函数的导函数满足，则的值为__________.
5.若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________.
6.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，每门课都要开，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为__________.
7.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是__________.
8.某篮球运动员的罚球命中率为，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.
9.设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为__________.
10.小张一次买了三电冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一次只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）
11.为庆祝70周年校庆，学校开设三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､已六位同学报名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.
12.设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为__________.
二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.
13.抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A.大量的试验中，出现正面的频率为0.5.
B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C.试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5
D.试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5
14.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A. B. C. D.
15.抛一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件与是独立事件；②事件与是互斥事件；③事件与是对立事件；③；其中正确的结论是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
16.对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：
①在区间上优于；
②在区间上优于.
那么（ ）
A.①､②均正确 B.①正确，②错误
C.①错误，②正确 D.①､②均错误
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，其中，试求甲答对的题数比乙多的概率.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.
（1）求椭圆的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值；
（3）判断的面积是否为定值，并说明理由.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数.
（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围；
（3）若，且，求实数的最大值.