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    2022-2023学年广东省深圳科学高中高二(下)期中数学试卷
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    2022-2023学年广东省深圳科学高中高二(下)期中数学试卷

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    这是一份2022-2023学年广东省深圳科学高中高二(下)期中数学试卷,共28页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(5分)已知集合,则
    A.B.C.D.
    2.(5分)在复平面内,复数,对应的点分别是,,则的虚部是
    A.B.C.1D.
    3.(5分)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”.就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为
    A.3B.3.1C.3.14D.3.2
    4.(5分)已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,则
    A.1B.2C.4D.8
    5.(5分)已知向量,,若,则
    A.B.C.D.
    6.(5分)若幂函数的图象过点,则函数的递增区间为
    A.B.,,
    C.D.,,
    7.(5分)六名同学排成一排照相,则其中甲、乙、丙三人两两不相邻,且甲和丁相邻的概率为
    A.B.C.D.
    8.(5分)已知数列满足,且的前项的和记为,则
    A.B.C.3D.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.(5分)已知函数,则下列结论正确的是
    A.的最小正周期为
    B.是图象的一条对称轴
    C.在上单调
    D.将的图象向左平移个单位后,得到的图象关于原点对称
    10.(5分)已知,分别为随机事件,的对立事件,(A),(B),则下列结论正确的是
    A.(A)
    B.
    C.若,互斥,则(A)(B)
    D.若,独立,则(A)
    11.(5分)如图,在正方体中,,是正方形内部(含边界)的一个动点,则
    A.存在唯一点,使得
    B.存在唯一点,使得直线与平面所成的角取到最小值
    C.若,则三棱锥外接球的表面积为
    D.若异面直线与所成的角为,则动点的轨迹是抛物线的一部分
    12.(5分)数学中的很多符号具有简洁、对称的美感,是形成一些常见的漂亮图案的基石,也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号,我们把形状类似的曲线称为“曲线”.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于的点的轨迹称为“曲线” .已知点,是“曲线” 上一点,下列说法中正确的有
    A.“曲线” 关于原点中心对称
    B.
    C.“曲线” 上满足的点有两个
    D.的最大值为
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.(5分)已知等比数列的前三项和为84,且,则的公比为 .
    14.(5分)若的展开式中二项式系数之和为32,则的展开式中的系数为 .
    15.(5分)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,的距离之比为定值的点的轨迹是圆”,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,,,点满足.则点的轨迹方程为 ;在三棱锥中,平面,且,,,该三棱锥体积的最大值为 .
    16.(5分)已知函数,,若恒成立,则实数的取值范围 .
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(10分)已知等比数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)记,证明:.
    18.(12分)在中,为的角平分线上一点,且与分别位于边的两侧,若,.
    (1)求的面积;
    (2)若,求的长.
    19.(12分)某市举行招聘考试,共有4000人参加,分为初试和复试,初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况,随机抽取了100名考生的初试成绩,并以此为样本绘制了样本频率分布直方图,如图所示.
    (1)根据频率分布直方图,试求样本平均数的估计值;
    (2)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数的估计值,,试估计初试成绩不低于88分的人数;
    (3)复试共三道题,第一题考生答对得5分,答错得0分,后两题考生每答对一道题得10分,答错得0分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试,他在复试中第一题答对的概率为,后两题答对的概率均为,且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为,求的分布列及均值.
    附:若随机变量服从正态分布,则:,,.
    20.(12分)如图,在三棱柱中,是的中点,是的中点,点在上,且.
    (1)证明:平面;
    (2)若平面,,,求平面与平面夹角的余弦值.
    21.(12分)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,且椭圆过,直线与椭圆交于、.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)设直线、的斜率分别为,,证明:;
    (3)直线是过点的椭圆的切线,且与直线交于点,定义为椭圆的弦切角,为弦对应的椭圆周角,探究椭圆的弦切角与弦对应的椭圆周角的关系,并证明你的结论.
    22.(12分)已知函数.(注是自然对数的底数).
    (1)当时,求曲线在点,处的切线方程;
    (2)当时,函数在区间内有唯一的极值点.
    (ⅰ)求实数的取值范围;
    (ⅱ)求证:在区间内有唯一的零点,且.
    2022-2023学年广东省深圳科学高中高二(下)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、单项选择题:本题共8道小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.(5分)已知集合,则
    A.B.C.D.
    【答案】
    【分析】根据已知条件,结合补集的定义,即可求解.
    【解答】解:解不等式,得或,
    所以或,
    所以.
    故选:.
    【点评】本题主要考查补集及其运算,属于基础题.
    2.(5分)在复平面内,复数,对应的点分别是,,则的虚部是
    A.B.C.1D.
    【答案】
    【分析】由复数,对应的点分别求出,,代入化简计算,进而可得的虚部.
    【解答】解:复数,对应的点分别是,,
    则,,
    ,其虚部为.
    故选:.
    【点评】本题主要考查复数的四则运算,复数的几何意义,属于基础题.
    3.(5分)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”.就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为
    A.3B.3.1C.3.14D.3.2
    【分析】由圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),得到,由此能求出的值.
    【解答】解:圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),

    解得.
    故选:.
    【点评】本题考查圆周率的求法,考查圆柱体体积等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
    4.(5分)已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,则
    A.1B.2C.4D.8
    【答案】
    【分析】求出双曲线的焦点坐标,然后利用抛物线的定义,求解即可.
    【解答】解:双曲线的焦点坐标,
    抛物线的准线过双曲线的一个焦点,
    所以,可得.
    故选:.
    【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,双曲线的焦点坐标的求法,是基础题.
    5.(5分)已知向量,,若,则
    A.B.C.D.
    【答案】
    【分析】由求得,再用倍角公式求即可.
    【解答】解:因为,,,
    所以,即,
    所以,解得或(舍,
    所以.
    故选:.
    【点评】本题主要考查二倍角的三角函数,属于基础题.
    6.(5分)若幂函数的图象过点,则函数的递增区间为
    A.B.,,
    C.D.,,
    【分析】先求幂函数,再利用导数判定函数的单调递增区间.
    【解答】解:设幂函数,它的图象过点,,
    ,;

    ,,
    令,即,解得:,
    故在递增,
    故选:.
    【点评】本题考查了幂函数的定义以及利用导数判定函数的单调区间问题,是中档题.
    7.(5分)六名同学排成一排照相,则其中甲、乙、丙三人两两不相邻,且甲和丁相邻的概率为
    A.B.C.D.
    【答案】
    【分析】六名同学排成一排照相,共有中不同的排列方法,满足条件的共有72种排法,得到概率.
    【解答】解:六名同学排成一排照相,共有中不同的排列方法,
    甲、乙、丙三人两两不相邻,且甲和丁相邻共有:
    先确定除甲乙丙三人外的位置,共有种方式,再确定甲在丁的两边有2种方式,最后将乙丙放入3个空中,(甲旁边不能放入),有种方式,
    故共有种不同的排法,故概率,
    故选:.
    【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式,属于基础题.
    8.(5分)已知数列满足,且的前项的和记为,则
    A.B.C.3D.
    【答案】
    【分析】利用和差公式、裂项求和方法即可得出结论.
    【解答】解:,


    故选:.
    【点评】本题考查了和差公式、裂项求和方法、转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.(5分)已知函数,则下列结论正确的是
    A.的最小正周期为
    B.是图象的一条对称轴
    C.在上单调
    D.将的图象向左平移个单位后,得到的图象关于原点对称
    【答案】
    【分析】将变形可得,然后对应的性质来判断各个选项即可.
    【解答】解:,
    由,最小正周期为,故正确;
    令,解得:,时,对称轴是,故错误,
    由于,则,在上单调减,正确;
    将的图象向左平移个单位后,得到的解析式是,
    其图象不关于原点对称,故错误.
    故选:.
    【点评】本题考查三角函数的图象和性质,属于基础题.
    10.(5分)已知,分别为随机事件,的对立事件,(A),(B),则下列结论正确的是
    A.(A)
    B.
    C.若,互斥,则(A)(B)
    D.若,独立,则(A)
    【答案】
    【分析】结合互斥事件、对立事件的定义,根据条件概率公式判断即可.
    【解答】解:选项中:由对立事件定义可知,选项正确;
    选项中:,选项正确;
    选项中:,互斥,,(A),(B),(A)(B),故选项错误;
    选项中:,独立,则(A)(B),则,故选项正确.
    故选:.
    【点评】本题主要考查条件概率公式,属于基础题.
    11.(5分)如图,在正方体中,,是正方形内部(含边界)的一个动点,则
    A.存在唯一点,使得
    B.存在唯一点,使得直线与平面所成的角取到最小值
    C.若,则三棱锥外接球的表面积为
    D.若异面直线与所成的角为,则动点的轨迹是抛物线的一部分
    【答案】
    【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点位置,判断选项;
    几何法找线面角,当角最小时确定点位置,判断选项;
    为中点时,求三棱锥外接球的半径,计算外接球的表面积,判断选项;
    利用向量法解决异面直线所成角的问题,求出动点的轨迹,判断选项.
    【解答】解:对于选项:正方形中,有,
    正方体中有平面,平面,,
    又,,平面,平面,
    只要平面,就有,在线段上,有无数个点,选项错误;
    对于选项:平面,直线与平面所成的角为,,取到最小值时,最大,
    此时点与点重合,选项正确;
    对于选项:若,则为中点,为等腰直角三角形,外接圆半径为,
    三棱锥外接球的球心到平面的距离为,则外接球的半径为,所以三棱锥外接球的表面积为,选项正确;
    对于选项:以为原点,的方向为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则,0,,,0,,,2,,设,,,,则有,,
    有,化简得,是正方形内部(含边界)的一个动点,
    所以的轨迹是抛物线的一部分,选项正确.
    故选:.
    【点评】本题主要考查空间中直线与平面所成得角,属于中档题.
    12.(5分)数学中的很多符号具有简洁、对称的美感,是形成一些常见的漂亮图案的基石,也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号,我们把形状类似的曲线称为“曲线”.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于的点的轨迹称为“曲线” .已知点,是“曲线” 上一点,下列说法中正确的有
    A.“曲线” 关于原点中心对称
    B.
    C.“曲线” 上满足的点有两个
    D.的最大值为
    【答案】
    【分析】对,设动点,求出轨迹方程判断的正误;对,通过三角形底面积转化求解推出,判断的正误;对,通过,则,在的中垂线即轴上.说明,即,仅有一个,判断的正误;对,因为,推出.
    结合,得,判断的正误.
    【解答】解:对,设动点,由题意可得的轨迹方程为,把关于原点对称的点代入轨迹方程,显然成立;所以正确;
    对,因为,,故,
    又,所以,
    即,故,故正确;
    对,若,则,在的中垂线即轴上.
    故此时,代入,
    可得,即,仅有一个,故错误;
    对,因为,
    故,,
    因为,,
    故.
    即,
    所以.
    又,当且仅当,,共线时取等号.
    故,
    即,解得,故错误.
    故选:.
    【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,考查轨迹方程,余弦定理以及曲线与方程的应用,是难度比较大的题目.
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.(5分)已知等比数列的前三项和为84,且,则的公比为 .
    【答案】.
    【分析】根据已知结合等比数列的通项与前项和列式联立得出答案.
    【解答】解:由可设的公比为,
    等比数列的前三项和为84,,
    ,解得.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用,属于基础题.
    14.(5分)若的展开式中二项式系数之和为32,则的展开式中的系数为 .
    【答案】.
    【分析】由题意利用二项式系数的性质,求得的值,再利用二项展开式的通项公式,求得的展开式中的系数.
    【解答】解:的展开式中二项式系数之和为32,所以,则.
    由于中的系数为:,项的系数,
    所以的展开式中的系数,,
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
    15.(5分)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,的距离之比为定值的点的轨迹是圆”,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,,,点满足.则点的轨迹方程为 ;在三棱锥中,平面,且,,,该三棱锥体积的最大值为 .
    【答案】;12.
    【分析】利用求点的轨迹方程的步骤及两点间的距离公式即可求解;根据已知条件及阿波罗尼斯圆的特点,结合棱锥的体积公式即可求解.
    【解答】解:设,
    所以,
    所以,
    即,
    所以点的轨迹方程为;
    三棱锥的高为,当底面的面积最大值时,三棱锥的体积最大,
    ,,取靠近的一个三等分点为坐标原点,为轴建立平面直角坐标系,
    不妨取,,
    由题设定义可知的轨迹方程为,
    所以在圆的最高点处,,
    此时.
    故答案为:;12.
    【点评】本题考查“五步求曲“法的应用,三棱锥的体积的最值的求解,阿波罗尼斯圆的应用,属中档题.
    16.(5分)已知函数,,若恒成立,则实数的取值范围 , .
    【答案】,.
    【分析】利用导数研究函数的单调性与最值,从而得的不等式,解不等式,即可得解.
    【解答】解:,,
    ,,
    又易知在上单调递增,
    且时,;时,,
    ,使得,
    ,;,,,
    的最小值为,
    ,,,
    的最小值为,
    又恒成立,
    ,,
    故实数的取值范围为,.
    故答案为:,.
    【点评】本题考查恒成立问题,利用导数研究函数的单调性与最值,函数的隐形零点问题,属中档题.
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(10分)已知等比数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)记,证明:.
    【答案】(1);(2)证明过程见解答.
    【分析】(1)令,可得出,令时,由,可得,两式作差,可得,结合数列为等比数列,确定该数列的公比,求出的值,进而得到等比数列的通项公式;
    (2)结合(1),可得,利用裂项求和法可证得原不等式成立.
    【解答】解:(1)因为,则当时,,
    当时,由,可得,
    所以,即,
    因为是等比数列,所以该数列的公比为3,
    所以,所以,即,
    所以数列的通项公式.
    (2)证明:由(1)得,
    所以,
    故.
    【点评】本题主要考查数列与不等式的综合和数列的递推式,考查运算求解能力,属于中档题.
    18.(12分)在中,为的角平分线上一点,且与分别位于边的两侧,若,.
    (1)求的面积;
    (2)若,求的长.
    【答案】(1);
    (2).
    【分析】(1)根据已知条件,结合余弦定理,求出,再结合三角形的面积公式,即可求解;
    (2)根据已知条件,结合三角形中角之间的关系,以及正弦定理,推出,再结合三角形的面积公式,即可求解.
    【解答】解:(1)在中,,,,,
    即,解得(负值舍去),
    故;
    (2),平分,

    又,

    在中,①,
    在中,②,
    ①②,得,

    又由三角函数的同角公式可知,,且,

    将代入②,得,

    【点评】本题主要考查解三角形,考查转化能力,属于中档题.
    19.(12分)某市举行招聘考试,共有4000人参加,分为初试和复试,初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况,随机抽取了100名考生的初试成绩,并以此为样本绘制了样本频率分布直方图,如图所示.
    (1)根据频率分布直方图,试求样本平均数的估计值;
    (2)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数的估计值,,试估计初试成绩不低于88分的人数;
    (3)复试共三道题,第一题考生答对得5分,答错得0分,后两题考生每答对一道题得10分,答错得0分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试,他在复试中第一题答对的概率为,后两题答对的概率均为,且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为,求的分布列及均值.
    附:若随机变量服从正态分布,则:,,.
    【答案】(1)62;
    (2)91人;
    (3)的分布列为:
    均值为.
    【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解;
    (2)由可知即可求解;
    (3)根据题意确定的取值分别为0,5,10,15,20,25,利用独立性可求得分布列,进而求得均值.
    【解答】解:(1)样本平均数的估计值为;
    (2)因为学生初试成绩服从正态分布,其中,,
    则,
    所以,
    所以估计初试成绩不低于8(8分)的人数为人;
    (3)的取值分别为0,5,10,15,20,25,
    则,,,,,,
    故的分布列为:
    所以数学期望为.
    【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解,以及期望公式的应用,属于中档题.
    20.(12分)如图,在三棱柱中,是的中点,是的中点,点在上,且.
    (1)证明:平面;
    (2)若平面,,,求平面与平面夹角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2).
    【分析】(1)取的中点,连接,,利用线面平行的判定,面面平行的判定、性质推理作答.
    (2)以点为坐标原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求解作答.
    【解答】(1)证明:如图,取的中点,连接,,由是的中点,得,
    因为,则,从而,
    又平面,平面,即有平面,
    因为,分别为,的中点,则,
    又平面,平面,即有平面,
    又,,平面,因此平面平面,
    因为平面,所以平面.
    (2)解:如图,以为坐标原点,,,的方向分别为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,
    则,,,,1,,
    从而,,,
    设平面的法向量为,则,即,
    取,则;
    设平面的法向量为,则,
    取,则,
    则,
    故平面与平面夹角的余弦值为.
    【点评】本题主要考查直线与平面平行的证明,平面与平面夹角的求法,考查运算求解能力,属于中档题.
    21.(12分)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,且椭圆过,直线与椭圆交于、.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)设直线、的斜率分别为,,证明:;
    (3)直线是过点的椭圆的切线,且与直线交于点,定义为椭圆的弦切角,为弦对应的椭圆周角,探究椭圆的弦切角与弦对应的椭圆周角的关系,并证明你的结论.
    【答案】(1);
    (2)证明见解答;
    (3)椭圆的弦切角与弦对应的椭圆周角相等,证明见解答.
    【分析】(1)根据题意可得,,解出、即可求解;
    (2)设,,,,将直线方程联立椭圆方程,利用韦达定理表示则、,结合两点表示斜率公式对化简计算,即可求解;
    (3)设切线方程,由直线与椭圆的位置关系求出,得出倾斜角,可得,由,得,结合三角形的外角和即可下结论.
    【解答】解:(1)由题意知,,所以,
    又椭圆经过,所以,
    解得,,所以椭圆方程为;
    (2)证明:联立直线与椭圆方程,得,
    所以,,
    则△,解得,
    设,,,,则,,
    所以

    即;
    (3)证明:椭圆的弦切角与弦对应的椭圆周角相等.证明如下:
    设切线方程为,即,
    由,得,
    所以,
    △,解得,
    则,又,所以,所以,
    设切线与轴交点为,、分别与交于,,
    因为,所以,又,
    ,,
    所以.
    【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,考查计算能力,属中档题.
    22.(12分)已知函数.(注是自然对数的底数).
    (1)当时,求曲线在点,处的切线方程;
    (2)当时,函数在区间内有唯一的极值点.
    (ⅰ)求实数的取值范围;
    (ⅱ)求证:在区间内有唯一的零点,且.
    【答案】(1)切线方程为.
    (2)(ⅰ)的取值范围是.
    (ⅱ)见证明过程.
    【分析】(1),利用导数的运算法则可得,可得切线斜率,利用点斜式可得切线方程.
    (2)(ⅰ),对分类讨论,利用函数的单调性,根据函数在区间内有唯一的极值点,即可得出的取值范围.
    (ⅱ)由(ⅰ)知,当时,,结合的单调性与函数零点存在定理可得:在,上有唯一零点,,由(ⅰ)知,,化简整理,构造函数,再一次利用导数研究函数的单调性即可证明结论.
    【解答】解:(1),

    切线的斜率,又,
    切线方程为.
    (2)(ⅰ),
    ①当时,当时,,,

    在上单调递增,没有极值点,不合题意,舍去;
    ②当时,
    ,在上递增,
    又,,
    在上有唯一零点,
    当时,,函数单调递减;
    当时,,函数单调递增,
    函数在区间内有唯一极值点,符合题意,
    综上,的取值范围是.
    (ⅱ)证明:由(ⅰ)知,当时,,
    当时,,函数单调递减;
    当,时,,函数单调递增;
    时,,则,
    又,
    在,上有唯一零点,
    即在上有唯一零点.
    由(ⅰ)知,.


    ,.
    设,,
    则,
    ,,

    在为单调递增,又,,
    又时,,


    由前面讨论知,,在,单调递增,

    【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、函数零点存在定理、等价转化方法、构造法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/3/17 23:54:01;用户:初中数学;邮箱:szjmjy@xyh.cm;学号:298415650
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