陕西省渭南中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 化简的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可.
【详解】
故选：D
2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断，再由可得.
【详解】，，
，，
，
.
故选：C.
3. 函数的振幅､频率和初相分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦型函数的的意义判断即可得结论.
【详解】函数的振幅为､频率为，初相为.
故选：C.
4. 设函数f（x）=csx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.
【详解】 时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，

，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
5. 已知曲线C1：y=cs x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】
【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cs2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cs2（x+）=cs（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
6. 折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩下部分的面积为，当与的比值为时，扇形看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，求解出扇形的圆心角.
【详解】设扇形半径为r，圆心角的弧度数为，则，
所以，即，
故选：A.
7. 数缺形时少直观，形缺数时难入微.函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的性质和特值排除可得答案.
【详解】因为，所以为偶函数，
排除BC；
当为锐角时，，排除D.
故选：A
8. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到部分图象如图，是等腰直角三角形，，则和的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数图象变换得，由是等腰直角三角形求出周期，从而求得，代点求出.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
则，
因为是等腰直角三角形，，所以，
又，则，，所以，则，所以，
则， 的中点的横坐标，
所以，则，
因为，所以，则.
故选：D.
二､多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 终边在轴上的角的集合是
B. 终边在轴上的角的集合是
C. 终边在坐标轴上的角的集合是
D. 终边在上角的集合
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用终边相同的角的定义求解.
【详解】A. 终边在轴上的角的集合是，故正确；
B.终边在轴上的角的集合是，故正确；
C.终边在坐标轴上的角的集合是，故正确；
D.终边在上角的集合，故错误；
故选：ABC
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 与的定义域都是
B. 为偶函数且也为偶函数
C. 的值域为的值域为
D. 与最小正周期为
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用的性质逐项研究题设中两个函数相应的性质后可得正确的选项.
【详解】对于A，与的定义域都是，故A错误.
对于B，，
故为偶函数且也为偶函数，故B正确.
对于C，因为，故，同理，
故的值域为的值域为，故C正确.
对于D，，
故的最小正周期不是，故D错误.
故选：BC.
11. 如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点坐标为，其纵坐标满足，），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，点到轴距离最大为
C. 当时，函数单调递减
D. 当时，点的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出的解析式，判断的单调性和最值，从而可判断各选项是否正确.
【详解】水车的半径，
函数的最小正周期，所以，
由，解得，且，
所以，故A正确；
，
当时，，
所以当，即时，取得最小值，
故此时点到轴的距离为6，故B正确；
当时，，
所以在上先增后减，故C错误；
当时，，
此时点坐标为，故D正确.
故选：ABD.
12. 下列正确的是（ ）
A. 若都是第一象限角，且，则
B. 的最小正周期是
C. 的最小值为
D. 的图象与轴有四个交点，且为偶函数，则的所有实根之和为4
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的终边相同的角与特殊三角函数值举例说明，即可判断A；根据三角函数图象的周期性、对称性可判断B；根据正弦函数的值域，结合复合函数求最值，即可判断C；根据函数的对称性、奇偶性、零点即可判断D．
【详解】对于A：若都第一象限角，且，例如，但是，故A错误；
对于B：由于函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期是，故B正确；
对于C：函数，故时，函数最小值为，故C错误；
对于D：因为为偶函数，所以，则函数关于直线对称，
又函数的图象与轴有四个交点，即函数的零点分别为，不妨设，
由于，则，故，
则方程的所有实根之和为4，故D正确；
故选：BD．
三､填空题（20分）
13. 经过2小时，钟表上时针转过的弧度数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据表盘平分为12等份，每等份对应弧度数大小为，根据题意可得结果.
【详解】根据题意，表盘平分为12等份，每等份对应的弧度数大小为，
经过2小时，钟表上时针转过的弧度数大小为，
因为时针按顺时针转动，钟表上时针转过的弧度数为，
故答案为：.
14. 已知函数，满足，且的最小值为，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据，由的最小值为求解.
【详解】因为函数，且，
所以的最小值为，
解得.
故答案为：2
15. __________.
【答案】
【解析】
【分析】借助诱导公式计算即可得.
【详解】
.
故答案为：.
16. 函数零点的个数为______．
【答案】
【解析】
【分析】令，转化为两个函数图像交点个数，来判断出零点的个数.
【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有个零点.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
四､解答题（共70分）
17. 已知角的终边在直线上，
（1）写出角的集合；
（2）写出集合中适合不等式的元素.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用终边相同角的公式可得答案；
（2）对整数赋值，结合角的范围可得答案.
【小问1详解】
角的终边在直线上
且直线与轴正半轴的夹角为，
角的集合.
【小问2详解】
在中，
取，得，取，得，
取，得，取，得，
取，得，取，得，
中适合不等式的元素分别是.
18. 已知，且是第三象限角.
（1）求cs，tan的值；
（2）求.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数同角基本关系式求解；
（2）利用三角函数的诱导公式求解.
【小问1详解】
解：因为，且是第三象限角，
所以，；
【小问2详解】
由（1）知：.
19. 函数的部分图象如图所示：
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）求在区间上的值域.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图象得到，的图象过点，由求解；
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的单调性求解；
（3）由（1）的结论，利用正弦函数的值域求解.
【小问1详解】
解：由图象知：，的图象过点，
则，结合图象，
所以，， ，
则 或 ，
当时， 符合题意，则 ；
【小问2详解】
令，
解得，
所以的单调递增区间是；
【小问3详解】
因为，所以，
则，
所以在区间上的值域是.
20. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；
（1）若，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径.
【答案】（1）
（2），，
【解析】
【分析】（1）利用弧长公式可得答案；
（2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
由已知得，，
所以，，
所以当时，面积取得最大值，
此时，所以.
21. 某大型商场，在气温超过时，才开放中央空调，否则关闭中央空调，如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：时）的大致变化曲线，该曲线满足函数关系.

（1）求函数的解析式；
（2）根据（1）结论判断，该商场中央空调在本天内何时开启？何时关闭？
【答案】（1）
（2）10时开，18时关
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可知周期，进而根据求得的值；结合函数的最大值和最小值，可求得，代入最低点坐标，即可求得，进而得函数的解析式．
（2）根据题意，令，解不等式，结合的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间．
【小问1详解】
由图知，，所以，解得：.
由图知，，，
所以：，
将点代入函数解析式得：，得，
即：，
又因为，得，所以：.
【小问2详解】
依题意，令，可得，
所以：，解得：
令，得，，
故中央空调应上午10时开启，下午18时关闭．
22. 设函数
（1）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点 ，求 的值；
（2）若，函数是奇函数，求的值；
（3）若，是否存在实数，使得函数的最小值为，如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，或
【解析】
【分析】由角的终边过点，得，，再对进行化简再代入即可得解；
根据余弦函数的性质和奇函数的性质进行解答即可得．
令，因为，可得，可得的最小值为，然后进行后面的解答即可得．
【小问1详解】
由角的终边过点 ，得，，
所以 ．
【小问2详解】
因为函数是奇函数，
所以，又因为
所以或．
【小问3详解】
假设存在实数，使得函数的最小值为，
由题意可得：
令，
因为，所以，
所以，
因为函数的最小值为，
所以函数恒成立，
所以当时，
令
当，故在上单调递减，
所以当时取最大值，所以，
当时，
当
故在上单调递减，
当时取最小值，所以，
所以或．