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四川省成都市武侯高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）
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学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
一、单选题
1. 如图，四边形中，，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【详解】四边形中，，则且，
所以四边形平行四边形；
则有，故A错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；
由图可知，C错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．
故选：B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 两个单位向量的长度相等
D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】C
【解析】
【分析】A. 由判断；B.由平面向量的定义判断；C. 由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.
【详解】A. 当时，满足，，而不一定平行，故错误；
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
C. 由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；
故选：C
3. 若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，所以共线，不能作为基底.
B选项，，所以共线，不能作为基底.
C选项，，所以共线，不能作为基底.
D选项，易知不共线，可以作为基底.
故选：D
4. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到，再整体代入即可求得对称轴方程.
【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
得到，再向左平移个单位，
得到，
令，，则，.
显然，时，对称轴方程为，其他选项不符合.
故选：B
5. 设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
6. 已知向量，且，则下列一定共线的三点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．
详解】，
则不存在任何，使得，所以不共线，A选项错误；
则不存在任何，使得，所以不共线，B选项错误；
由向量的加法原理知．
则有，又与有公共点，所以三点共线，C选项正确；
，则不存在任何，使得，所以不共线，D选项错误．
故选：C．
7. 已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出tan α，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.
【详解】sin α＝，且α锐角，则cs α＝，tan α.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
故选：B
8. 筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（ ）
A. 9秒B. 12秒C. 15秒D. 20秒
【答案】D
【解析】
【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.
【详解】假设所在直线垂直于水面，且米，如下示意图，
由已知可得，
所以，处在劣弧时高度不低于米，
转动的角速度为/每秒，
所以水筒P距离水面的高度不低于的时间为秒，
故选：D.
二、多选题
9. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递增D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的值域可判断D选项.
【详解】因为，
对于A选项，，故函数的图象不关于直线对称，A错；
对于B选项，，故函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C对；
对于D选项，当时，，则，
所以，，D错.
故选：BC.
10. 下图是函数的部分图像，则（ ）
A. B.
C. 是的一个对称中心D. 的单调递增区间为（）
【答案】BCD
【解析】
【分析】由图象可得，由可求出，再将代入可求出可判断A，B；由三角函数的性质可判断C，D.
【详解】根据图像象得，故A错误；
时，，，，
故，故B正确；
因为，所以是的一个对称中心，C正确；
令，解得，．故D正确．
故选：BCD.
11. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 最高水位为12
C. 该港口从上午8点开始首次限制船只出入
D. 一天内限制船只出入的时长为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意可求得，可知A正确；由12点时的水位为8m代入计算可得，即最高水位为10m，B选项错误；易知，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，即可判断C正确，D错误.
【详解】对于A，依题意，所以，故A正确；
对于B，当时，，解得，
所以最高水位为10m，故B错误；
对于CD，由上可知，令，解得或者，
所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题
12. 设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.
【详解】根据题意可得向量在上的投影向量为.
故答案为：
13. 已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以.
因为，
所以，
解得.
故答案为：.
14. 已知，则______
【答案】2
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.
详解】.
故答案为：2
四、解答题
15. 已知与的夹角为．
（1）求的值；
（2）求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求，再根据运算法则展开计算即可；
（2）先计算，再平方，进而开方即可.
【小问1详解】
因为
所以
【小问2详解】
因为，
所以
所以.
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；
（2）将代入可求出，结合的范围，求出，因为，由两角差的余弦公式求出结果.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期
【小问2详解】
，所以，
因为，，
所以，
所以
.
17. 如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点.
（1）若，求实数，的值；
（2）若，求边的长.
【答案】（1），.
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.
（2）利用转化法化简，从而求得的长.
【小问1详解】
∵，，∴，
∴，∴，.
【小问2详解】
，
，
设，∵，，
，即，
解得（舍）或，∴长为8.
18. 设是角终边上任意一点，其中，，并记．若定义，，．
（Ⅰ）求证是一个定值，并求出这个定值；
（Ⅱ）求函数的最小值．
【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）；
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；
(Ⅱ)将中的未知量均用来表示，得到，运用换元法设，化简成，再利用对勾函数的性质即可得到最值．
【详解】解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）由条件，，，
令
，
令，
则，，且，
从而，
令，则，，且，．
所以，．
从而，即．
19. 已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为
（1）求函数的解析式，并求其对称轴方程；
（2）将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值．
【答案】（1），，
（2），50
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得，再结合最值及周期即可得解析式；
（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为，则，再求最值即可.
【小问1详解】
，所以，
因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为，
故，
令，
【小问2详解】
向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到，
将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到
游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了，
令，则，
则，，，，故，
当或或20时，
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
一、单选题
1. 如图，四边形中，，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【详解】四边形中，，则且，
所以四边形平行四边形；
则有，故A错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；
由图可知，C错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．
故选：B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 两个单位向量的长度相等
D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】C
【解析】
【分析】A. 由判断；B.由平面向量的定义判断；C. 由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.
【详解】A. 当时，满足，，而不一定平行，故错误；
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
C. 由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；
故选：C
3. 若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，所以共线，不能作为基底.
B选项，，所以共线，不能作为基底.
C选项，，所以共线，不能作为基底.
D选项，易知不共线，可以作为基底.
故选：D
4. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到，再整体代入即可求得对称轴方程.
【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
得到，再向左平移个单位，
得到，
令，，则，.
显然，时，对称轴方程为，其他选项不符合.
故选：B
5. 设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
6. 已知向量，且，则下列一定共线的三点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．
详解】，
则不存在任何，使得，所以不共线，A选项错误；
则不存在任何，使得，所以不共线，B选项错误；
由向量的加法原理知．
则有，又与有公共点，所以三点共线，C选项正确；
，则不存在任何，使得，所以不共线，D选项错误．
故选：C．
7. 已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出tan α，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.
【详解】sin α＝，且α锐角，则cs α＝，tan α.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
故选：B
8. 筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（ ）
A. 9秒B. 12秒C. 15秒D. 20秒
【答案】D
【解析】
【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.
【详解】假设所在直线垂直于水面，且米，如下示意图，
由已知可得，
所以，处在劣弧时高度不低于米，
转动的角速度为/每秒，
所以水筒P距离水面的高度不低于的时间为秒，
故选：D.
二、多选题
9. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递增D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的值域可判断D选项.
【详解】因为，
对于A选项，，故函数的图象不关于直线对称，A错；
对于B选项，，故函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C对；
对于D选项，当时，，则，
所以，，D错.
故选：BC.
10. 下图是函数的部分图像，则（ ）
A. B.
C. 是的一个对称中心D. 的单调递增区间为（）
【答案】BCD
【解析】
【分析】由图象可得，由可求出，再将代入可求出可判断A，B；由三角函数的性质可判断C，D.
【详解】根据图像象得，故A错误；
时，，，，
故，故B正确；
因为，所以是的一个对称中心，C正确；
令，解得，．故D正确．
故选：BCD.
11. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 最高水位为12
C. 该港口从上午8点开始首次限制船只出入
D. 一天内限制船只出入的时长为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意可求得，可知A正确；由12点时的水位为8m代入计算可得，即最高水位为10m，B选项错误；易知，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，即可判断C正确，D错误.
【详解】对于A，依题意，所以，故A正确；
对于B，当时，，解得，
所以最高水位为10m，故B错误；
对于CD，由上可知，令，解得或者，
所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题
12. 设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.
【详解】根据题意可得向量在上的投影向量为.
故答案为：
13. 已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以.
因为，
所以，
解得.
故答案为：.
14. 已知，则______
【答案】2
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.
详解】.
故答案为：2
四、解答题
15. 已知与的夹角为．
（1）求的值；
（2）求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求，再根据运算法则展开计算即可；
（2）先计算，再平方，进而开方即可.
【小问1详解】
因为
所以
【小问2详解】
因为，
所以
所以.
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；
（2）将代入可求出，结合的范围，求出，因为，由两角差的余弦公式求出结果.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期
【小问2详解】
，所以，
因为，，
所以，
所以
.
17. 如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点.
（1）若，求实数，的值；
（2）若，求边的长.
【答案】（1），.
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.
（2）利用转化法化简，从而求得的长.
【小问1详解】
∵，，∴，
∴，∴，.
【小问2详解】
，
，
设，∵，，
，即，
解得（舍）或，∴长为8.
18. 设是角终边上任意一点，其中，，并记．若定义，，．
（Ⅰ）求证是一个定值，并求出这个定值；
（Ⅱ）求函数的最小值．
【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）；
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；
(Ⅱ)将中的未知量均用来表示，得到，运用换元法设，化简成，再利用对勾函数的性质即可得到最值．
【详解】解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）由条件，，，
令
，
令，
则，，且，
从而，
令，则，，且，．
所以，．
从而，即．
19. 已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为
（1）求函数的解析式，并求其对称轴方程；
（2）将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值．
【答案】（1），，
（2），50
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得，再结合最值及周期即可得解析式；
（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为，则，再求最值即可.
【小问1详解】
，所以，
因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为，
故，
令，
【小问2详解】
向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到，
将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到
游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了，
令，则，
则，，，，故，
当或或20时，
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