四川省成都市武侯高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

高2020级高二下学期半期考试（文科）

考试时间：120分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1．复数（为虚数单位）的虚部为（       ）

A． B． C． D．

2．将点的直角坐标化成极坐标得（       ）

A．  B． C． D．

3．下列函数的求导正确的是（       ）

A． B．

C． D．

4．已知函数在处的导数为2，则（       ）

A．－2 B．2 C．－1 D．1

5．复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．已知下表是某工厂的广告费用(万元)与销售额(万元)的一组数据：

由散点图可知，销售额与广告费用间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则（       ）A．              B．              C．              D．

7．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．函数在上单调递增     B．函数的递减区间为

C．函数在处取得极大值     D．函数在处取得极小值

8．圆的极坐标方程为

A． B． C． D．

9．为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试.如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图.则下列关于这次考试成绩的估计错误的是（       ）

A．众数为82.5                    B．中位数为85

C．平均数为86                    D．有一半以上干部的成绩在80~90分之间

10．已知函数在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

11．过曲线S：上一点的切线方程为（       ）

A．或 B．

C．或 D．

12．已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（       ）．

A．  B．    C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．已知x＞1，观察下列不等式：

…

按此规律，第n个不等式为_________．

14．曲线经过变换得到曲线，则曲线的方程为________.

15．设函数f(x)的导函数为，若则=___________.

16．新高考科目实行模式：甲、乙、丙三个高中生，语数外三个科目与另外两个科目已定，计划再从政治、地理、生物中选一科作为高考科目．已知这一科三人所选的科目均不相同，在介绍自己的情况时，作如下陈述：甲：“我选政治，乙选地理”；乙：“甲选地理，丙选政治”；丙：“甲选生物，乙选政治”.若甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半．根据以上信息，则下面判断正确的序号是_________．①甲选地理；②乙选政治；③丙选地理；④甲选生物

三、解答题

17．设函数．

(1)求f（x）在处的切线方程；

(2)求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．

18．设函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数的极值．

19．为了研究人对红光或绿光的反应时间，某实验室工作人员试验在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，切断计时器，这就能测得反应时间．该试验共测得200次红光．200次绿光的反应时间．若以反应时间是否超过（s：秒）为标准，完成以下问题．

（1）完成下面的2×2列联表：

(2)根据（1）中的2×2列联表，判断是否有的把握认为反应时间是否超过与光色有关．

参考公式与数据，其中．

20．在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.

（1）求、、的直角坐标方程；

（2）若与的交于点，与交于、两点，求点的坐标和.

21．若函数，当时，函数有极值.

(1)求函数的解析式；

(2)若关于的方程有三个解，求实数的取值范围.

22．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若函数在（为自然对数的底数）上有零点，求实数a的取值范围.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

根据复数的定义判断.

【详解】

由复数的定义可得，复数的虚部为.

故选：D

2．D

【解析】

【分析】

根据公式，，结合点在第一象限，为第一象限角求得，即可求解.

【详解】

因为点的直角坐标，

所以极径为，，

因为在第一象限，所以，

所以直角坐标化成极坐标得，

故选：D.

3．B

【解析】

【分析】

由基本初等函数求导公式与运算法则对选项逐一判断

【详解】

由基本初等函数求导公式与运算法则知：

，，，故A，C，D错误

，B正确

 故选：B

4．B

【解析】

【分析】

利用导数的定义即得.

【详解】

∵函数在处的导数为2，

∴.

故选：B.

5．A

【解析】

【分析】

根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解判断即可.

【详解】

，

所以，因此在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A

6．B

【解析】

【分析】

由表格数据计算可得，代入回归直线方程可求得.

【详解】

由表格数据得：，，

.

故选：B.

7．C

【解析】

【分析】

根据函数单调性与导数之间的关系及极值的定义结合图像即可得出答案.

【详解】

解：根据函数的导函数的图象可得，

当时，，故函数在和上递减，

当时，，故函数在和上递增，

所以函数在和处取得极小值，在处取得极大值，

故ABD错误，C正确.

故选：C.

8．D

【解析】

【详解】

将，代入直角坐标方程得，即．故选D．

9．C

【解析】

【分析】

由频率直方图求众数、中位数、平均数，并判断在80~90分之间的干部占比，即可得答案.

【详解】

由频率直方图知：众数为82.5，A正确；

又，即中位数为85，B正确；

由 ，C错误；

由，则有一半以上干部的成绩在80~90分之间，D正确.

故选：C

10．B

【解析】

【分析】

由导函数在上恒成立，分离参数可得参数范围．

【详解】

根据函数在区间（0，1）上单调递减，

所以恒成立，，

所以恒成立，所以，即．

故选：B．

11．C

【解析】

【分析】

当A为切点，利用导数的几何意义求切线斜率，再由点斜式写出切线方程；当A不是切点，根据曲线的极值情况，即可写出切线方程.

【详解】

由题设，，则、上，上，

所以在、上递减，上递增，则极小值为，极大值为，

若A是切点，则，此时切线方程为，即，

若A不是切点，则过的切线为.

故选：C

12．A

【解析】

【分析】

根据给定条件，把问题转化为，再求出函数，最大值，列式计算作答.

【详解】

因为对于任意的，存在，使，则，

显然在上单调递减，则，

当时，，即在上单调递增，则，

由解得：，

所以实数a的取值范围为.

故选：A

【点睛】

结论点睛：函数，，若，，有成立，故.

13．

【解析】

【分析】

从每个不等式左边单项式的指数和分式分母的特征，右边整数的特征进行归纳推理即可.

【详解】

…

按此规律，第n个不等式为：，

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

根据变换可得，将其代入曲线并整理，即可得曲线的方程.

【详解】

由题设，代入，可得：，

∴曲线的方程为.

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

可以求出导函数，进而可得．

【详解】

∵，

∴

∴，

解得．

故答案为：.

16．④

【解析】

【分析】

若若甲选政治正确，则与条件不相符；若甲选政治错误，则有甲选生物，乙选地理，丙选政治，即可判断结果．

【详解】

若甲选政治正确，则乙选地理错误；甲选地理错误，丙选政治正确；甲选生物错误，乙选政治正确；这与三人所选的科目均不相同不相符；

若甲选政治错误，则乙选地理正确；甲选地理错误，丙选政治正确；甲选生物正确，乙选政

治错误；所以甲选生物，乙选地理，丙选政治．

故答案为： ④

17．(1)；

(2)最大值是13，最小值是－19.

【解析】

【分析】

（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出结果；

（2）利用导数判断函数的单调性，进而结合单调性即可求出最值.

(1)

由题意知，，即切点为（1，－3），

又，所以

所以f（x）在处的切线方程为：，即；

(2)

，

令得；令得或，

故f（x）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和，

函数f（x）的极大值，函数f（x）的极小值，

又，

∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－19

18．(1)在递增，在递减

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值即可．

(1)

的定义域是，，

令，解得：0＜x＜1，

令得x＞1，

∴在递增，在递减；

(2)

由（1）得：在x=1处取得极大值，，

无极小值.

19．(1)表格见解析

(2)有的把握认为反应时间是否超过与光色有关．

【解析】

【分析】

（1）根据题目所给数据列出2×2的列联表；

（2）计算与临界值比较即可得出结论.

(1)

根据题意，可得2×2的列联表：

(2)

因为

所以有的把握认为反应时间是否超过与光色有关．

20．（1）：；：，的普通方程为（2）的坐标，

【解析】

【分析】

（1）由曲线的极坐标方程能求出曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程能求出曲线的普通方程.

（2）由曲线的极坐标方程求出曲线的普通方程，联立与得，解得点坐标（1，4），.设，.将代入，得，求出，.

【详解】

解：（1）∵曲线的极坐标方程为，

∴根据题意，曲线的普通方程为.

∵曲线的极坐标方程为，

∴曲线的普通方程为，

即；

∵曲线的极坐标方程为，

∴曲线的普通方程为，

（2）联立与，得，

解得，

∴点的坐标，

设，将代入，得，

则，，

，

【点睛】

本小题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据时，函数有极值，建立方程组求出a、b，再进行检验符合题意；

（2）利用列表法求出的极值，根据有三个解，即可取出的范围.

(1)

函数的定义域为R..

由题意可得：，

解得：，所以.

此时，.

令，解得：或；令，解得：.

所以在，上单增，在上单减，所以时，函数有极值，符合题意；

故解析式为.

(2)

令，解得：或.列表得：

要使关于的方程有三个解，

只需.

即实数的取值范围为.

22．(1)答案见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）求导，得，然后对进行分类讨论即可求解

（2）在上有零点等价于方程在上有根，即在上成立，然后，令，进而利用导数讨论的范围，进而可求解

(1)

，

①当，时，，当时，，则函数在上单调递减，在和单调递增；

②当时，在恒成立，则函数在上单调递增；

③当，时，，当时，，则函数在上单调递减，在和上单调递增.

综上所述，当时，函数在上单调递减，在和上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.

(2)

在上有零点等价于方程在上有根，

即在上成立.

令，因为.

当时，，，所以，所以，所以在上单调递增.

又，

所以，，所以实数a的取值范围为.

【点睛】

思路点睛：（1）主要利用分类讨论的方法处理含参单调性问题；（2）把转化为，的有解问题，难点在于讨论的情况，属于难题