福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：4 月 17日 完卷时间：120分钟 满分：150 分
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列结论正确的是（ ）
A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形
B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台
C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
3．在平行四边形中，点是线段上一点，且满足，点是边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．等于（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．原核生物大肠杆菌会导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状。已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：）
A．4小时B．5小时C．6小时D．7小时
如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）
（参考数据：，，，）
A．42米B．47米C．38米D．52米
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．若，则函数的值域为
B．点是函数的图象的对称中心
C．函数在区间上是增函数
D．将函数的图象向右平移个单位长度后形成偶函数
10．复数（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的虚部为
C．复数是方程的一个虚根 D．若复数满足，则
11．已知均为正数，且满足，则下列各选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知向量，，则，则实数 .
13．已知，，，则在方向上的投影向量是 .
14．已知函数，若存在，使得在上单调，且在上的值域为，则m的取值范围为 .
解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）
（1）计算；
（2）已知关于的方程有实数解，求纯虚数.
16．（15分）
已知锐角的内角，所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求的周长的取值范围.
17．（15分）
位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？
(2)若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？
(3)假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.
18．（17分）
已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；
(3)若函数在内恰有2023个零点，求与的值.
19．（17分）
在中，对应的边分别为
(1)求；
(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
①用向量证明二维柯西不等式：
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立．若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值．