2022-2023学年九年级数学上学期期末考点大串讲专题05 图形相似（14个考点）

这是一份2022-2023学年九年级数学上学期期末考点大串讲专题05 图形相似（14个考点），共67页。
专题05图形相似（14个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
二．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
三．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
四．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
五．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
六．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
七．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
八．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
九．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
十．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
十一．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
十二．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
十三．射影定理
（1）射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
（2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC；
②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC．

【专题过关】
一．比例的性质（共4小题）
1．（2022•亭湖区校级开学）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022春•泰兴市校级月考）已知，则的值为 　 　．
3．（2022•淮安区模拟）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，求a值．
4．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 　 　倍．

二．比例线段（共4小题）
5．（2022春•靖江市月考）已知线段a＝2cm，b＝8cm，则它们的比例中项c＝　 　．
6．（2022•灌南县一模）已知线段a＝2cm，b＝8cm，它们的比例中项c是（　　）
A．16cm B．4cm C．±4cm D．±16cm
7．（2022•淮安区模拟）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
8．（2022•盐城一模）在比例尺为1：100000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 　 　km．
三．黄金分割（共3小题）
9．（2022•工业园区校级二模）把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割．介于整数n和n+1之间，则n的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2022•建邺区二模）点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝5且PA＞PB，则PA长最接近的整数是 　 　．
11．（2022春•邗江区校级月考）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为6cm，则AP 的长为 　 　cm．（结果保留根号）

四．平行线分线段成比例（共3小题）
12．（2022•淮安区模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（　　）

A．7 B．7.5 C．8 D．4.5
13．（2022春•江都区月考）如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 　 　．

14．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（　　）

A． B． C． D．
五．相似图形（共1小题）
15．（2022春•江阴市校级月考）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　 　．
六．相似三角形的性质（共5小题）
16．（2022•淮安区模拟）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为　 　．
17．（2022•泗阳县一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（　　）

A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+
18．（2022秋•岳阳楼区校级月考）若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF面积比　 　．
19．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（　　）
A．54 B．36 C．27 D．21
20．（2022春•泰兴市校级月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝cm，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为 　 　cm．

七．相似三角形的判定（共3小题）
21．（2022春•射阳县月考）如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝　 　时，△CEA与△EPB相似．

22．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
23．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），且点 A、B的横坐标是方程x2+2x﹣3＝0的解，点C（0，3m）为y轴正半轴上一动点，连接AC，与AB的垂直平分线l交于点M．
（1）求点M的坐标；（用含m的代数式表示）
（2）点N是点M关于x轴的对称点，连接AN，CN，是否存在这样的m值，使△CAN与△AOC相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

八．相似三角形的判定与性质（共7小题）
24．（2022•泰州二模）如图，平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，S△ABE：S四边形AECD＝3：7，若AD＝5cm，则CF的长为（　　）

A．1cm B．1.2cm C．3cm D．2cm
25．（2022秋•高邮市期中）如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4，点M在矩形的对角线AC上，若AM＝3MC，则EM的长为 　 　．

26．（2022•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点（异于A、B），CD平分∠ACB交⊙O于D点，交AB于E点；
（1）；
（2）AC×BC＝CE×CD；
（3）AC+BC＝CD；
（4）连结AD、BD，四边形ACBD面积为CD2；
上述结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．（2021秋•赣榆区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC＝∠BDE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若＝，求的值．

28．（2022秋•高邮市期中）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．
（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；
（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．

29．（2022•工业园区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，连接AE，ED，DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F；
①求证：CA＝CF；
②当BD＝5，CD＝4时，请直接写出BF的长为 　 　．

30．（2022•钟楼区校级模拟）如图①，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．
（1）证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．
（2）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为 　 　．

九．相似三角形的应用（共4小题）
31．（2022•东海县一模）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是 　 　mm．

32．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（　　）

A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
33．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为 　 　m．

34．（2022春•港闸区校级月考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离．

一十．作图-相似变换（共2小题）
35．（2022秋•天宁区校级月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝　 　．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

36．（2022春•靖江市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．
（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．求证：PD∥AB．

一十一．位似变换（共3小题）
37．（2022春•港闸区校级月考）如图，两个三角形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为A（2，﹣3），B（﹣1，b），则b的值为（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
38．（2022•钟楼区校级模拟）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2.5，5），B（5，0），以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，若点D的坐标为（2，0），则点C的坐标为 　 　．

39．（2022•钟楼区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，则点B的对应点B′的坐标为 　 　．

一十二．作图-位似变换（共3小题）
40．（2022春•大丰区校级月考）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）．
（1）以点M为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；
（2）点A的对应点D的坐标是 　 　；
（3）S△ABM：S四边形ABED＝　 　．

41．（2022•兴化市模拟）如图，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）在第四象限画出△ABC关于原点O的位似△A'B'C'，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出点C'的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．

42．（2022•徐州二模）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（3，1），C（5，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O为位似中心，把△ABC按相似比2：1放大，得到对应的△A′B′C′．
（1）请在第一象限内画出△A′B′C′；
（2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D的坐标．

一十三．射影定理（共1小题）
43．（2021•南通模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）

A． B． C． D．3
一十四．相似形综合题（共6小题）
44．（2022春•宿豫区期中）在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），以AE为直角边在直线BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．

（1）如图1，若EF与CD交于点G，连接CF．
①求证：△ABE∽△ECG；
②求的值；
③若正方形ABCD的边长为1，在点E运动过程中，则以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为 　 　；
（2）如图2，若AF与CD交于点P，连接BD分别与AE、AF交于点M、N，连接PM．求证：PM⊥AE．

45．（2021秋•赣榆区期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，＝　 　；（填两数字之比）
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在线段AB上找一点P，使＝；
②如图③，在线段BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

46．（2022春•锡山区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：
（1）求当t为何值时，△EFD∽△ABD？
（2）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；
（3）将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

47．（2022•姑苏区校级模拟）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．

（1）若AB＝8，AE＝6，BD＝2，则CF＝　 　；
（2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠BAC＝2α，则△AEF与△ABC的周长之比为 　 　（用含α的表达式表示）．
48．（2022•泰兴市一模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，E是AB上的一点，BE＝5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'．

（1）求证：△AEC'∽△AC'B；
（2）若点F是BC上的一点，且BF＝，
①若△BC'F与△BC'E的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的△AC'D（保留作图痕迹，不写作法）；
②求BC'+FC'的最小值．

49．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4


答案与解析
【专题过关】
一．比例的性质（共4小题）
1．（2022•亭湖区校级开学）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用设k法进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴设x＝5k，y＝3k，
∴＝
＝
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
2．（2022春•泰兴市校级月考）已知，则的值为 　3　．
【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴1﹣＝，
∴＝1﹣＝，
∴＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（2022•淮安区模拟）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，求a值．
【分析】利用设k法进行计算即可解答．
【解答】解：设＝＝＝k，
∴a＝6k，b＝5k，c＝4k，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6k+5k﹣8k＝6，
∴k＝2，
∴a＝6k＝12，
∴a的值为12．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
4．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 　1.2　倍．

【分析】根据比例的性质解决此题．
【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．
∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．
故答案为：1.2．
【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
二．比例线段（共4小题）
5．（2022春•靖江市月考）已知线段a＝2cm，b＝8cm，则它们的比例中项c＝　4cm　．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
即c2＝ab，则c2＝2×8，
解得c＝4（cm）（线段是正数，负值舍去）．
故答案为：4cm．
【点评】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
6．（2022•灌南县一模）已知线段a＝2cm，b＝8cm，它们的比例中项c是（　　）
A．16cm B．4cm C．±4cm D．±16cm
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
即c2＝ab，则c2＝2×8，
解得c＝±4，（线段是正数，负值舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
7．（2022•淮安区模拟）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
【分析】根据比例中项的定义，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝4cm，b＝7cm，c＞0，
∴c＝2cm．
故线段c的长为2cm．
【点评】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2022•盐城一模）在比例尺为1：100000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 　31　km．
【分析】图上距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可．
【解答】解：大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为31÷＝3100000（cm）＝31（km），
故答案为：31．
【点评】此题考查有关比例线段的计算；注意厘米换算成千米应缩小100000倍．
三．黄金分割（共3小题）
9．（2022•工业园区校级二模）把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割．介于整数n和n+1之间，则n的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据黄金分割比为≈0.618，求解即可．
【解答】解：∵≈0.618，介于整数n和n+1之间，
∴n的值是0；
故选：A．
【点评】此题考查了黄金分割，树立黄金分割比≈0.618是解题的关键．
10．（2022•建邺区二模）点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝5且PA＞PB，则PA长最接近的整数是 　3　．
【分析】根据黄金比为0.618进行计算即可得到答案．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴PA＝0.618AB＝0.618×5≈3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值≈0.618叫做黄金比是解题的关键．
11．（2022春•邗江区校级月考）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为6cm，则AP 的长为 　（3﹣3）　cm．（结果保留根号）

【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为6cm，
∴＝，
∴AP＝×6＝（3﹣3）cm，
故答案为：（3﹣3）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
四．平行线分线段成比例（共3小题）
12．（2022•淮安区模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（　　）

A．7 B．7.5 C．8 D．4.5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，即＝，然后利用比例性质求DF的长．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，即＝，
∴DF＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13．（2022春•江都区月考）如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 　　．

【分析】作DH∥AC交BF于H，如图，先证明△EDH≌△EAF得到DH＝AF，然后根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图，
∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵，DH∥CF，
∴＝＝＝，
∴＝，
故答案为：．

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
14．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】由AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，易得△ADE是等腰三角形，△CDE∽△CBA，又由＝，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ADE是等腰三角形与△CDE∽△CBA是解此题的关键．
五．相似图形（共1小题）
15．（2022春•江阴市校级月考）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　　．
【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．
【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，
∴AC2＝BC•AD，
∵AC＝，AD＝，
∴CB＝2，
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝，
在Rt△AFC中AF＝＝，
∵AD＝，E为AD中点，
∴AE＝，
∴EF＝＝＝．
故答案为：．

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．
六．相似三角形的性质（共5小题）
16．（2022•淮安区模拟）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为　3：5　．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是9：25，
∴两个相似三角形的相似比是3：5，
∴对应边上的中线的比为3：5，
故答案为：3：5．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
17．（2022•泗阳县一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（　　）

A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+
【分析】先根据正方形的性质得到GF∥DE，从而证明△CGF∽△CAB，根据相似三角形的性质可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解．
【解答】解：如图，设CH与GF交于点M，

∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥DE，∠GDE＝∠DGF＝90°，
∴△CGF∽△CAB，
∴＝，
∵CH⊥AB，
∴∠DHM＝90°，
∴四边形DHMG是矩形，
∴DG＝MH，
∵CH＝h，AB＝c，正方形DEFG的边长是x，
∴MH＝x，
∴CM＝CH﹣MH＝h﹣x，
∴＝，
∴＝1﹣，
∴＝﹣，
∴＝+，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是证明△CGF∽△CAB后列出比例式．
18．（2022秋•岳阳楼区校级月考）若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF面积比　1：4　．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积的比为（1：2）2＝1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
19．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（　　）
A．54 B．36 C．27 D．21
【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；
方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．
【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝，
∴x＝6，y＝9，
∴△DEF的周长是27；
方式二：∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
∴C△DEF＝27；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．
20．（2022春•泰兴市校级月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝cm，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为 　　cm．

【分析】先证△ABP≌△ACQ，易得∠DCQ恒为60°，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知DQ的最小值即为DH，进行求解即可．
【解答】解：连接CQ，过点D作DH⊥CQ，垂足为H，如图所示：

∵△APQ∽△ABC，
∴∠PAQ＝∠BAC，AP：AB＝AQ：AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∵AB＝AC，
∴AP＝AQ，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ＝∠ACB，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ACQ＝30°，
∴∠DCQ＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∵AB＝AC＝cm，∠BAC＝120°，
∴AC＝6，
∵AD⊥BC，
∴CD＝3，
∴CH＝，DH＝．
∴DQ的最小值即为．
故答案为：．
【点评】本题考查了最小值问题，在运动过程中找出Q的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键．
七．相似三角形的判定（共3小题）
21．（2022春•射阳县月考）如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝　或6　时，△CEA与△EPB相似．

【分析】先根据已知条件得出AE＝3，再分△CAE∽△PBE和△CAE∽△EBP两种情况，利用相似三角形的对应边成比例分别求解可得．
【解答】解：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵AB＝5，EB＝2，
∴AE＝AB﹣EB＝3，
①当△CAE∽△PBE时，＝，即＝，
解得：PB＝；
②当△CAE∽△EBP时，＝，即＝，
解得：BP＝6；
综上，当BP＝或6时，△CEA与△EPB相似．
故答案为：或6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
22．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读GE和DF、OC和OF的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤．
【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，
∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，故①正确；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
解得：b＝a，
∴AB＝AD，故②错误；
在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，
∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，
解得：x＝a，
∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，
在Rt△AGE中，GE＝＝a，
∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；
无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
23．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），且点 A、B的横坐标是方程x2+2x﹣3＝0的解，点C（0，3m）为y轴正半轴上一动点，连接AC，与AB的垂直平分线l交于点M．
（1）求点M的坐标；（用含m的代数式表示）
（2）点N是点M关于x轴的对称点，连接AN，CN，是否存在这样的m值，使△CAN与△AOC相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）解方程x2+2x﹣3＝0，求出x，得出A（﹣3，0），B（1，0），根据线段垂直平分线的性质得到点M的横坐标为﹣1．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝mx+3m，把x＝﹣1代入求出y，即可得到点M的坐标；
（2）根据条件得出N（﹣1，﹣2m）在第三象限，∠ACN＜90°．分别过C、N作x轴的平行线，过A作y轴的平行线，交于点H，G，证明△AGN∽△AHC，得出＝＝＝．由△CAN与△AOC相似，得出∠CAN＝90°或∠ANC＝90°．分两种情况进行讨论：①如果∠ANC＝90°；②如果∠CAN＝90°．根据相似三角形对应边成比例老师计算即可．
【解答】解：（1）解方程x2+2x﹣3＝0，得x＝﹣3或1，
∵点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），且点 A、B的横坐标是方程x2+2x﹣3＝0的解，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵AB的垂直平分线为l，
∴l的解析式为直线x＝＝﹣1，
∴点M的横坐标为﹣1．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣3，0），C（0，3m）代入，
得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝mx+3m，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣m+3m＝2m，
∴点M的坐标为（﹣1，2m）；
（2）∵点C（0，3m）为y轴正半轴上一动点，
∴3m＞0，即m＞0，
∴点M（﹣1，2m）在第二象限，
∵点N是点M关于x轴的对称点，
∴N（﹣1，﹣2m）在第三象限，
又∵A（﹣3，0），
∴∠ACN＜90°．
如图，分别过C、N作x轴的平行线，过A作y轴的平行线，交于点H，G，则∠H＝∠G＝90°，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴△AGN∽△AHC，
∴＝＝＝．
∵△AOC是直角三角形，
∴当△CAN与△AOC相似时，△CAN也是直角三角形，∠CAN＝90°或∠ANC＝90°．
①如果∠ANC＝90°，
∵∠CAN＞∠CAO，
∴此时△ANC∽△COA，
∴＝＝．
∵OC＝3m，AC＝＝，
∴＝，
解得，m＝（负值舍去）；
②如果∠CAN＝90°，
∵∠ACN＜∠ACO，
∴此时△ANC∽△OCA，
∴＝＝．
∵OC＝3m，OA＝3，
∴＝，
解得，m＝．
综上所述，存在这样的m值，使△CAN与△AOC相似，此时m的值为或．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，综合性较强，有一定难度．求出点M的横坐标与直线AC的解析式是解决第一问的关键；证明△AGN∽△AHC，得出＝以及进行分类讨论是解决第二问的关键．
八．相似三角形的判定与性质（共7小题）
24．（2022•泰州二模）如图，平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，S△ABE：S四边形AECD＝3：7，若AD＝5cm，则CF的长为（　　）

A．1cm B．1.2cm C．3cm D．2cm
【分析】连接AC，根据S△ABE：S▱ABCD＝3：10，得S△ABE：S△ABC＝3：5，则BE：BC＝3：5，求出CE的长，再说明CE＝CF，进而得出答案．
【解答】解：连接AC，

∵S△ABE：S四边形AECD＝3：7，
∴S△ABE：S▱ABCD＝3：10，
∴S△ABE：S△ABC＝3：5，
∴BE：BC＝3：5，
∵AD＝5cm，
∴AD＝BC＝5cm，
∴BE＝3cm，
∴CF＝2cm，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠BEA＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠F，
∴CF＝CE＝2cm，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，求出BE的长是解题的关键．
25．（2022秋•高邮市期中）如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4，点M在矩形的对角线AC上，若AM＝3MC，则EM的长为 　　．

【分析】先根据勾股定理得AC的长，再由矩形的性质可得CE∥AB，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CE∥AB，∠ABC＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵CE∥AB，
∴△CEM∽△ABM，
∴EC：AB＝CM：AM＝EM：BM＝1：3，
∵AB＝3，
∴EC＝1，
∴BE＝，
∴EM＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
26．（2022•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点（异于A、B），CD平分∠ACB交⊙O于D点，交AB于E点；
（1）；
（2）AC×BC＝CE×CD；
（3）AC+BC＝CD；
（4）连结AD、BD，四边形ACBD面积为CD2；
上述结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等，进行判断；
（2）连接BD，证明△ACE∽△DCB，便可判断正误；
（3）连接AD、BD，延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，证明△FAD≌△DBC，得△CDF是等腰直角三角形，便可判断正误；
（4）由全等三角形得S△FAD＝S△DBC，进而由等腰直角三角形的面积公式，便可判断正误．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，故（1）结论正确；
（2）连接BD，

∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴△ACE∽△DCB，
∴，
∴AC×BC＝CE×CD，故（2）结论正确；
（3）连接AD、BD，延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，

∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC＝90°，
∴∠ADC+∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF＝CD，
∴AC+AF＝AC+BC＝CD，故（3）结论正确；
（4）∵△FAD≌△DBC，
∴S△FAD＝S△DBC，
∴，故（4）结论错误；
故选：C．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理及推论，圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质，圆周角定理的灵活运用是本题的关键．
27．（2021秋•赣榆区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC＝∠BDE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若＝，求的值．

【分析】（1）连接OE，通过证明∠CBE＝∠OEB得OE∥BC，从而得OE⊥AC，再结合OE是半径即可得出结论；
（2）由OE∥BC，得△AOE∽△ABC，进而得出＝，再由OE∥BC，得△OEF∽△CBF，即可推出结果．
【解答】（1）证明：连接OE，

∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBE+∠BEC＝90°，
∵BD是直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴∠CBE＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB＝90°，
∴OE⊥AC，
又∵OE是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△CBF，
∴＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（2022秋•高邮市期中）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．
（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；
（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）由∠1＝∠BAC，得∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，则∠CAQ＝∠BAP，而∠2＝∠ABP，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△CAQ∽△BAP，则＝，所以AC•AP＝AB•AQ；
（2）由AC•AP＝AB•AQ，变形为＝，而∠1＝∠BAC，即可由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△APQ∽△ABC，得∠PQA＝∠ACB．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BAC，
∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵∠2＝∠ABP，
∴△CAQ∽△BAP，
∴＝，
∴AC•AP＝AB•AQ．
（2）解：∠PQA＝∠ACB，
理由：∵AC•AP＝AB•AQ，
∴＝，
∵∠1＝∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠PQA＝∠ACB．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质等知识，找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△CAQ∽△BAP及△APQ∽△ABC是解题的关键．
29．（2022•工业园区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，连接AE，ED，DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F；
①求证：CA＝CF；
②当BD＝5，CD＝4时，请直接写出BF的长为 　3　．

【分析】（1）欲证明AC是⊙O的切线，只需证得AB⊥AC即可；
（2）由圆周角、弧、弦间的关系即可推出CA＝CF；
（3）通过相似三角形（△ADC∽△BAC）的对应边成比例求得AC．得CF，再求得DF，便可求得BF．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABC+∠DAB＝90°．
∵∠DAC＝∠AED，∠AED＝∠ABC，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①证明：∵点E是的中点，
∴，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵∠DAC+∠DAB＝90°，∠ABC+∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC．
∵∠CFA＝∠ABC+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，
∴∠CFA＝∠CAF．
∴CA＝CF；
②解：∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴．即AC2＝BC×CD＝（5+4）×4＝36．
解得AC＝6．
∴CA＝CF＝6，
∴DF＝CA﹣CD＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
30．（2022•钟楼区校级模拟）如图①，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．
（1）证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．
（2）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为 　　．

【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，得到∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，根据勾股定理得到DE＝＝，通过△ADF∽△DCE，得到 ＝，列方程即可得到结果；
（2）证明△ADG∽△DCE，得到 ＝，求出AG，由FG＝AG﹣AF即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴＝，
即＝，
∴点A到直线DE的距离AF＝；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠CDA＝90°，
∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG∽△DCE，得
∴＝，即 ＝，
∴AG＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；
故答案为：；
【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键．
九．相似三角形的应用（共4小题）
31．（2022•东海县一模）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是 　43.62　mm．

【分析】如图，易得△OAB∽△OCD，利用它们对应边成比例，即可得到题目的结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，

∴，
即，
解得：b＝43.62．
故答案为：43.62．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边成比例的性质解题是解题关键．
32．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（　　）

A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
【分析】根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．
【解答】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，
∵汽车的长度大约为4米，
∴横向距离大约是8米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，
∴汽车到观测点的距离约为80米，
故选：C．
【点评】本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．
33．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为 　8　m．

【分析】作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝20m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，证明△CEF∽△CBA，然后利用相似比计算出AB即可．
【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝20m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴，
即，
∴AB＝8（m），
即铁塔的高度为8m．
故答案为：8．

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
34．（2022春•港闸区校级月考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离．

【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DCE∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CD＝AC，CE＝BC，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴＝＝，
∵DE＝15，
∴AB＝30（米），
答：池塘两端A，B的距离为30米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
一十．作图-相似变换（共2小题）
35．（2022秋•天宁区校级月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝　1：3　．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【解答】解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为1：3．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
36．（2022春•靖江市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．
（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．求证：PD∥AB．

【分析】（1）尺规作图作出∠APD＝∠ABP，即可得到∠DPC＝∠PAB，从而得到△PCD∽△ABP；
（2）根据题意得到∠DPC＝∠ABC，根据平行线的判定即可证得结论．
【解答】解：（1）如图：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；

（2）证明：如图，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，
∴∠DPC＝∠ABC
∴PD∥AB．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，等腰三角形的性质，平行线的判定等，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
一十一．位似变换（共3小题）
37．（2022春•港闸区校级月考）如图，两个三角形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为A（2，﹣3），B（﹣1，b），则b的值为（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律，A点的横纵坐标都乘以﹣得到B点坐标，从而得到b的值．
【解答】解：∵两三角形关于原点位似，
∴＝，解得b＝．
故选：D．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
38．（2022•钟楼区校级模拟）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2.5，5），B（5，0），以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，若点D的坐标为（2，0），则点C的坐标为 　（1，2）　．

【分析】根据题意求出线段AB与线段CD的比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（2，0），
∴线段AB缩小得到线段CD，
∵点A的坐标为（2.5，5），
∴点C的坐标为（2.5×，5×），即（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
39．（2022•钟楼区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，则点B的对应点B′的坐标为 　（6，2）　．

【分析】作BE⊥OA于E，根据直角三角形的性质、锐角三角函数的定义求出点B的坐标，再根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：作BE⊥OA于E，
则∠BEO＝90°，
∵∠ABO＝90°，∠BOA＝30°，
∴OB＝OA•cos30°＝4×＝2，
∴BE＝OB＝，OE＝OB•cos30°＝2×＝3，
∴点B的坐标为：（3，），
∵以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，
∴点B的对应点B'的坐标为：（3×2，×2），即（6，2），
故答案为：（6，2）．

【点评】本题考查的是位似变换的性质、直角三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
一十二．作图-位似变换（共3小题）
40．（2022春•大丰区校级月考）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）．
（1）以点M为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；
（2）点A的对应点D的坐标是 　（﹣2，5）　；
（3）S△ABM：S四边形ABED＝　1：3　．

【分析】（1）延长MA到D点使MD＝2MA，延长MB到E点使ME＝MB，延长MC到F点使MF＝2MC，从而得到△DEF；
（2）利用（1）所画图形写出D点坐标；
（3）利用三角形面积公式分别计算出S△ABM和S四边形ABED，然后计算它们的比值．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求；


（2）D点坐标为（﹣2，5）；
故答案为：（﹣2，5）；
（3）∵S△ABM＝×2×2＝2，S四边形ABED＝×4×4﹣2＝6，
∴S△ABM：S四边形ABED＝2：6＝1：3．
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
41．（2022•兴化市模拟）如图，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）在第四象限画出△ABC关于原点O的位似△A'B'C'，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出点C'的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．

【分析】（1）把A、B、C点的横纵坐标都乘以﹣得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作，点C'的坐标为（1，﹣1）；

（2）△A'B'C'的面积＝3×3﹣×2×1﹣×2×3﹣×3×1＝3.5．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．
42．（2022•徐州二模）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（3，1），C（5，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O为位似中心，把△ABC按相似比2：1放大，得到对应的△A′B′C′．
（1）请在第一象限内画出△A′B′C′；
（2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D的坐标．

【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）根据平行四边形的定义，画出图形，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，满足条件的点D的坐标为（3，4）或（﹣1，2）或（7，0）．

【点评】本题考查位似变换，平行四边形端点判定和性质等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型，
一十三．射影定理（共1小题）
43．（2021•南通模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）

A． B． C． D．3
【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD•AB，
又∵AC＝3，AB＝6，
∴32＝6AD，则AD＝．
故选：A．

【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
一十四．相似形综合题（共6小题）
44．（2022春•宿豫区期中）在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），以AE为直角边在直线BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．

（1）如图1，若EF与CD交于点G，连接CF．
①求证：△ABE∽△ECG；
②求的值；
③若正方形ABCD的边长为1，在点E运动过程中，则以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为 　1+　；
（2）如图2，若AF与CD交于点P，连接BD分别与AE、AF交于点M、N，连接PM．求证：PM⊥AE．

【分析】（1）①根据同角的余角相等可得∠CEG＝∠BAE，从而证明结论；
②在AB上取点H，使AH＝CE，连接HE，利用SAS证明△HAE≌△CEF，得HE＝CF，再说明△BHE是等腰直角三角形即可；
③首先说明点F在射线CF上运动，作点D关于CF的对称点M，则点B、C、M在一条直线上，此时AF+DF的最小值即为AM的长，即可得出答案；
（2）根据∠EAF＝∠MDP，得点A、M、P、D四点共圆，则∠ADM＝∠APM＝45°，即可证明结论．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEG＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CEG＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECG；
②解：在AB上取点H，使AH＝CE，连接HE，

∵AH＝CE，∠HAE＝∠CEF，AE＝EF，
∴△HAE≌△CEF（SAS），
∴HE＝CF，
∵AB＝BC，AH＝CE，
∴BH＝BE，
∵∠B＝90°，
∴HE＝BE，
∴；
③解：由△HAE≌△CEF得，∠AHE＝∠ECF＝135°，
∴∠DCF＝45°，

作点D关于CF的对称点M，则点B、C、M在一条直线上，
此时AF+DF的最小值即为AM的长，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AM＝，
∴以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为1+，
故答案为：1+；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝∠ADB＝45°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠MDP，
∴点A、M、P、D四点共圆，
∴∠ADM＝∠APM＝45°，
∴∠AMP＝90°，
∴PM⊥AE．

【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路线问题，四点共圆等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．
45．（2021秋•赣榆区期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，＝　1：3　；（填两数字之比）
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在线段AB上找一点P，使＝；
②如图③，在线段BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可．
（2）①如图②中，取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求作．
②如图③中，取格点T，连接CT交BD于点P，连接PA，点P即为所求作．
【解答】解：（1）如图①中，∵AB∥CD，
∴＝＝；
故答案为：1：3．
（2）①如图②中，点P即为所求作．
②如图③中，点P即为所求作．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
46．（2022春•锡山区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：
（1）求当t为何值时，△EFD∽△ABD？
（2）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；
（3）将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）当△ABD∽△EFD时，则，代入计算即可；
（2）分ED＝EF，DE＝DF，FE＝FD三种情形，分别画出图形，利用相似相似三角形的判定与性质可得答案；
（3）当EM＝EN时，过点E作EK⊥BC于K，利用勾股定理分别表示出EM和EN的长，从而得出方程解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：DE＝2tcm，BF＝tcm＜
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10cm，
∴DF＝BD＝BF＝（10﹣t）cm，
当△ABD∽△EFD时，
则，
即，
解得t＝，
即当t为时，△EFD∽△ABD；
（2）①当ED＝EF时，过点E作EG⊥BF于G，

∵ED＝EF，
∴△EFD为等腰三角形，
又∴EG⊥DF，
∴DG＝DF＝（10﹣t）cm，
∵∠EDG＝∠BDA，∠EGD＝∠BAD＝90°，
∴△EGD∽△BAD，
∴，
即＝，
∴t＝；
②当EF＝FD时，过点F作FH⊥AD，

∵EF＝FD，
∴△EFD为等腰三角形，
又∴FH⊥ED，
∴HD＝DE＝t（cm），
∵∠ADB＝∠HDF，∠BAD＝∠FHD，
∴△DHF∽△DAB，
即，
∴t＝＞3.6（舍去），
当DE＝DF时，即2t＝10﹣t，
解得：t＝，
综上，当t＝或时，△EFD为等腰三角形；
（4）假设存在符合题意的t，则EM＝EN，
过点E作EK⊥BC于K，

则四边形EKCD为矩形，
∴ED＝CK＝2t（cm），EK＝CD＝6cm，NK＝BC﹣BN﹣CK＝8﹣t﹣2t＝（8﹣t）cm，
∴EN2＝EK2+NK2＝+100，EM2＝AM2+AE2＝t2﹣52t+100，
∴+100＝t2﹣52t+100，
解得t1＝t2＝0，
∵t≠0，不合题意，
∴不存在四边形是菱形．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，化动为静，熟练掌握相似三角形的基本模型是解题的关键．
47．（2022•姑苏区校级模拟）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．

（1）若AB＝8，AE＝6，BD＝2，则CF＝　6　；
（2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠BAC＝2α，则△AEF与△ABC的周长之比为 　1﹣cosα　（用含α的表达式表示）．
【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质可知△BDE、△CDF是等边三角形，从而得出答案；
（2）根据∠CDE＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF，得∠CDF＝∠BED，可证明结论；
【思考】作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DQ⊥AC于Q，利用角平分线的性质得DM＝DQ，再利用AAS证明△BMD≌△CQD，可得BD＝CD；
【探索】作OM⊥AB于M，ON⊥EF于N，OQ⊥AC于Q，连接AO，证明△EOF∽△OCF，得∠EFO＝∠OFC，∠OEF＝∠COF，则ON＝OQ，∠OEF＝∠OEB，再证明Rt△EOM≌Rt△EON（HL），得EM＝EN，同理得，FN＝FQ，则△AEF的周长为AM+AQ，设AB＝m，则OB＝m×cosα，BM＝m×cos2α，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，
∵AB＝8，AE＝6，BD＝2，
∴BE＝BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝CF＝BC﹣BD＝8﹣2＝6，
故答案为：6；
（2）∵∠CDE＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF，
∴∠CDF＝∠BED，
∵∠B＝∠C，
∴△EBD∽△DCF；
【思考】存在，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DQ⊥AC于Q，

∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，
∴DM＝DN，DN＝DQ，
∴DM＝DQ，
∵∠B＝∠C，∠BMD＝∠CQD，
∴△BMD≌△CQD（AAS），
∴BD＝CD，
∴；
【探索】作OM⊥AB于M，ON⊥EF于N，OQ⊥AC于Q，连接AO，

由（2）同理得，△BOE∽△CFO，
∴，
∵点O为BC的中点，
∴BO＝OC，
∴，
∵∠EOF＝∠C，
∴△EOF∽△OCF，
∴∠EFO＝∠OFC，∠OEF＝∠COF，
∴ON＝OQ，∠OEF＝∠OEB，
∴OM＝ON，
∵OE＝OE，
∴Rt△EOM≌Rt△EON（HL），
∴EM＝EN，
同理得，FN＝FQ，
∴△AEF的周长为AM+AQ，
同理得，AM＝AQ，
设AB＝m，
则OB＝m×cosα，BM＝m×cos2α，
∴△AEF与△ABC的周长之比为．
故答案为：1﹣cosα．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的定义等知识，熟练掌握相似三角形的基本模型﹣﹣一线三等角是解题的关键．
48．（2022•泰兴市一模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，E是AB上的一点，BE＝5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'．

（1）求证：△AEC'∽△AC'B；
（2）若点F是BC上的一点，且BF＝，
①若△BC'F与△BC'E的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的△AC'D（保留作图痕迹，不写作法）；
②求BC'+FC'的最小值．

【分析】（1）由线段的数量关系可得，可得结论；
（2）①由题意可得点C'是∠ABC的角平分线与⊙A的交点，作∠CAC'的角平分线交BC于点D，则△AC'D为所求图形；
②由相似三角形的性质可得BC'+FC'＝（EC'+FC'），则当点E，点C'，点F三点共线时，EC'+FC'有最小值，即BC'+FC'有最小值，由相似三角形的性质和勾股定理可求EF的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵BE＝5，AB＝9，
∴AE＝4，
∵沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，
∴AC＝AC'＝6，
∵＝，，
∴，
又∵∠BAC'＝∠EAC'，
∴△AEC'∽△AC'B；
（2）解：①设点C'到BE的距离为x，点C'到BF的距离为y，
∵△BC'F与△BC'E的面积比是，
∴＝，
∴x＝y，
∴点C'在∠ABC的角平分线上，
∵沿AD折叠△ACD，
∴AC＝AC'，
∴点C'在以点A为圆心，AC为半径的圆上，
∴则点C'是∠ABC的角平分线与⊙A的交点，
如图所示：作∠CAC'的角平分线交BC于点D，则△AC'D为所求图形；

②∵△AEC'∽△AC'B，
∴＝，
∴BC'＝EC'，
∴BC'+FC'＝（EC'+FC'），
∴当点E，点C'，点F三点共线时，EC'+FC'有最小值，即BC'+FC'有最小值，
如图4，过点E作EH⊥BC于H，

∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，
∴BC＝＝＝3，
∵∠ACB＝∠EHB＝90°，∠ABC＝∠EBH，
∴△ABC∽△EBH，
∴，
∴＝，
∴EH＝，BH＝，
∴HF＝，
∴EF＝＝，
∴BC'+FC'的最小值＝×＝．
【点评】本题是相似三角形的判定和性质，考查了折叠的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
49．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰直角三角形的性质可以判断①；根据△DEF，△ADC是等腰直角三角形，可得AC＝AD，AF＝，所以＝＝，因为∠CAF＝∠DAE，所以△CAF∽△DAE，进而可以判断②；证明△ADE≌△CDE（SAS），进而可得∠EAC＝∠ECA＝22.5°，可得CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，DE平分∠ADC，得点E是△ADC角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，BC＝CD＝OD，且点F与点E的运动时间相同，进而可以判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝∠DAC＝45°，
∴∠EAF﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，
∴∠CAF＝∠DAE，故①正确；
∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，AF＝，
∴＝＝，
∵∠CAF＝∠DAE，
∴△CAF∽△DAE，
∴＝＝，
∴FC＝DE，故②正确；
∵△CAF∽△DAE，
∴∠ACF＝∠ADE＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEC＝135°，
∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°＝2∠EAC＝2∠ECA，
∴CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，
∵∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴DE平分∠ADC，
∴点E是△ADC角平分线的交点，
∴E为△ADC的内心，故③正确；
如图，连接BD交AC于点O，

∵∠ADE＝∠CDE＝45°，
当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，
∴点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，
∵BC＝CD＝OD，且点F与点E的运动时间相同，
∴vF＝vE，
∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误．
综上所述：正确的结论是①②③，共3个．
故选：C．
【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点E的运动轨迹．