吉林省长春市德惠市第三中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．请将答案正确填写在答题卡上
2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
第I卷（选择题）
一、单选题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1. 实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则绝对值最小的数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．
【详解】解：由图可知：到原点的距离最短，
∴在这四个数中，绝对值最小的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较，掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数是解题的关键．
2. 长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1800000=1.8×106，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列运算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则准确计算即可．
【详解】∵不是同类项,
∴无法计算，
故A不符合题意；
∵，
∴故B不符合题意；
∵，
∴故C不符合题意；
∵，
∴故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，乘法，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的定义判断．
【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小正方形，
故答案为：C．
【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键．
5. 如图，是一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为110°，若屏幕的长度为，则上方边界处到桌面的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，，在中，，则，从而由，结合选项，利用的余弦函数即可得到答案．
【详解】解：屏幕与键盘所成夹角为110°，
，
在中，，则，
，
，即，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，数形结合，根据题意选择恰当的三角函数是解决问题的关键．
6. 已知□ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）

A. ∠DAE＝∠BAEB. ∠DEA＝ ∠DABC. DE＝BED. BC＝DE
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的性质与平行四边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由作法可知AE平分∠DAB，所以∠DAE＝∠BAE，故本选项不符合题意；
B、∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠BAE＝∠DAB，故本选项不符合题意；
C、无法证明DE＝BE，故本选项符合题意；
D、∵∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∵AD＝BC，∴BC＝DE，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法和平行四边形的性质是解答此题的关键．
7. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
8. 如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点．若点D的坐标是，则的值为（ ）

A 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形的面积为4，求出即可．
【详解】解：如图，延长、交y轴于点E、F，延长、交x轴于点M、N，

由几何意义得，，
∴，
∵，
∴，
∵点D的坐标是，
∴，，
∴，
∵正方形的面积为4，
∴， 而，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质，的几何意义的应用是解题关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题(每题3分，共18分)
9. 分解因式：m2-6m+9=_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接应用完全平方公式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．
10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值是______．
【答案】9
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于c的方程，求出c的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
11. 某种苹果的售价是每千克5元，用面值为100元的人民币购买了千克，应找回_______元．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查列代数式，属基础题，简单．根据单价×重量=应付的钱；剩余的钱即为应找回的钱列式即可．
【详解】解：根据题意，a千克苹果售价为元，所以应找回元．
故答案为：．
12. 如图，以正六边形的顶点C为旋转中心，将正六边形按顺时针方向旋转，使得D的对应点落在直线上，则正六边形至少旋转_________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查正六边形的性质以及旋转的性质，掌握正六边形以及旋转的性质是正确解答的前提．根据旋转的定义以及正六边形的性质进行计算即可．
【详解】解：以正六边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，
则正六边形旋转的最小角度是正六边形的一个外角，即，
故答案为：．
13. 将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点B，C的读数分别为，若该量角器所在半圆的直径为，则弧的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查弧长的计算，连接，先求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接．
由题意，，
又该量角器所在半圆的直径为，
∴，
∴弧的长为．
故答案为：．
14. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：
则该运动员踢出的足球在第_________s落地．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
【详解】解：由题意可设抛物线解析式为：，
当时，；当时，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
解得：或，
则该运动员踢出的足球在第落地，
故答案为：．
三、解答题(共78分)
15. 先化简．再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
16. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字 0，1，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小红从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数学之积为奇数的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表可知，共有9种等可能，其中两次抽取的卡片上数字之积为奇数的结果为4，
∴两次抽取的卡片上数字之积为奇数的概率为．
17. 为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【答案】乙班每小时挖400千克的土豆
【解析】
【分析】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，根据题意列出分式方程即可求解．
【详解】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，
根据题意有：，
解得：x=400，
经检验，x=400是原方程的根，
故乙班每小时挖400千克的土豆．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．
18. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，连接，，，，且，．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的形状，菱形的判定，全等三角形的形状与判定；证明得出，，进而证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形即可得证．
【详解】证明：四边形是矩形，
，，，
与中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形．
19. 某校初三年级为了了解本校学生在平时体育训练的效果，随机抽取了男、女各60名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：数据分为四个等级，分别是：
A：，B：，C：，D：
60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如图：
初三抽取的男生体考成绩条形统计图 初三抽取的女生体考成绩扇形统计图

男生成绩在组的前10名考生的分数为：
47.5，47.5，47.5，47，47，47，46，45.5，45，45.
60名男生和60名女生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： _______， ______，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次考试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由（说明一条理由即可）
（3）若该年级有500名学生，请估计该年级所有参加体考的考生中，成绩为等级的考生人数．
【答案】（1），，图见解析
（2）女生成绩较好，理由见解析
（3）成绩为等级的考生人数为人
【解析】
【分析】本题考查了求中位数、求扇形统计图的数据、补全条形统计图、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据中位数的定义即可得出的值，由即可得出的值，计算出男生组的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据平均数、中位数、众数分析即可得出答案；
（3）先求出女生组的人数，再用500乘以男生和女生组人数所占的比例即可得出答案．
【小问1详解】
解：男生成绩在组的前10名考生的分数从大到小为：47.5，47.5，47.5，47，47，47，46，45.5，45，45，男生成绩在的人数为人，
男生成绩处在第、位的数为、，这两个数的平均数为，
，
，
，
男生组有：（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：，；
【小问2详解】
解：女生成绩较好，
理由如下：男生和女生成绩的平均数一样，但女生成绩的中位数和众数都高于男生，故女生成绩较好；
【小问3详解】
解：女生成绩在组的人数为：，
成绩为等级的考生人数为：（人），
成绩为等级的考生人数为人．
20. 图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中画一条以P为端点的射线PC，使其平分线段AB，点C在线段AB上；
（2）在图②中画一条以P为端点的射线PD，使其分线段AB为1：3两部分，点D在线段AB上；
（3）在图③中画一条以P为端点的射线PE，使tan∠PEB＝1，点E在线段AB上．
【答案】（1）图形见解析
（2）图形见解析 （3）图形见解析
【解析】
【分析】（1）取格点T，连接PT交线段AB于点C，射线PC即为所求；
（2）取格点Q，连接PQ，交线段AB于点D，射线PD即为所求；
（3）取格点W，R，连接BW，AW，PR，PR交AB于点E，射线PE即为所求．
小问1详解】
如图①中，射线PC即为所求；
【小问2详解】
如图②中，射线PD即为所求
【小问3详解】
如图，射线PE即为所求．
【点睛】本题考查网格中作图、相似三角形、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解．
【小问1详解】
解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得，
，
解得：，
∴；
【小问2详解】
设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点代入得，
解得：，
∴；
联立
解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
22. 【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【答案】感知：；探究：见解析；应用：．
【解析】
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得，
故答案为：；
探究：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
应用：
延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．
23. 如图，在中，，，．点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点G运动．同时点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点A运动，连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，以，为边作正方形．设点E运动的时间为t秒．

（1）的长为______；
（2）求点E到边的距离；（用含t的代数式表示）
（3）当点G落在边上时，求的长；
（4）连接，当与平行或垂直时，求t的值．
【答案】（1）4 （2）t
（3）1 （4）当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）用勾股定理即可得到答案；
（2）过点E作于点D．由，即．可得，即点E到边AB的距离是t；
（3）当点G落在边AB上时，，由，得，可得；
（4）当时，由．得，即．
∴，．而，可得；当时，过点F作于点W，由．得，有，．又，知．故，可得．
【小问1详解】
解：在中，，，．
；
【小问2详解】
解：如图4，过点E作于点D．由题意，得，
∴，即．
∴，
即点E到边AB的距离是t．
【小问3详解】
解：当点G落在边AB上时，，如图5，同（2）可得．
∵，
∴．
∴，
∴，解得．
故．
【小问4详解】
解：当时，如图6，
∵四边形EFGH是正方形，，
∴EG在AC上．
由题可知，，，
∴．
∵，，
∴．
∴，即．
∴，．
∵，即，
∴，解得．
故：当时，；
当时，过点F作于点W，如图7．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，即，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，解得．
故：当时，．
【点睛】本题考查了正方形和直角三角形，熟练掌握正方形和直角三角形的性质再结合旋转的性质是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，点，在二次函数（是常数）的图像上，，两点之间的部分（包括，两点）图像记为．设点，两点的横坐标分别为，．
（1）当时，求二次函数图像的最低点的坐标．
（2）当图像的最高点为点，且图像对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围．
（3）设图像的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，当图像的最高点只有点时，求与之间的函数关系式．
（4）设图像的最高点与最低点分别为，，以，为对角线作矩形，若矩形的周长为4，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，；当时，
（4）或
【解析】
【分析】（1）将二次函数的一般式化为顶点式即可；
（2）图像的最高点为点，且图像对应的函数值随的增大而增大时，点A和点B在抛物线对称轴的右侧，且点A在点B右侧，由此列不等式即可求出的取值范围；
（3）分别求出的最低点坐标，点A，点B的纵坐标，分和两种情况，找出点为图象G的最高点时，图象G的最低点坐标，即可求出与之间的函数关系式；
（4）结合（3）中结论，分，，，四种情况，分别找出图象G的最高点和最低点，根据矩形的周长为4，列式计算即可．
小问1详解】
解：当时，
，
最低点的坐标为．
【小问2详解】
解：二次函数中二次项系数为正，
抛物线开口向上，对称轴为：，
当时，随的增大而增大，
图像的最高点为点，且图像对应的函数值随的增大而增大，
，
解得，
即的取值范围是．
【小问3详解】
解：，
二次函数图象的最低点坐标为，
将，代入，可得：
，
，
当对称轴时，点A和点B都在对称轴右侧，
图像的最高点只有点，
，
解得，
此时，点为图象G的最高点，点A为图象G的最低点，
；
当对称轴时，点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，
图像的最高点只有点，

解得，
此时，点为图象G的最高点，点为图象G的最低点，
；
综上可知，当时，；当时，；
【小问4详解】
解：由（3）可知，当时，点为图象G的最高点，点A为图象G的最低点，
M点坐标为，N点坐标为，
矩形的周长，
解得或（舍）；
当时，点为图象G的最高点，点为图象G的最低点，
M点坐标为，N点坐标为，
矩形的周长，
解得（舍），或（舍）；
当时，，
点A和点B都在对称轴右侧，点为图象G的最低点，点A为图象G的最高点，
M点坐标为，N点坐标为，
矩形的周长，
解得或（舍）；
当时，，
点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，点A为图象G的最高点，点为图象G的最低点，
M点坐标为，N点坐标为，
矩形的周长，
综上可知，的取值范围为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数的最值、对称轴，根据增减性求参数的取值范围等，解题的关键是熟练运用数形结合思想，注意分类讨论．
0
2
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…
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性别
平均数
中位数
众数
男生
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47
女生
47.5
47
47.5