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2024年辽宁省鞍山市海城市中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2024年辽宁省鞍山市海城市中考数学模拟试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，比数轴上点A表示的数大3的数是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.方程3x=2x+7的解是
A. x=4B. x=−4C. x=7D. x=−7
5.下列事件中的必然事件是( )
A. 地球绕着太阳转B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
6.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是( )
A. AD=BCB. ∠ABD=∠BDC
C. AB=ADD. ∠A=∠C
7.已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值随x值的增大而增大，则一次函数y=−2kx+k在平面直角坐标系内的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是( )
A. 5m
B. 70m
C. 5m或70m
D. 10m
9.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=45°，BC=2，则AB的长度为( )
A. π4
B. π2
C. π
D. 2π
10.如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM，ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC.过点A作AD//ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E.设OA=10，DE=12，则sin∠MON=( )
A. 2425B. 1225C. 56D. 512
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160.这组数据的众数为______．
12.在平面直角坐标系xOy中，点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是______．
13.若关于x的不等式组3(x−1)>x−68−2x+2a≥0有三个整数解，则实数a的取值范围为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x(其中k1⋅k2≠0)相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，过点B作BP//x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是______．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD= 7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动.当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)22+|−3|− 25；
(2)3a+2(a2−a)−2a⋅3a．
17.(本小题9分)
中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
(1)求接受问卷调查的学生共有多少人；
(2)求条形统计图中m的值及扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
(3)若该校共有800名学生，根据上述调查结果，如果要让全体学生达到至少“基本了解”的程度，估计学校应该对多少名学生进行心理健康的培训．
18.(本小题8分)
甲、乙两人相约山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示：
(1)当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
19.(本小题8分)
图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．
(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3)，此时小若能被识别吗？请计算说明．
(精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36)
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD、DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线(请用两种证法解答)；
(2)若DE=2，tan∠BAC=12，求AD的长．
21.(本小题12分)
第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA=65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB=100m.在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y(m)与水平方向移动的距离x(m)具备二次函数关系，其解析式为y=−160x2+bx+c．
(1)求b，c的值；
(2)进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x(m)与飞行时间t(s)具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t=0，x=0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
22.(本小题12分)
如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且
∠DBC=30°．
(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是______；
(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；
(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由数轴可得：A表示−1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：−1+3=2．
故选：D．
结合数轴得出A对应的数，再利用有理数的加法计算得出答案．
此题主要考查了有理数的加法以及数轴，正确掌握有理数的加法是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：主视图底层有两个小正方形，第二层有一个小正方形，且这个小正方形在左边，所以符合题意的是选项D．
故选：D．
根据组合体的主视图的形状进行判断．
本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是明确主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】A
【解析】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】C
【解析】解：移项得：3x−2x=7，
合并同类项得：x=7．
故选：C．
方程移项合并，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：地球绕着太阳转是必然事件，所以A符合题意；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以B不符合题意；
天空出现三个太阳是不可能事件，所以C不符合题意；
经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意．
故选：A．
根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义对4个选项进行分析．
本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，难度不大，认真分析即可．
6.【答案】D
【解析】解：A、由AB//CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB//CD，AB=AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠ABC+∠C=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴AD//BC，
又∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)函数值随x的增大而增大，
∴k>0，
∴−k<0，
∴一次函数y=−2kx+k的图象经过一、二、四象限；
故选：C．
由于正比例函数y=kx(k≠0)函数值随x的增大而增大，可得k>0，−k<0，然后，判断一次函数y=−2kx+k的图象经过象限即可．
本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当k>0，b<0时，图象过一、三、四象限；k<0，b>0时，图象过一、二、四象限；k<0，b<0时，图象过二、三、四象限．
8.【答案】A
【解析】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，
根据题意得：(100−2x)(50−2x)=3600，
整理得：x2−75x+350=0，
解得：x1=5，x2=70(不符合题意，舍去)，
∴小路的宽是5m．
故选：A．
设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
根据题意和图形，可以求得∠AOB和∠BOC的度数，从而可以得到OB的长，然后根据弧长公式即可求得AB的长度．
本题考查弧长的计算、等边三角形的判定与性质、圆周角、圆心角，解答本题的关键是求出OB的长和∠AOB的度数．
【解答】
解：连接OA、OB、OC，如图所示，
∵∠CAB=30°，∠ACB=45°，
∴∠BOC=60°，∠AOB=90°，
∵OB=OC，BC=2，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=2，
∴AB的长度为：90π×2180=π，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．
由作图可知，∠AOD=∠DOE，OA=OB，
∵AD//EO，
∴∠ADO=∠DOE，
∴∠AOD=∠ADO，
∴AO=AD，
∴AD=OB，AD//OB，
∴四边形AOBD是菱形，
∴OB=BD=OA=10，BD//OA，
∴∠MON=∠DBE，∠BOD=∠BDO，
∵DE⊥OD，
∴∠BOD+∠DEO=90°，∠ODB+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE=10，
∴OE=2OB=20，
∴OD= OE2−DE2= 202−122=16，
∵DH⊥OE，
∴DH=OD⋅DEOE=16×1220=485，
∴sin∠MON=sin∠DBH=DHDB=48510=2425．
故选：A．
如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H.首先证明四边形AOBD是菱形，解直角三角形求出DH即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11.【答案】160
【解析】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为160，
故答案为：160．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
12.【答案】(−5,−1)
【解析】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是(−5,−1)．
故答案为：(−5,−1)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
13.【答案】−3≤a<−2
【解析】解：解不等式3(x−1)>x−6，得：x>−1.5，
解不等式8−2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为−1，0、1，
则1≤a+4<2，
解得−3≤a<−2．
故答案为：−3≤a<−2．
首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14.【答案】152
【解析】解：∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x(其中k1⋅k2≠0)相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，
∴k2=−2×3=−2m，
∴m=3，
∴B(3,−2)，
∵BP//x轴，
∴BP=3，
∴S△ABP=12×3×(3+2)=152．
故答案为：152．
把A(−2,3)，B(m,−2)代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
15.【答案】 11−2
【解析】解：在矩形ABCD中，AB=2，AD= 7，
∴BC=AD= 7，AC= BC2+AB2= 7+4= 11，
如图所示，当点P在BC上时，
∵AB′=AB=2，
∴B′在A为圆心，2为半径的弧上运动，
当A，B′，C三点共线时，CB′最短，
此时CB′=AC−AB′= 11−2，
当点P在DC上时，如图所示，
此时CB′> 11−2，
当P在AD上时，如图所示，此时CB′> 11−2，
综上所述，CB′的最小值为 11−2，
故答案为： 11−2．
根据折叠的性质得出B′在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC.上时，当P在AD上时，即可求解．
本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)22+|−3|− 25
=4+3−5
=2；
(2)原式=3a+2a2−2a−6a2
=a−4a2．
【解析】(1)根据有理数的乘方、绝对值的性质、算术平方根计算；
(2)根据单项式乘单项式、合并同类项计算．
本题考查的是单项式乘单项式、实数的运算，掌握实数的运算法则、单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)40÷50%=80(人)，
答：接受问卷调查的学生共有80人；
(2)m=80−20−40−4=16(人)；
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角：2080×360°=90°，
答：条形统计图中m的值为16；扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为90°；
(3)16+480×800=200(名)，
答：估计学校应该对200名学生进行心理健康的培训．
【解析】(1)用基本了解的人数除以其所占的百分比即可求出接受问卷调查的学生人数；
(2)将总人数减去其他三组人数即可求出m的值；将“非常了解”部分所占比乘以360°即可求出扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
(3)将“了解很少”和“不了解”所占比乘以800，即可估计学校应该对多少名学生进行心理健康的培训．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵直线过(15,0)和(40,300)，
∴15k+b=040k+b=300，
解得k=12b=−180，
∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=12x−180；
(2)设甲的函数解析式为：y=mx+n，
将(25,160)和(60,300)代入得：
160=25m+n300=60m+n，
解得m=4n=60，
∴y=4x+60；
∵乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度，
∴y=12x−180y=4x+60，
解得x=30y=180，
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米．
【解析】(1)设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=kx+b，再利用待定系数法来求解即可；
(2)求出甲的函数解析式和乙的解析式，甲的函数解析式和乙的解析式组成方程组解答即可．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法是解题关键．
19.【答案】解：(1)过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=EFAF，
∴EF=AF⋅tan15°≈130×0.27=35.1(cm)，
∵AF=AF，∠EAF=∠DAF，∠AFE=∠AFD=90°，
∴△ADF≌△AEF(SAS)，
∴EF=DE=35.1cm，
∴CE=160+35.1=195.1(cm)，
∴小杜最少需要下蹲208−195.1=12.9厘米才能被识别；
(2)如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M.N.交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP=MPAP，
∴MP=AP⋅tan20°≈150×0.36=54.0(cm)，
∵AP=AP，∠MAP=∠NAP，∠APM=∠APN=90°，
∴△AMP≌△ANP(ASA)，
∴PN=MP=54.0cm，
∴BN=160−54.0=106.0(cm)，
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3=123(cm)，
∴小若头顶超出点N的高度为：123−106.0=17.0(cm)>15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
【解析】(1)过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义得到EF=AF⋅tan15°≈130×0.27=35.1(cm)，根据全等三角形的性质得到结论；
(2)如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M.N.交水平线于P，根据三角函数的定义得到MP=AP⋅tan20°≈150×0.36=54.0(cm)，根据全等三角形的性质得到PN=MP=54.0cm，于是得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题关键．
20.【答案】(1)证明：方法一：连接OD，如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵点E为BC的中点，
∴DE=BE=12BC，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD．
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90°，
∴∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
方法二：连接OD，OE如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，∴∠BDC=90°，
∵点E为BC的中点，
∵点E为BC的中点，
∴DE=BE=12BC，
∴DE=BE=12BC，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，OE=OE
∴∠ODB=∠OBD，
∴△OBE≌△ODE(SSS)，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODE=∠OBC=90°，
∴∠EBD+∠OBD=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
∴DE与⊙O相切；
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
(2)解：由(1)知，∠BDC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=12BC=2，
∴BC=4，
∵tan∠BAC=BCAB=BDAD=12，
∴AB=8.AD=2BD，
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
即(2BD)2+BD2=82，
∴BD=85 5(负值已舍去)，
∴AD=16 55．
【解析】(1)连接OD，由圆周角定理得到∠ADB=∠BDC=90°，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得∠EDB=∠EBD，由等腰三角形的性质得到∠ODB=∠OBD，根据∠ABC=90°，得到∠ODB+∠EDB=90°，由切线的判定即可证得DE与OO相切；
(2)角三角形斜边中线的性质求出BC，根据三角函数的定义即可求出BD．
本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：(1)熟练掌握切线的判定方法；(2)通过解直角三角形斜边中线的性质证得DE=BC．
21.【答案】解：(1)作BE⊥y轴于点E，
∵OA=65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB=100m，
∴点A的坐标为(0,65)，AE=50m，BE=50 3m，
∴OE=OA−AE=65−50=15(m)，
∴点B的坐标为(50 3,15)，
∵点A(0,65)，点B(50 3,15)在二次函数y=−160x2+bx+c的图象上，
∴c=65−160×(50 3)2+50 3b+c=15，
解得b= 32c=65，
即b的值是 32，c的值是65；
(2)①设x关于t的函数解析式是x=kt+m，
因为点(0,0)，(5,50 3)在该函数图象上，
∴m=05k+m=50 3，
解得k=10 3m=0，
即x关于t的函数解析式是x=10 3t；
②设直线AB的解析式为y=px+q，
∵点A(0,65)，点B(50 3,15)在该直线上，
∴q=6550 3p+q=15，
解得p=− 33q=65，
即直线AB的解析式为y=− 33x+65，
则h=(−160x2+ 32x+65)−(− 33x+65)=−160x2+5 36x，
∴当x=−5 362×(−160)=25 3时，h取得最值，此时h=1254，
∵25 3<50 3，
∴x=25 3时，h取得最值，符合题意，
将x=25 3代入x=10 3t，得：25 3=10 3t，
解得t=2.5，
即当t为2.5s时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是1254m.
【解析】(1)根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；
(2)①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；
②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
22.【答案】解：(1)AC=23 3DE；
(2)在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°，AB=4，
∴AE=AB⋅sin∠EBA=12AB=2，∠BAE=60°，
延长DE交AB于点F，如图所示，
∴EF=AE×sin∠BAE= 32×2= 3，AF=12AE=1，
∴BF=AB−AF=4−1=3，
由(1)可得AC=23 3DE，
∴DE= 32AC= 3，
∴DF=DE+EF=2 3，
在Rt△BFD中，BD= BF2+DF2= 32+(2 3)2= 21，
∵△ABC∽△EBD，
∴BCBD=ACDE=2 33，
∴BC=2 33× 21=2 7，
即BC=2 7；
(3)如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90°，∠EBA=30°，连接BE，EA，ED，EC，
同(1)可得△BDE∽△BCA，
∴DEAC=BDBC=2 33，
∵AC=2，
∴DE=4 33，
在Rt△AEB中，AB=4，AE=AB×tan∠EBA=4× 33=4 33，
∴D在以E为圆心，4 33为半径的圆上运动，
∴当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时如图所示，则AD=AE+DE=8 33，
在Rt△ABD中，BD= AB2+AD2= 42+(8 33)2=4 213，
∴cs∠BDA=ADBD=83 34 213=2 77，sin∠BDA=ABBD=44 213= 217，
∵△ABC∽△EBD，
∴∠BDE=∠BCA，
过点A作AF⊥BC于点F，
∴CF=AC×cs∠ACB=2×2 77=4 77，AF=AC×sin∠ACB=2 217，
∵∠DBC=30°，
∴BC= 32BD= 32×4 213=2 7，
∴BF=BC−CF=2 7−4 77=10 77，
Rt△AFB中，tan∠CBA=AFBF=2 21710 77= 35．
【解析】解：(1)在Rt△BDC中，∠DBC=30°，在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°，
∴△ABE∽△CBD，∠DBE+∠EBC=∠ABC+∠EBC，BE=AB×cs∠ABE= 32AB，
∴ABBC=BEBD，∠DBE=∠CBA，
∴△ABC∽△EBD，
∴ACDE=ABBE=AB 32AB=2 33，
∴AC=23 3DE，
故答案为：AC=23 3DE；
(2)见答案;
(3)见答案．
(1)证明△ABE∽△CBD，根据相似三角形的性质得出ABBC=BEBD，∠DBE=∠CBA，进而证明△ABC∽△EBD，根据相似三角形的性质即可求解；
(2)求出AE=2，延长DE交AB于点F，在Rt△AEF中，由直角三角形的性质求得EF，AF，进而求得BF的长，根据(1的结论，得出DE= 3，在Rt△BFD中，勾股定理求得BD，进而根据△ABC∽△EBD，即可求出案．
(3)如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90°，∠EBA=30°，连接BE，EA，ED，EC，同(1)可得△BDE∽△BCA，求出AE的长，进而得出D在以E为圆心，4 33为半径的圆上运动，当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，进而求得cs∠BDA=2 77，sin∠BDA= 217，根据△ABC∽△EBD得出∠BDE=∠BCA，过点A作AF⊥BC于点F，由直角三角形的性质分别求得AF，CF，然后求出BF，最后根据正切的定义即可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
1.如图，比数轴上点A表示的数大3的数是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.方程3x=2x+7的解是
A. x=4B. x=−4C. x=7D. x=−7
5.下列事件中的必然事件是( )
A. 地球绕着太阳转B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
6.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是( )
A. AD=BCB. ∠ABD=∠BDC
C. AB=ADD. ∠A=∠C
7.已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值随x值的增大而增大，则一次函数y=−2kx+k在平面直角坐标系内的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是( )
A. 5m
B. 70m
C. 5m或70m
D. 10m
9.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=45°，BC=2，则AB的长度为( )
A. π4
B. π2
C. π
D. 2π
10.如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM，ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC.过点A作AD//ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E.设OA=10，DE=12，则sin∠MON=( )
A. 2425B. 1225C. 56D. 512
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160.这组数据的众数为______．
12.在平面直角坐标系xOy中，点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是______．
13.若关于x的不等式组3(x−1)>x−68−2x+2a≥0有三个整数解，则实数a的取值范围为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x(其中k1⋅k2≠0)相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，过点B作BP//x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是______．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD= 7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动.当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)22+|−3|− 25；
(2)3a+2(a2−a)−2a⋅3a．
17.(本小题9分)
中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
(1)求接受问卷调查的学生共有多少人；
(2)求条形统计图中m的值及扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
(3)若该校共有800名学生，根据上述调查结果，如果要让全体学生达到至少“基本了解”的程度，估计学校应该对多少名学生进行心理健康的培训．
18.(本小题8分)
甲、乙两人相约山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示：
(1)当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
19.(本小题8分)
图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．
(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3)，此时小若能被识别吗？请计算说明．
(精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36)
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD、DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线(请用两种证法解答)；
(2)若DE=2，tan∠BAC=12，求AD的长．
21.(本小题12分)
第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA=65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB=100m.在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y(m)与水平方向移动的距离x(m)具备二次函数关系，其解析式为y=−160x2+bx+c．
(1)求b，c的值；
(2)进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x(m)与飞行时间t(s)具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t=0，x=0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
22.(本小题12分)
如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且
∠DBC=30°．
(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是______；
(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；
(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由数轴可得：A表示−1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：−1+3=2．
故选：D．
结合数轴得出A对应的数，再利用有理数的加法计算得出答案．
此题主要考查了有理数的加法以及数轴，正确掌握有理数的加法是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：主视图底层有两个小正方形，第二层有一个小正方形，且这个小正方形在左边，所以符合题意的是选项D．
故选：D．
根据组合体的主视图的形状进行判断．
本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是明确主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】A
【解析】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】C
【解析】解：移项得：3x−2x=7，
合并同类项得：x=7．
故选：C．
方程移项合并，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：地球绕着太阳转是必然事件，所以A符合题意；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以B不符合题意；
天空出现三个太阳是不可能事件，所以C不符合题意；
经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意．
故选：A．
根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义对4个选项进行分析．
本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，难度不大，认真分析即可．
6.【答案】D
【解析】解：A、由AB//CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB//CD，AB=AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠ABC+∠C=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴AD//BC，
又∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)函数值随x的增大而增大，
∴k>0，
∴−k<0，
∴一次函数y=−2kx+k的图象经过一、二、四象限；
故选：C．
由于正比例函数y=kx(k≠0)函数值随x的增大而增大，可得k>0，−k<0，然后，判断一次函数y=−2kx+k的图象经过象限即可．
本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当k>0，b<0时，图象过一、三、四象限；k<0，b>0时，图象过一、二、四象限；k<0，b<0时，图象过二、三、四象限．
8.【答案】A
【解析】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，
根据题意得：(100−2x)(50−2x)=3600，
整理得：x2−75x+350=0，
解得：x1=5，x2=70(不符合题意，舍去)，
∴小路的宽是5m．
故选：A．
设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
根据题意和图形，可以求得∠AOB和∠BOC的度数，从而可以得到OB的长，然后根据弧长公式即可求得AB的长度．
本题考查弧长的计算、等边三角形的判定与性质、圆周角、圆心角，解答本题的关键是求出OB的长和∠AOB的度数．
【解答】
解：连接OA、OB、OC，如图所示，
∵∠CAB=30°，∠ACB=45°，
∴∠BOC=60°，∠AOB=90°，
∵OB=OC，BC=2，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=2，
∴AB的长度为：90π×2180=π，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．
由作图可知，∠AOD=∠DOE，OA=OB，
∵AD//EO，
∴∠ADO=∠DOE，
∴∠AOD=∠ADO，
∴AO=AD，
∴AD=OB，AD//OB，
∴四边形AOBD是菱形，
∴OB=BD=OA=10，BD//OA，
∴∠MON=∠DBE，∠BOD=∠BDO，
∵DE⊥OD，
∴∠BOD+∠DEO=90°，∠ODB+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE=10，
∴OE=2OB=20，
∴OD= OE2−DE2= 202−122=16，
∵DH⊥OE，
∴DH=OD⋅DEOE=16×1220=485，
∴sin∠MON=sin∠DBH=DHDB=48510=2425．
故选：A．
如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H.首先证明四边形AOBD是菱形，解直角三角形求出DH即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11.【答案】160
【解析】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为160，
故答案为：160．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
12.【答案】(−5,−1)
【解析】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是(−5,−1)．
故答案为：(−5,−1)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
13.【答案】−3≤a<−2
【解析】解：解不等式3(x−1)>x−6，得：x>−1.5，
解不等式8−2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为−1，0、1，
则1≤a+4<2，
解得−3≤a<−2．
故答案为：−3≤a<−2．
首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14.【答案】152
【解析】解：∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x(其中k1⋅k2≠0)相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，
∴k2=−2×3=−2m，
∴m=3，
∴B(3,−2)，
∵BP//x轴，
∴BP=3，
∴S△ABP=12×3×(3+2)=152．
故答案为：152．
把A(−2,3)，B(m,−2)代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
15.【答案】 11−2
【解析】解：在矩形ABCD中，AB=2，AD= 7，
∴BC=AD= 7，AC= BC2+AB2= 7+4= 11，
如图所示，当点P在BC上时，
∵AB′=AB=2，
∴B′在A为圆心，2为半径的弧上运动，
当A，B′，C三点共线时，CB′最短，
此时CB′=AC−AB′= 11−2，
当点P在DC上时，如图所示，
此时CB′> 11−2，
当P在AD上时，如图所示，此时CB′> 11−2，
综上所述，CB′的最小值为 11−2，
故答案为： 11−2．
根据折叠的性质得出B′在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC.上时，当P在AD上时，即可求解．
本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)22+|−3|− 25
=4+3−5
=2；
(2)原式=3a+2a2−2a−6a2
=a−4a2．
【解析】(1)根据有理数的乘方、绝对值的性质、算术平方根计算；
(2)根据单项式乘单项式、合并同类项计算．
本题考查的是单项式乘单项式、实数的运算，掌握实数的运算法则、单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)40÷50%=80(人)，
答：接受问卷调查的学生共有80人；
(2)m=80−20−40−4=16(人)；
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角：2080×360°=90°，
答：条形统计图中m的值为16；扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为90°；
(3)16+480×800=200(名)，
答：估计学校应该对200名学生进行心理健康的培训．
【解析】(1)用基本了解的人数除以其所占的百分比即可求出接受问卷调查的学生人数；
(2)将总人数减去其他三组人数即可求出m的值；将“非常了解”部分所占比乘以360°即可求出扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
(3)将“了解很少”和“不了解”所占比乘以800，即可估计学校应该对多少名学生进行心理健康的培训．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵直线过(15,0)和(40,300)，
∴15k+b=040k+b=300，
解得k=12b=−180，
∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=12x−180；
(2)设甲的函数解析式为：y=mx+n，
将(25,160)和(60,300)代入得：
160=25m+n300=60m+n，
解得m=4n=60，
∴y=4x+60；
∵乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度，
∴y=12x−180y=4x+60，
解得x=30y=180，
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米．
【解析】(1)设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=kx+b，再利用待定系数法来求解即可；
(2)求出甲的函数解析式和乙的解析式，甲的函数解析式和乙的解析式组成方程组解答即可．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法是解题关键．
19.【答案】解：(1)过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=EFAF，
∴EF=AF⋅tan15°≈130×0.27=35.1(cm)，
∵AF=AF，∠EAF=∠DAF，∠AFE=∠AFD=90°，
∴△ADF≌△AEF(SAS)，
∴EF=DE=35.1cm，
∴CE=160+35.1=195.1(cm)，
∴小杜最少需要下蹲208−195.1=12.9厘米才能被识别；
(2)如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M.N.交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP=MPAP，
∴MP=AP⋅tan20°≈150×0.36=54.0(cm)，
∵AP=AP，∠MAP=∠NAP，∠APM=∠APN=90°，
∴△AMP≌△ANP(ASA)，
∴PN=MP=54.0cm，
∴BN=160−54.0=106.0(cm)，
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3=123(cm)，
∴小若头顶超出点N的高度为：123−106.0=17.0(cm)>15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
【解析】(1)过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义得到EF=AF⋅tan15°≈130×0.27=35.1(cm)，根据全等三角形的性质得到结论；
(2)如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M.N.交水平线于P，根据三角函数的定义得到MP=AP⋅tan20°≈150×0.36=54.0(cm)，根据全等三角形的性质得到PN=MP=54.0cm，于是得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题关键．
20.【答案】(1)证明：方法一：连接OD，如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵点E为BC的中点，
∴DE=BE=12BC，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD．
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90°，
∴∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
方法二：连接OD，OE如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，∴∠BDC=90°，
∵点E为BC的中点，
∵点E为BC的中点，
∴DE=BE=12BC，
∴DE=BE=12BC，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，OE=OE
∴∠ODB=∠OBD，
∴△OBE≌△ODE(SSS)，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODE=∠OBC=90°，
∴∠EBD+∠OBD=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
∴DE与⊙O相切；
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
(2)解：由(1)知，∠BDC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=12BC=2，
∴BC=4，
∵tan∠BAC=BCAB=BDAD=12，
∴AB=8.AD=2BD，
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
即(2BD)2+BD2=82，
∴BD=85 5(负值已舍去)，
∴AD=16 55．
【解析】(1)连接OD，由圆周角定理得到∠ADB=∠BDC=90°，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得∠EDB=∠EBD，由等腰三角形的性质得到∠ODB=∠OBD，根据∠ABC=90°，得到∠ODB+∠EDB=90°，由切线的判定即可证得DE与OO相切；
(2)角三角形斜边中线的性质求出BC，根据三角函数的定义即可求出BD．
本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：(1)熟练掌握切线的判定方法；(2)通过解直角三角形斜边中线的性质证得DE=BC．
21.【答案】解：(1)作BE⊥y轴于点E，
∵OA=65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB=100m，
∴点A的坐标为(0,65)，AE=50m，BE=50 3m，
∴OE=OA−AE=65−50=15(m)，
∴点B的坐标为(50 3,15)，
∵点A(0,65)，点B(50 3,15)在二次函数y=−160x2+bx+c的图象上，
∴c=65−160×(50 3)2+50 3b+c=15，
解得b= 32c=65，
即b的值是 32，c的值是65；
(2)①设x关于t的函数解析式是x=kt+m，
因为点(0,0)，(5,50 3)在该函数图象上，
∴m=05k+m=50 3，
解得k=10 3m=0，
即x关于t的函数解析式是x=10 3t；
②设直线AB的解析式为y=px+q，
∵点A(0,65)，点B(50 3,15)在该直线上，
∴q=6550 3p+q=15，
解得p=− 33q=65，
即直线AB的解析式为y=− 33x+65，
则h=(−160x2+ 32x+65)−(− 33x+65)=−160x2+5 36x，
∴当x=−5 362×(−160)=25 3时，h取得最值，此时h=1254，
∵25 3<50 3，
∴x=25 3时，h取得最值，符合题意，
将x=25 3代入x=10 3t，得：25 3=10 3t，
解得t=2.5，
即当t为2.5s时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是1254m.
【解析】(1)根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；
(2)①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；
②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
22.【答案】解：(1)AC=23 3DE；
(2)在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°，AB=4，
∴AE=AB⋅sin∠EBA=12AB=2，∠BAE=60°，
延长DE交AB于点F，如图所示，
∴EF=AE×sin∠BAE= 32×2= 3，AF=12AE=1，
∴BF=AB−AF=4−1=3，
由(1)可得AC=23 3DE，
∴DE= 32AC= 3，
∴DF=DE+EF=2 3，
在Rt△BFD中，BD= BF2+DF2= 32+(2 3)2= 21，
∵△ABC∽△EBD，
∴BCBD=ACDE=2 33，
∴BC=2 33× 21=2 7，
即BC=2 7；
(3)如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90°，∠EBA=30°，连接BE，EA，ED，EC，
同(1)可得△BDE∽△BCA，
∴DEAC=BDBC=2 33，
∵AC=2，
∴DE=4 33，
在Rt△AEB中，AB=4，AE=AB×tan∠EBA=4× 33=4 33，
∴D在以E为圆心，4 33为半径的圆上运动，
∴当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时如图所示，则AD=AE+DE=8 33，
在Rt△ABD中，BD= AB2+AD2= 42+(8 33)2=4 213，
∴cs∠BDA=ADBD=83 34 213=2 77，sin∠BDA=ABBD=44 213= 217，
∵△ABC∽△EBD，
∴∠BDE=∠BCA，
过点A作AF⊥BC于点F，
∴CF=AC×cs∠ACB=2×2 77=4 77，AF=AC×sin∠ACB=2 217，
∵∠DBC=30°，
∴BC= 32BD= 32×4 213=2 7，
∴BF=BC−CF=2 7−4 77=10 77，
Rt△AFB中，tan∠CBA=AFBF=2 21710 77= 35．
【解析】解：(1)在Rt△BDC中，∠DBC=30°，在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°，
∴△ABE∽△CBD，∠DBE+∠EBC=∠ABC+∠EBC，BE=AB×cs∠ABE= 32AB，
∴ABBC=BEBD，∠DBE=∠CBA，
∴△ABC∽△EBD，
∴ACDE=ABBE=AB 32AB=2 33，
∴AC=23 3DE，
故答案为：AC=23 3DE；
(2)见答案;
(3)见答案．
(1)证明△ABE∽△CBD，根据相似三角形的性质得出ABBC=BEBD，∠DBE=∠CBA，进而证明△ABC∽△EBD，根据相似三角形的性质即可求解；
(2)求出AE=2，延长DE交AB于点F，在Rt△AEF中，由直角三角形的性质求得EF，AF，进而求得BF的长，根据(1的结论，得出DE= 3，在Rt△BFD中，勾股定理求得BD，进而根据△ABC∽△EBD，即可求出案．
(3)如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90°，∠EBA=30°，连接BE，EA，ED，EC，同(1)可得△BDE∽△BCA，求出AE的长，进而得出D在以E为圆心，4 33为半径的圆上运动，当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，进而求得cs∠BDA=2 77，sin∠BDA= 217，根据△ABC∽△EBD得出∠BDE=∠BCA，过点A作AF⊥BC于点F，由直角三角形的性质分别求得AF，CF，然后求出BF，最后根据正切的定义即可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
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