湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考（八）数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考（八）数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了向量的数量积可以表示为，中国古建筑闻名于世，源远流长，已知直线与圆等内容，欢迎下载使用。

命题人 李群丽 审题人 陈朝阳
注意事顶：
1．答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义差集，已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知一组数据的平均数为2，方差为，则另一组数据的平均数、标准差分别为（ ）
A．B．C．D．
3．设复数满足这在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
4．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式、已知在中，是中点，，则（ ）
A．B．16C．D．8
5．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlrenceNightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小，某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔攻瑰图（如图所示）、根据此图，以下说法错误的是（ ）
A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量在2018年最多
C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
6．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．直线是函数图象的对称轴
B．在区间上有两个极值点
C．在区间上单调递减
D．函数的图象可由向左平移个单位长度得到
7．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，与都是边长为2的等边三角形，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知直线与圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．对，直线恒过一定点
B．，使得直线与圆相切
C．对，直线与圆一定相交
D．直线与元相交且直线被圆所截得的最短弦长为
10．已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ）
A．的周长为
B．的三个内角满足关系
C．的外接圆半径为
D．的中线的长为
11．已知．若存在，使得成立，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在处的切线与函数在处的切线吻合
B．当时，
C．当时，
D．若恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中的系数为_________。
13．若，则_________。
14．已知数列的通项公式为是数列的前项和，则_________。
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程
（2）讨论在区间上的最小值．
16．（本小题满分15分）
汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）某新能源汽车品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为1，2，3的三个相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次中仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余情况均享受九折优惠，已知此款新能源汽车一台标价为100000元，设小李购买此款新能源汽车的价格为，求的分布列与均值．
附：为经验回归方程，．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面为梭的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为?若存在．求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点（作直线交双曲线于两点（不与点重合），求证：；
（3）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知数列为有穷正整数数列．若数列满足如下两个性质，则称数列为的减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有个．
（1）写出所有4的1减数列；
（2）若存在的6减数列，证明：；
（3）若存在2024的减数列，求的最大值．
炎德·英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（八）
数学参考答案
一、二、选择题
1．B【解析】因为，所以，所以．故选B．
2．C【解析】因为一组数据的平均数为2，方差为，所以另一组数据，
的平均数为，方差为．平均数、标准差分别为．故选C．
3．D
4．A【解析】由题设，．故选A．
5．C【解析】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A说法正确；
对于B和C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；
2017年，年，
2019年，年，；
2021年，年，；
则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B说法正确，C说法错误；
对于D，由，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D说法正确．综上，说法错误的选项为C．故选C．
6．C【解析】因为函数的图象关于点中心对称，所以，
可得，结合，得，所以．
对于A，，所以直线不是函数图象的对称轴，故A不正确；
对于B，当时，，所以函数在区间上只有一个极值点，故B不正确；
对于C当时，，所以函数在区间上单调递减，故C正确；
对于D，左移个单位长度后得到，故D错误．故选C．
7．A【解析】由题意可得．
如图，因为分别是和的中点，所以，根据椭圆定义，可得，又因为，
所以，
所以，
故的面积为．故选A．
另法：此题用等腰三角形求高或海伦公式更快捷．
8．A【解析】如图，根据球的性质可得平面，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当在线段上和在线段的延长线上时，由球的性质可得球半径的平方为，再用球的表面积公式计算即可．
如图，连接，
设，因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心．连接，则平面，分别取的中点，
根据几何体的对称性可知，直线交于点．
连接，则，且为的中点，
因为，所以，连接，
在与，易知，所以梯形为等腰梯形，所以，
且．
设，球的半径为，连接，
当在线段上时，由球的性质可知，易得，
则，此时无解．
当在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，
所以，所以球的表面积．故选A．
9．ACD【解析】由题设，令
所以直线恒过定点，A对；
又的标准方程为，显然，
所以点在圆内，故直线与圆必相交，B错，C对；要使直线与圆相交弦长最短，只需定点与圆心的连线与已知直线垂直，此时定点与直线距离为，又圆的半径为2，则最短相交弦长为，D对．故选ACD．
10．BC【解析】因为满足
所以，
设，
利用余弦定理，
由于，所以．
对于A，因为，
所以，解得．
所以，
所以的周长为，故A不正确；
对于B，因为，所以，故，故B正确；
对于C，由正弦定理得外接圆半径为，故C正确；
对于D，如图所示，
在中，利用正弦定理，解得，
又，所以，
在中，利用余弦定理，解得，故D不正确．故选BC．
11．ABC【解析】选项A，由，
得，又验证知，
切线方程都为，故A正确；
选项B，，
则，且，
由，得，
当时，，则在上递增，
所以当时，有唯一解，故，
，故B正确；
选项C，由B正确，得，
设，则，
令，解得，
易知在上单调递增，在上单调递减，
，故C正确；
选项D，由恒成立，即恒成立，
令，则，
由在上递增，又，
存在，使，
在上递减，在上递增（其中满足，即）．
，
要使恒成立，，存在满足题意，故D错误．
故选ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
13．【解析】依题意，，解得，
故
14．【解析】因为，
设
所以
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）当时，，
所以时，函数在处的切线方程为．
（2）．
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
当时，函数在上单调递减，故函数的最小值为：；
当时，函数在上单调递增，故函数的最小值为：；
当时，函数的最小值为：．
故
16．【解析】（1）由题意得，
．
所以．
所以关于的经验回归方程为，令，得，
所以最小的整数为，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．
（2）有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率为，
则三次摸到相同编号的概率为；
三次中仅有两次摸到相同编号的概率为；
故．
17．【解析】（1）取中点，连接分别为的中点，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，
故四边形是平行四边形，．
又平面平面，
平面．
（2）假设在梭上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
平面，则是四棱锥的高．
设，则，
∴，所以
以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故．
设，
．
设平面的一个法向量为，
则
取．
易知平面的一个法向量为，
故存在点满足题意．
18．【解析】（1）易知，
故双曲线的方程为．
（2）由已知可得，直线的方程为，
联立，其中，且时，
则，
，
．
（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，
故设直线方程为：，
设，
点在双曲线上，，
，
③
又
④
联立，
⑤，⑥，
分别在第一象限和第四象限，，
由④式得：，
⑦
将⑤⑥代入⑦得：，
令
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增
19．【解析】（1）由题意得，则或，
故所有4的1减数列有数列和数列3，1．
（2）因为对于，使得的正整数对有个，
且存在的6减数列，所以，得．
①当时，因为存在的6减数列，
所以数列中各项均不相同，所以．
②当时，因为存在的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以．
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以．
③当时，因为存在的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以．
综上所述，若存在的6减数列，则．
（3）若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列存在大于1的项，若末项，
将拆分成个1后变大，所以此时不是最大值，
所以．当时，若，交换的顺序后变为，
所以此时不是最大值，所以．若，所以，
所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大，
所以此时不是最大值，所以．
若数列中存在相邻的两项，设此时中有项为2，
将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为，
所以此时不是最大值，所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式．
设其中有项为2，有项为1，
因为存在2024的减数列，所以，
所以，
所以，当且仅当时，取最大值为512072．年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
1
5
销量/万辆
10
12
17
20
26
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
A
C
C
A
A
ACD
BC
ABC
70000
80000
90000