湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考（一）数学（Word版附解析）

雅礼中学2023届高三月考试卷（一）

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则以下结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题得, 再判断得解.

【详解】由题得, 所以，，，不是的子集，

故选：B

2. 已知等比数列满足，则的值为

A. 2 B. 4 C.  D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意和等比数列的性质求出，结合计算即可.

【详解】根据等比数列的性质可得，∴，

即，解得，

又∵，，故可得，

故选：B

3. 已知复数，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由求出即可得出.

【详解】由，可得，解得或0，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

4. 已知向量，，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由得出，再按照齐次分式化简求值即可.

【详解】由得，∴.

故选：B.

5. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先取的中点，连接，，，易证平面，从而得到平面为所求截面，再计算其面积即可.

【详解】取的中点，连接，，，如图所示：

因为，所以四边形为平行四边形，所以.

又平面，平面，

所以平面，即平面为所求截面.

所以，.

故选：B

【点睛】本题主要考查线面平行的判定，同时考查了正方体的截面，属于简单题.

6. 某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据贝叶斯公式计算可得.

【详解】设B1，B2，分别表示事件：任取的产品为甲、乙车间生产，

A=“抽取的产品是不合格品”，由条件知

则该产品是由A车间生产的概率为P(B1|A)，

所以

.

故选：D.

7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设关于平分线的对称点为，根据题意可得三点共线，设，则，在中，分别求得，再利用余弦定理可得的齐次式，即可得出答案.

【详解】解：设关于平分线的对称点为，

则三点共线，

设，则，

又，所以为等边三角形，所以，

又，所以，

在中，由余弦定理可得：

，

即，所以，

所以.

故选：B.

8. 中，角所对三边分别为，若的面积为1，则的最小值是（    ）

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由三角形面积公式得到，利用角A的三角函数表达出，利用数形结合及的几何意义求出最值.

【详解】因为△ABC的面积为1，所，可得，

由，可得

，

设，其中，

因为表示点与点（cosA，sinA）连线的斜率，

如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，

在直角△OAP中，，可得，

所以斜率的最小值为，

所以m的最大值为，所以，所以，即BC的最小值为，

故选：C．

【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：

已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 变量y与x之间的线性相关系数

C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元

D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2

【答案】AC

【解析】

【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，再令求出，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D；

【详解】解：依题意，，

因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得，

故A正确；则回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误，

当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确，

该人工智能公司这5年的利润的方差为，故D错误；

故选：AC

10. 已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（    ）

A. 若为线段中点，则 B. 若，则

C. 存在直线，使得 D. 面积的最小值为2

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A，求出点的横坐标，再根据抛物线的定义求出，即可判断；

对于B，根据抛物线的定义求出点的横坐标，再求出，即可判断，

对于C，，则，判断是否有解，即可判断；

对于D，根据，结合基本不等式即可判断.

【详解】解：抛物线的准线为，焦点，

若为中点，所以，所以，故A正确；

若，则，所以，故B错误；

设，则，所以，，

所以，所以与不垂直，故C错误；

，

当且仅当，即时，取等号，

所以面积的最小值为2，故D正确.

故选：AD

11. 对于函数，下列结论正确得是（    ）

A. 的值域为 B. 在单调递增

C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为

【答案】AD

【解析】

【分析】先分析函数的奇偶性与周期性，再利用周期性，选取一个周期来研究即可对每一个选项作出判断.

【详解】，，

所以，

所以是偶函数，

又，

所以是函数的周期，

又，

故的最小正周期为.

对于A，因为的最小正周期为，令，此时，

所以，

令，所以有，可知其值域为，故A正确；

对于B，由A可知，在上单调递增，在上单调递减，

因为，

所以在上不是单调递增，故B不正确；

对于C，因为，，

所以，

所以的图象不关于直线对称，故C不正确；

对于D，前面已证明正确.

故选：AD

12. 已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则（    ）

A. 它的表面积为

B. 它的外接球的表面积为

C. 侧棱与下底面所成的角为60°

D. 它的体积比棱长为的正方体的体积大

【答案】ACD

【解析】

【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形的面积，即可判断A的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C的正误；求得的长，分析可得即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，代入表面积公式，可判断B的正误；分别求得正四棱台的体积和正方体的体积，利用作商法比大小，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】由题意得：上底面的面积，下底面的面积，

侧面为等腰梯形，过分别做AB的垂线，垂足为E、F，如图所示

所以，则，

所以，

所以梯形的面积为，

所以正四棱台的表面积，故A正确；

连接，且交于点，连接AC、BD交于点，连接，

则垂直底面ABCD，

过作于G，则底面ABCD，则四边形为矩形，

由题意得，所以，

同理，

又，所以，

在中，，

所以，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C正确

所以.

连接，在中，，

所以点到的距离相等，均为，

所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，

所以外接球的表面积，故B错误；

正四棱台的体积，

棱长为的正方体的体积，

所以，所以，

所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确；

故选：ACD

【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及确定为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设随机变量服从正态分布.若，则______.

【答案】0.4##

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性可求.

【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为，

所以，

所以，所以.

故答案为：0.4.

14. 若 ，则的值 ___________________.

【答案】

【解析】

【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.

详解】令，得，令，得，所以

故答案为：

15. 对圆上任意一点，若点P到直线和的距离和都与x，y无关，则a的取值区间为____________．

【答案】

【解析】

【分析】画出图形，由图可知当在圆左上方时，点与直线的距离之和均为的距离，即此时与 x，y的值无关，然后计算出直线与圆相切时的值，从而可得a的取值范围

【详解】解：点到直线和的距离和为

，

因为与x，y无关，所以距离之和与点无关，

如图所示，当在圆左上方时，点与直线的距离之和均为的距离，即此时与 x，y的值无关，

当直线与圆相切时，，化简得，

解得或（舍去）

所以

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想，解题的关键是画出图形，由图可知当在圆左上方时，点与直线的距离之和均为的距离，即此时与 x，y的值无关，然后计算出直线与圆相切时的值，从而可得答案，属于中档题

16. 若，则的最小值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】把表示成的函数，再借助均值不等式求解作答.

【详解】依题意，，，则，

当且仅当，即时取“=”，此时，，

所以，当时，取最小值.

故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.

（1）求的值；

（2）若角满足，求的值.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】（1）由角的终边经过点，结合三角函数的定义可求，，然后结合两角和的正弦公式可求；

（2）由，结合同角平方关系可求，然后根据，及两角差的余弦公式可求.

【详解】（1）∵角的终边经过点，∴.由三角函数的定义得，.

∴.

（2）∵，∴，

∴，

∴当时，；

当时，.

综上所述：或.

【点睛】思路点睛：先利用三角函数的定义求出，，再利用两角和与差的正余弦公式计算及凑角思想的应用.

18. 设正项数列的前项和为，已知.

（1）求的通项公式；

（2）记，是数列的前项和，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式；

（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.

【小问1详解】

解：当时，，所以，又，故；

当时，，而，两式相减得，

整理得，因为，所以，

故是以为公差的等差数列，从而.

【小问2详解】

解：，

设

，其中，

所以.

19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．

（1）证明：平面平面

（2）当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）点N在线段BC的中点

【解析】

【分析】（1）由底面ABCD，可得，而，可证得平面，从而得，而，所以平面，再由面面垂直的判定定理可得结论，

（2）设，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可

【小问1详解】

证明：因为底面ABCD，底面ABCD，

所以，

因为，，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为四边形为正方形，，

所以，

因为在中，，M为线段PC的中点，

所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，

【小问2详解】

当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：

因为底面，平面，

所以，

因为，

所以两两垂直，

所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，

设，则，

设为平面的法向量，则

，令，则，

设为平面的法向量，则

，令，则，

因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，

所以，

化简得，得，

所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°

20. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.

（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；

（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；

（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）比赛不公平，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率；

（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望.

（3）以第一次摸出的球的颜色分类，分别计算获胜的概率，再计算概率的期望，与比较大小即可.

【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件

则

（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分

所以的分布列为：

所以的数学期望.

（3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为

由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为

若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜概率为

若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为

则摸球人获胜的概率为

所以比赛不公平

【点睛】关键点点睛：本题第三问，判断是否公平，即判断任何一方获胜的概率是不是，但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响，所以需要对第一摸球进行分类.

21. 设.

（1）证明：；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）设，，根据函数的单调性证明结论成立；

（2）通过讨论的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定的取值范围即可．

【详解】（1）由题意可设，有，所以在（0，1）单减，

所以，即，

设，，

，则有，单调递增，得，所以得证；

（2）由（1）可知时，成立，

则当时，设，则，，单调递增，

则，

①若，，单调递减，则有，此时不符合题意；

②若，，，所以有唯一零点，可记为，

则，，此时单调递减，有，则不符合题意；

综上可知，即的取值范围为.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22. 已知双曲线和点.

（1）斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点，求最小时的值.

（2）过点的动直线与双曲线交于两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值.

【答案】（1）   

（2）或者

【解析】

【分析】（1）由对称性可设，，由数量积得，再由点在双曲线上，进而可得，进而可得最小时的值．

②设，过点的动直线为，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理可得，，△，用坐标表示，化简得，由于上式对无穷多个不同的实数都成立，从而列，解得，，进而可得答案．

【小问1详解】

由对称性可设，

则，

因为点在双曲线上，所以，即，且

所以，

当时，为直角，

当时，为钝角，

所以最小时，.

【小问2详解】

设，由题意知动直线一定有斜率，设点的动直线为，

设

联立得，

所以，解得且，

，即，

即，

化简得，

，

化简得，

由于上式对无穷多个不同的实数都成立，

所以

将①代入②得，从而

如果时，那么，此时不在双曲线上，舍去，

因此，从而，代入，解得，

此时在双曲线上，

综上，，或者.

【点睛】圆锥曲线中的范围或最值或者定值问题，联立直线与曲线的方程是必要手段，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围，利用点的坐标运算得直线的斜率，对计算能力要求较高.