湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考（七）数学试卷

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考（七）数学试卷，共11页。试卷主要包含了求值等内容，欢迎下载使用。
数 学
命题人：匡铀龄 审题人：卿 科 陈朝阳
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={2,4,6,8,10,12},M={4,6,8},N={8,10},则集合{2,12}=
A. MUN B. M∩N C. Cu(MUN) D. Cu(M∩N)
2.下列命题正确的是
A.“ln m0,lnx₀≥x₀-1
C.sinx+5π2=-csx
D. 函数 y=x+2x+1在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数
3.若复数z满足|z+2i|+|z-2i|=8，则复数z在复平面内所对应点的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.线段
4.已知D是△ABC所在平面内一点， AD=35AB+25AC,则
A.BD=32BC B.BD=23BC
C.BD=35BC D.BD=25BC
5.我们把由0和1组成的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列 FₙF₁=F₂=1Fₙ₊₂=Fₙ+Fₙ₊₁中的奇数换成0.，偶数换成1 可得到0-1数列{an},记数列{an}的前n项和为Sn,则 S₁₀₀的值为
A.32 B.33 C.34 D.35
数学试题(雅礼版) 第1页(6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密，碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4 厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为(单位：平方厘米)
A.34π B.27π C.20π D.18π
7.已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab>0)与双曲线 x2m2-y2n2=1m0,n>0)有共同的焦点. F₁,F₂,且在第一象限内相交于点 P，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂.若 e₁,e₂, ∠F1PF2=π3,则 e₁⋅e₂的最小值是
A. 12 B.22 C.32 D.32
8.求值: 2cs40∘+cs80∘sin80∘=
A. 3 B.33 C.-3 D.-33
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量(单位：套)与日成交量(单位：套)的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是
A.日认购量与日期正相关
B.日成交量的中位数是26
C.日成交量超过日平均成交量的有2天
D.10月7 日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量
10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设 A，B 是抛物线C x²=4y上两个不同的点，以 Ax₁y₁,Bx₂y₂为切点的切线交于 P 点.若弦AB过点 F(0，1)，则下列说法正确的有
A.x₁x₂=-4
B.若 x₁=2,则A 点处的切线方程为 x-y-1=0
C.存在点 P,使得 PA⋅PB>0
D.△PAB 面积的最小值为4
数学试题(雅礼版) 第 2页(共5页)11.已知函数. fx=x+1eᵗ-x-1,，则下列说法正确的有
A. f(x)有唯一零点 B. f(x)无最大值
C. f(x)在区间(1,+∞)上单调递增 D. x=0为f(x)的一个极小值点
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共 15 分.
12.雅礼中学将5 名学生志愿者分配到街舞社、戏剧社、魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团，每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种.
13.已知圆 C₁:x²+y-2²=1与圆( C₂:x-2²+y-1²=4相交于A，B两点，则 C1C2⋅(C1A +C1B)=¯.
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为 2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.
(1)若AB=3,则sin∠PAC= ;
(2)若AC:AB:BC=6:5:4,则 PA+PB+PC的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代的标志 ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对 130人的样本人群就“广泛使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响”进行调查，其数据的统计结果如下表所示：
(1)根据小概率值α=0.01 的独立性检验，是否有99%的把握认为 ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关?
(2)现从“服务业就业人数会减少”的 100人中按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中随机抽取3 人，记抽取的 3 人中有 X 人认为ChatGPT会在服务业中广泛应用，求 X 的分布列和均值.
数学试题(雅礼版) 第3页(共5页)ChatGPT应用的广泛性
服务业就业人数
合计
减少
增加
广泛应用
60
10
70
没广泛应用
40
20
60
合计
100
30
130
附: χ=nad-bc2a+bc+da+cb+d,其中 n=a+b+c+d.
16.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,∠ABC =120°.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBD;
(2)若点 M为PB 的中点，线段 PC上是否存在点N，使得直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值为 22..若存在，求 PNPC的值；若不存在，请说明理由.
17.(本小题满分 15 分)
如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点 M在点 N 的下方)，且|MN|=3.
(1)求圆C的方程;
(2)过点 M任作一条直线与椭圆 x28+y24=1相交于 A,B两点,连接 AN,BN,求证: ∠ANM=∠BNM.
数学试题(雅礼版) 第4页(共5页α
0.1
0.05
0.01
x。
2.706
3.841
6.635
18.(本小题满分 17 分)
已知函数 fx=xlnx-ax²-3xa∈R.
(1)若 x=1是函数f(x)的一个极值点，求实数a 的值；
(2)若函数 f(x)有两个极值点. x₁,x₂,其中 x₁3k+1恒成立，求实数 k 的取值范围.
19.(本小题满分 17分)
对于无穷数列 cₙ,，若对任意m， n∈N*,且 m≠n,存在 k∈N*,使得 cₘ+cₙ=cₖ成立，则称 cₙ为“G数列”.
(1)若数列 bₙ的通项公式为 bₙ=2n,试判断数列 bₙ}是否为“G数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若 aₙ是 “G数列”,( a1=8,a2∈N*,且 a₂>a₁,求a₂所有可能的取值；
②若对任意 n∈N*,存在 k∈N*,使得 aₖ=Sₙ成立，求证：数列 aₙ为“G数列”.，雅礼中学2024届高三月考试卷(七)
数学参考答案
一、二、选择题
1. C【解析】M∪N={4,6,8,10},M∩N={8}, Cv(M∪N)={2,12}, Cv(M∩N)={2,4,6,10,12},故选 C.
2. A 【解析】对于 A 中,由函数y=ln x为单调递增函数,因为 ln m0,,函数u(x)在(0,+∞)上递增,当x≥2时, ux≥ e²-3>1,
而y=x+1在(0,+∞)上递增,值域为(1,+∞),因此当x≥2时,f(x)>x+1,所以f(x)无最大值,B正确; f'x=x+2eʳ-2x-2,令 gx=x+2eˣ-2x-2,，求导得 g'x=x+3eˣ-2,
当x>0时,令 hx=x+3eˣ-2,则 h'x=x+4eˣ>0,
即 g'x=hx在(0,+∞)上递增, g'x>g'0=1>0,则 f'x=gx在(0,+∞)上递增, f'x>f'0=0,因此f(x)在(0,+∞)上递增,即f(x)在(1,+∞)上单调递增,C正确;
当-10,函数φ(x)在(x₀,0)上单调递增,当x∈(x₀,0)时, φx0,mt=F't单调递增，故 F't