2020-2021学年北京市海淀区七年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区七年级（下）期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）9的算术平方根为（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．81
2．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2分）下列实数，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2分）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
5．（2分）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．m2﹣1B．﹣mC．m+1D．m2+1
6．（2分）一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠CED＝50°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
7．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）
A．∠AOD的度数B．∠AOC的度数
C．∠EOF的度数D．∠DOF的度数
8．（2分）如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不正确的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 ．
10．（2分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．
11．（2分）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，连接BD，如果添加一个条件，使AD∥BC，那么可添加的条件为 （写出一个即可）．
12．（2分）平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1），线段AB∥x轴，且AB＝3，则点B的坐标为 ．
13．（2分）用一个实数a的值说明命题“＝a”是假命题，这个a的值可以是 ．
14．（2分）为纪念戍边英雄，某班设计了《致敬英雄》主题宣传板报，黑板是一块长为2a米，宽为a米的长方形ABCD，版面设计如图所示，将它分割成两块边长均为a米的正方形ABFE和正方形EFCD，分别以点F，B为圆心，正方形边长为半径画弧．阴影部分用图画展示英雄形象，空白部分用文字宣传英雄事迹．阴影部分的面积为 平方米（用含a的代数式表示）．
15．（2分）为迎接校庆，某学校在东西走向的勤学路上修建了一排边长为1m的小正方形花坛，如图1所示．小欢和小乐来到花坛边欣赏风景，小欢以自己所在的A点为原点，以向东的方向为正方向，以花坛对角线的长度m为单位长度建立数轴，如图2所示．若小乐在小欢的东15m处，那么在图2的数轴上，小乐所在的点位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是 ．
16．（2分）在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”．如图所示，点A的坐标为（2，3），则A，O两点之间的“横纵距离”为5．
（1）若点B的坐标为（﹣3，﹣1），则A，B两点之间的“横纵距离”为 ；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3．请写出两个满足条件的点D的坐标： ， ．
三、解答题（本题共68分，第17，18，20，21，22，25题，每小题5分，第19，23，24，26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）计算：﹣+（）2+．
18．（5分）计算：（﹣1）+|﹣|．
19．（6分）求出下列等式中x的值：
（1）7x2＝63；
（2）+5＝1．
20．（5分）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
21．（5分）完成下面的证明：
已知：如图，∠AEC＝∠A+∠C．
求证：AB∥CD．
证明：过点E作EF∥AB．
∴∠A＝ （ ）．
∵∠AEC＝∠1+∠2，∠AEC＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠2．
∴ ∥ （ ）．
∴AB∥CD （ ）．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点分别是A（﹣1，6），B（﹣4，3），C（1，4）．将三角形ABC先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形A'B'C'．
（1）请在图中画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）三角形A'B'C'的面积是 ．
23．（6分）已知：实数a，b满足+（b﹣4）2＝0．
（1）可得a＝ ，b＝ ；
（2）当一个正实数x的两个平方根分别为m+a和b﹣2m时，求x的值．
24．（6分）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
25．（5分）2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常态化、系统化轨道．条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4类．为了帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为3cm的正方形．
为了让大家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了A，B，C三个关键点，请你通过测量告诉大家A，B，C三点在纸张中的位置．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A0（0，a0），A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），B（n，0），其中a0，a1，a2，…，an，n为正整数．顺次连接A0，A1，A2，…，An，B的折线与x轴、y轴围成的封闭图形记为图形M．小明在求图形M的面积时，过点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An﹣1（n﹣1，an﹣1）作x轴的垂线，将图形M分成n个四边形，计算这些四边形面积的和，可以求出图形M的面积．
请你参考小明的思路，解决下面的问题．
（1）当n＝2时，
①若a0＝1，a1＝3，a2＝2，如图1，则图形M的面积为 ；
②用含有a0，a1，a2的式子表示图形M的面积为 ．
（2）当n＝4时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同的数作为a0，a1，a2，a3，a4．
①小明选择了a0＝4，a1＝5，a2＝7，a3＝6，a4＝3，请在图2中画出此时的图形M；
②在①的条件下，若小聪用剩下的5个数1，2，8，9，10作为a0，a1，a2，a3，a4的取值，使新得到的图形M的面积与小明的图形M的面积相等，请直接写出这五个数的排序 （写出一组即可）．
27．（7分）已知：直线l1∥l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在l2上，且在点B的左侧，点N在直线l1上．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数 ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．
28．（7分）在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数k≠0，我们称P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，﹣2），点M和点N的2系和点为K（6，2）．
横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．
（1）点A和点B的系和点的坐标为 （直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；
②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的值 ；
（3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF上的动点．点P为点A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，则k的取值范围为 ．
2020-2021学年北京市海淀区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个.
1．（2分）9的算术平方根为（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．81
【分析】首先根据算术平方根的定义求出，然后再求出它的算术平方根即可解决问题．
【解答】解：∵＝3，
∴9的算术平方根是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，特别注意：应首先计算的值，然后再求算术平方根．
2．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】点P（2，3）的横、纵坐标均为正，可确定在第一象限．
【解答】解：点P（2，3）的横、纵坐标均为正，所以点P在第一象限，故选：A．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（2分）下列实数，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），，，共4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．（2分）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答．
【解答】解：如图所示，两条直线a、b被直线c所截形成的角中，∠1与∠2都在直线a、b之间，并且在直线c的两旁，所以∠1与∠2是内错角．
故选：B．
【点评】本题考查了同位角，内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
5．（2分）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．m2﹣1B．﹣mC．m+1D．m2+1
【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数．
【解答】解：A．当m＝0时，m2﹣1＝﹣1＜0，不符合题意；
B．当m＝1时，﹣m＝﹣1＜0，不符合题意；
C．当m＝﹣5时，m+1＝﹣4＜0，不符合题意；
D．不论m取何值，m2≥0，m2+1＞0，符合题意．
故选：D．
【点评】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．
6．（2分）一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠CED＝50°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】先根据∠CED＝50°，DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【解答】解：∵DE∥AF，∠CED＝50°，
∴∠CAF＝∠CED＝50°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
7．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）
A．∠AOD的度数B．∠AOC的度数
C．∠EOF的度数D．∠DOF的度数
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，即可平角的定义可求解∠FOE＝90°，进而可判断求解．
【解答】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，
即∠EOF＝90°，
∴将直线CD绕点O旋转，与∠BOD大小变化无关的是∠EOF，
故选：C．
【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，根据角平分线的定义求解∠E0F的度数是解题的关键．
8．（2分）如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不正确的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除．
【解答】解：A.2×22＝8，（）2＝8，不符合题意；
B.4×（3×3÷2）＝18，（）2＝18，不符合题意；
C．（）2+2×2÷2＝4，（）2＝6，符合题意；
D.4×（1×3÷2）+22＝10，（）2＝10，不符合题意．
故选：C．
【点评】这道题主要考查利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．
10．（2分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 38 度．
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【解答】解：∵两直线交于点O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝76°，
∴∠1＝38°．
故答案为：38．
【点评】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
11．（2分）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，连接BD，如果添加一个条件，使AD∥BC，那么可添加的条件为 ∠ADB＝∠CBD（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】内错角相等，两直线平行；据此即可求解．
【解答】解：∵∠CBD＝∠ADB，
∴AD∥BC．
故答案为：∠CBD＝∠ADB（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
12．（2分）平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1），线段AB∥x轴，且AB＝3，则点B的坐标为 （5，﹣1）或（﹣1，﹣1） ．
【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为﹣1，
又∵AB＝3，可能右移，横坐标为2+3＝5；可能左移横坐标为2﹣3＝﹣1，
∴B点坐标为（5，﹣1）或（﹣1，﹣1），
故答案为：（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）．
【点评】此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想．
13．（2分）用一个实数a的值说明命题“＝a”是假命题，这个a的值可以是 ﹣1（答案不唯一，a＜0即可） ．
【分析】选取的a的值不满足＝a即可．
【解答】解：a＝﹣1时，满足a是实数，但不满足＝a，
所以a＝﹣1可作为说明命题“如果a是任意实数，那么“＝a”是假命题的一个反例．
故答案为：﹣1（答案不唯一，a＜0即可）．
【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14．（2分）为纪念戍边英雄，某班设计了《致敬英雄》主题宣传板报，黑板是一块长为2a米，宽为a米的长方形ABCD，版面设计如图所示，将它分割成两块边长均为a米的正方形ABFE和正方形EFCD，分别以点F，B为圆心，正方形边长为半径画弧．阴影部分用图画展示英雄形象，空白部分用文字宣传英雄事迹．阴影部分的面积为 a2 平方米（用含a的代数式表示）．
【分析】直接正方形的性质可得扇形FBA与扇形ECF的面积，即可得出阴影部分的面积正方形DCFE的面积．
【解答】解：阴影部分的面积为：a2平方米．
故答案为：a2．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确利用割补法分析是解题关键．
15．（2分）为迎接校庆，某学校在东西走向的勤学路上修建了一排边长为1m的小正方形花坛，如图1所示．小欢和小乐来到花坛边欣赏风景，小欢以自己所在的A点为原点，以向东的方向为正方向，以花坛对角线的长度m为单位长度建立数轴，如图2所示．若小乐在小欢的东15m处，那么在图2的数轴上，小乐所在的点位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是 10和11 ．
【分析】先计算15里面有几个，再估算出的大小即可求解．
【解答】解：15＝＝，
∵＜＜，
即10＜＜11，
∴这两个相邻整数是10和11．
故答案为：10和11．
【点评】此题考查了无理数的估算，正确估算出的大小是解题的关键．
16．（2分）在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”．如图所示，点A的坐标为（2，3），则A，O两点之间的“横纵距离”为5．
（1）若点B的坐标为（﹣3，﹣1），则A，B两点之间的“横纵距离”为 9 ；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3．请写出两个满足条件的点D的坐标： （0，5） ， （2，3） ．
【分析】（1）根据定义，2﹣（﹣3）+3﹣（﹣1）＝9；
（2）若设D（x，y），构建方程组，然后对x，进行取值．
【解答】解：（1）2﹣（﹣3）+3﹣（﹣1）＝9，
故答案为：9．
（2）设D（x，y），
∵D，O两点之间的“横纵距离”为5，
∴|x|+|y|＝5，
∵D，C两点之间的“横纵距离”为3，
∴|x|+|y﹣2|＝3，
∴当x＝0时，y＝5，
当x＝2时，y＝3．
故答案为：（0，5），（2，3）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，正确理解横纵距离是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17，18，20，21，22，25题，每小题5分，第19，23，24，26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）计算：﹣+（）2+．
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）计算：（﹣1）+|﹣|．
【分析】先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝3﹣+﹣
＝3﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．（6分）求出下列等式中x的值：
（1）7x2＝63；
（2）+5＝1．
【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）7x2＝63．
x2＝9，
x＝±3；
（2），
，
，
x3＝﹣8，
x＝﹣2．
【点评】本题考查了平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
20．（5分）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
【分析】根据邻补角的性质得到∠BOC＝180°，由角平分线的性质得到∠COE＝70°，根据邻补角的性质可求出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝110°．
【点评】本题考查的是邻补角和角平分线的定义，掌握邻补角的和等于180°和角平分线的定义是解题的关键．
21．（5分）完成下面的证明：
已知：如图，∠AEC＝∠A+∠C．
求证：AB∥CD．
证明：过点E作EF∥AB．
∴∠A＝ ∠1 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠AEC＝∠1+∠2，∠AEC＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠2．
∴ EF ∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴AB∥CD （ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）．
【分析】过点E作EF∥AB，然后利用平行线的性质和等量代换等证明AB∥CD．
【解答】证明：过点E作EF∥AB．
∵EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，∠AEC＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠2．
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥CD （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；EF；CD；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点分别是A（﹣1，6），B（﹣4，3），C（1，4）．将三角形ABC先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形A'B'C'．
（1）请在图中画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）三角形A'B'C'的面积是 6 ．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用三角形A'B'C'所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图，
三角形A′B′C′为所求．
（2）三角形A'B'C'的面积是：3×5﹣×3×3﹣×2×2﹣×1×5＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
23．（6分）已知：实数a，b满足+（b﹣4）2＝0．
（1）可得a＝ ﹣3 ，b＝ 4 ；
（2）当一个正实数x的两个平方根分别为m+a和b﹣2m时，求x的值．
【分析】（1）根据题中的等式，利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数，求出m的值，即可确定出x的值．
【解答】解：（1）∵+（b﹣4）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝﹣3，b＝4；
故答案为：﹣3，4；
（2）依题意，得m+a+b﹣2m＝0，即m﹣3+4﹣2m＝0，
解得：m＝1，
则x＝（m+a）2＝（1﹣3）2＝4．
【点评】此题考查了非负数的性质，平方根，以及解二元一次方程组，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
24．（6分）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
【分析】由AB∥DC可得到∠A与∠D的关系，再由∠CEF+∠BOD＝180°可得到∠CEF＝∠COD，根据平行线的判定定理可得EF∥AD，可得∠D与∠EFC的关系，等量代换可得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，
∴∠CEF＝∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠EFC＝∠A．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定方法是解决本题的关键．
25．（5分）2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常态化、系统化轨道．条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4类．为了帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为3cm的正方形．
为了让大家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了A，B，C三个关键点，请你通过测量告诉大家A，B，C三点在纸张中的位置．
【分析】建立平面直角坐标系，根据边长为3cm的正方形．通过测量得出A，B，C三点的坐标即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
通过测量得：A（1.5，2.2），B（0.8，1），C（2.2，1）（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，建立平面直角坐标系是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A0（0，a0），A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），B（n，0），其中a0，a1，a2，…，an，n为正整数．顺次连接A0，A1，A2，…，An，B的折线与x轴、y轴围成的封闭图形记为图形M．小明在求图形M的面积时，过点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An﹣1（n﹣1，an﹣1）作x轴的垂线，将图形M分成n个四边形，计算这些四边形面积的和，可以求出图形M的面积．
请你参考小明的思路，解决下面的问题．
（1）当n＝2时，
①若a0＝1，a1＝3，a2＝2，如图1，则图形M的面积为 ；
②用含有a0，a1，a2的式子表示图形M的面积为 ．
（2）当n＝4时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同的数作为a0，a1，a2，a3，a4．
①小明选择了a0＝4，a1＝5，a2＝7，a3＝6，a4＝3，请在图2中画出此时的图形M；
②在①的条件下，若小聪用剩下的5个数1，2，8，9，10作为a0，a1，a2，a3，a4的取值，使新得到的图形M的面积与小明的图形M的面积相等，请直接写出这五个数的排序 8，1，2，10，9 （写出一组即可）．
【分析】（1）①利用分割法求出面积即可．
②利用分割法求解即可．
（2）①根据题意，利用描点法画出图形即可．
②根据面积相等取点即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）①如图1中，过点A1作A1E⊥OB于E．
图形M的面积＝四边形OA0A1E的面积+四边形EBA2A1的面积＝×（1+3）×1+×（3+2）×1＝．
故答案为：．
②同法可得图形M的面积＝．
故答案为：．
（2）①如图2所示：
②如图3中，a0，a1，a2，a3，a4的值分别为：8，1，2，10，9（答案不唯一），
理由：小明的图形M的面积＝×（4+5+5+7+7+6+6+3）×1＝21.5，
新图形M的面积＝×（8+1+1+2+2+10+10+9）＝21.5，
∴新得到的图形M的面积与小明的图形M的面积相等．
故答案为：8，1，2，10，9．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了坐标与图形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（7分）已知：直线l1∥l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在l2上，且在点B的左侧，点N在直线l1上．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数 125° ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 30°或110° ．
【分析】（1）根据平行线的性质以及题干中∠AED＝∠DAE即可推出∠ABM的度数．
（2）①结合平行线性质和题干条件进行推理即可找到∠EAF与∠ABD的等量关系．
②根据D、E在点B不同位置分类讨论即可找出∠EAF的度数．
【解答】解：（1）如图所示：
∵l1∥l2，
∴∠ABM＝∠BAN，∠NAE＝∠AED＝50°，
∵∠BAD＝25°，∠DAE＝∠AED＝50°，
∴∠ABM＝∠BAN＝∠BAD+∠DAE+∠NAE＝25°+50°+50°＝125°，
故答案为：125°；
（2）①∠ABD＝2∠EAF，
证明：∵l1∥l2，
∴∠CAN＝∠ABD，∠NAE＝∠AED，
又∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAF＝∠CAD，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝∠NAE＝（∠DAE+∠NAE）＝∠DAN，
∴∠EAF＝∠DAF﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAN＝∠CAN＝∠ABD．
即∠ABD＝2∠EAF；
②Ⅰ、如图所示：
点D在点B右侧，此时有∠EAF＝∠ABD，
∵∠ABM+∠EAF＝150°，
∴∠ABM+∠ABD＝150°，
又∵∠ABM+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠EAF＝30°；
Ⅱ如图所示，点D在点B左侧，点E在点B右侧，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∵l1∥l2，
∴∠AED＝∠NAE，∠CAN＝∠ABE，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝（∠DAE+∠NAE）＝∠DAN，
∴∠EAF＝∠DAF+∠DAE＝（∠CAD+∠DAN）＝×（360°﹣∠CAN）＝180°﹣∠ABE，
∵∠ABE+∠ABM＝180°，
∴∠EAF＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+∠ABM，
又∵∠EAF+∠ABM＝150°，
∴∠EAF＝90°+（150°﹣∠EAF）＝165°﹣∠EAF，
∴∠EAF＝110°；
Ⅲ如图，D、E均在B点左侧，
此时，∠DAE＝∠DAN，∠DAF＝∠CAD，
∠EAF＝∠DAE+∠DAF＝（360°﹣∠CAN）＝180°﹣∠ABG＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+∠ABM，
∴∠EAF＝110°．
综上所述：∠EAF＝30°或∠EAF＝110°．
故答案为：∠EAF＝30°或∠EAF＝110°．
【点评】本题考查平行线的性质，通过观察已知条件，结合性质特点学会适当推理以及分情况讨论是解题关键．
28．（7分）在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数k≠0，我们称P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，﹣2），点M和点N的2系和点为K（6，2）．
横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．
（1）点A和点B的系和点的坐标为 （，1） （直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；
②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的值 或﹣ ；
（3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF上的动点．点P为点A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，则k的取值范围为 1＜k≤ ．
【分析】（1）点M和点N的k系和点的定义求解即可．
（2）①由题意D（2k+mk，2k），根据点D在第一、三象限角平分线上，构建方程求解即可．
②判断出D的坐标，可得结论．
（3）利用图象法以及不等式组解决问题即可．
【解答】解：（1）由题意：（1+2）＝，（2+0）＝1，
∴点A和点B的系和点的坐标为（，1）．
故答案为：（，1）．
（2）①∵点D（x，y）为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，
∴x＝2k+mk，y＝2k．
即D（2k+mk，2k），
∵点D在第一、三象限角平分线上，
∴2k+mk＝2k．
∴mk＝0．
∵k≠0，
∴m＝0．
②如图1中，由题意，当D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）时，满足条件．
∵C（0，2），B（2，0），
∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，
∴k＝或﹣．
故答案为：或﹣．
（3）如图2中，由题意A（1，2），E（1，﹣2）．
2≤m≤3，
∴P（k+km，2k），Q（k+km，﹣2k）．
∵k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，
观察图象可知：，
解得1＜k≤．
故答案为：1＜k≤．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了坐标与图形的性质，P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
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