2024年四川省内江市威远县严陵中学中考数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A B. C. 2023D.
【答案】C
【解析】
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【详解】解：，
则的倒数是．
故选：C．
【点睛】本题考查倒数和绝对值，关键是掌握倒数的定义．
2. 2023年3月5日，工信部宣布，目前，我国已经建成了规模最大、技术最先进的5G网络，现在我国5G发展已经走在世界前列．以5G基站为例，我国已经建成了超过2340000个5G基站．2340000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
【详解】∵，
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方计算即可．
【详解】A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法、积的乘方运算法则．
4. 如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是( )

A. 文B. 明C. 城D. 市
【答案】D
【解析】
【分析】先以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，再判断与“创”字相对的字即可．
【详解】将正方体的表面展开图还原成正方体，以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，可知“创”字与“市”字相对．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了将正方体表面展开图还原，确定每个字在还原后的正方体的位置是解题的关键．
5. 某射击爱好者的5次射击成绩（单位：环）为：9，10，8，9，8，，则下列结论正确的是（ ）
A. 众数是9B. 中位数是9C. 平均数是9D. 方差是1.2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，根据众数、中位数、平均数、方差的求法进行计算，再逐项判断即可．
【详解】解：这组数据的众数是8和9，故A选项错误；
重新排列为8、8、9、9、10，中位数为9，故B选项正确；
平均数为，故C选项错误；
方差为，故D选项错误；
故选：B．
6. 如图，已知直线，，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°−50°＝130°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠3B. x≥﹣1C. x≥﹣1且x≠3D. x≤﹣1或x≠3
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围,分式有意义的条件，二次根式有意义的条件. 自变量取值范围需注意的情况①整式型即等式右边是整式，自变量为全体实数；②分式型即等式右边的自变量在分母的位置上，保证分母不为0；③开平方型即等式右边是开平方的式子，被开方式大于或等于0.
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即可．
【详解】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴．
∴所列方程组为．
故选：B．
9. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）

A. 1B. 2C. 2aD. 1﹣2a
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0∴a>0， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键．
10. 已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
【详解】∵
∴
选项Ａ：在第一象限
选项Ｂ：在第二象限
选项Ｃ：在第三象限
选项Ｄ：在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故选：B
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．
11. 如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，连接，，根据，是以为直径的半圆的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据求解即可．
【详解】解：连接，，，
，是以为直径的半圆的三等分点，
，，
又，
、是等边三角形，
，
，
，
弧的长为，
，
解得：，
．
故选：A．
12. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A. 16B. 6C. 12D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
【详解】解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE＝2，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝2，
∵，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝4，
∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOC中，，
∴AC＝2OC＝，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：
①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．
将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，
∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是：．
故答案．
【点睛】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与情况总数之比.
14. 因式分解： _____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解的一般步骤：一提公因式；二套公式；三检查即可解答．
【详解】解：∵，
故答案为．
【点睛】本题考查了因式分解的一般步骤：一提公因式；二套公式；三检查，掌握提公因式的一般步骤是解题的关键．
15. 若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
16. 如图，在和中，，分别是的中点，若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质以及三角形中位线的计算，先利用直角三角形的性质求出，然后利用中位线的性质即可求出．
【详解】解：∵，E是的中点，
∴，
∵F、G分别为，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：1．
三．解答题（本大题共5小题，共44分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴ABCD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
【小问2详解】
证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
19. 教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于3小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表

请根据图表信息，回答下列问题．
（1）参加此次调查的总人数是______人，频数统计表中a＝______；
（2）在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是______°；
（3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的2男2女中随机挑选2人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）150，60
（2）36 （3）恰好抽到一名男生和一名女生的概率为
【解析】
【分析】（1）由统计图可得t＜3的人数有9人，所占百分比为6％，然后可得调查总人数，进而问题可求解；
（2）由（1）可得D组所占百分比，然后问题可求解；
（3）利用画树状图可进行求解．
【小问1详解】
解：参加此次调查的总人数是：9÷6%＝150（人），频数统计表中a＝150×40%＝60，
故答案为：150，60；
【小问2详解】
解：D组所在扇形的圆心角度数是：360°×＝36°，
故答案为：36；
【小问3详解】
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查扇形统计图及概率，解题的关键是利用统计图得到相关信息．
20. 在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量，如图，在山坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，测得建筑物顶端的仰角为，已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】建筑物的高度约为31.9米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，坡度坡角问题，过点作，垂足为，作，垂足为，得出，设米，则米，结合，得出米，米，设米，则米，求出米，米，再由，求出的长，即可得解．
【详解】解：过点作，垂足为，作，垂足为，

则四边形为矩形，
，
在中，，
设米，则米，
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴米，米，
设米，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴（米），
∴建筑物的高度约为31.9米．
21. 如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）y＝﹣，y＝x+6
（3）P（0，3）或（0，﹣3）
【解析】
【分析】（1 ）通过图像位置关系解不等式．
（2 ）用待定系数法法求解析式．
（2 ）先求△AOB的面积，再求P的坐标．
【小问1详解】
解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，
∴；
【小问2详解】
解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
【小问3详解】
解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键．
四、填空题（共4个小题，每题6分，共24分）
22. 若，．则的值为______
【答案】
【解析】
【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.
【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式
=
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.
23. 已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得、，再代入到即中解方程可得的两个值，根据根的判别式进行取舍．
【详解】解：∵、是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，，即：
∵，即，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、解方程、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系得到此方程的两根和与两根积是解题的关键．
24. 如图，四边形中，，，，满足，则面积的最小值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，取的中点O，连接，过点M作交的延长线于E，过点O作于F，交于G，则．求出，即可解决问题．
【详解】解：取的中点O，连接，过点作交延长线于点，过点O作于F，交于，则．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴当O、M、E共线时，最小值为，
∴面积的最小值
故答案为：．
25. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有_____．
【答案】①③④
【解析】
【详解】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故此选项正确；
②当x=－1时，y=a－b+c＜0，故a+c＜b，错误；
③当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x==1，即b=﹣2a，代入得9a﹣6a+c＜0，得3a+c＜0，故此选项正确；
④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故③④正确．
故答案为①③④．
五．解答题（每题12分，共36分）
26. 阅读与应用
我们知道，即，所以（当且仅当时取等号）．
阅读理解以上材料，解答下列问题：
（1）当____时，函数有最小值，最小值为_______．
（2）疫情防控期间，某核酸检测采样点用隔离带分区管理，如图是一边靠墙其它三边用隔离带围成的面积为的矩形隔离区域，假设墙足够长，则这个矩形隔离区域的长和宽分别是多少时，所用隔离带的长度最短？
（3）随着高科技赋能传统快递行业，某大型物流公司为提高工作效率引进一批分拣机器人，已知每台机器人的运营成本包含以下三个部分：一是进价为25000元；二是材料损耗费，每小时为7元；三是折旧费，折旧费y（元）与运营工作时间t（小时）的函数关系式为．当运营工作时间t长达多少小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低？最低运营成本是多少？
【答案】（1）2，4 （2）这个矩形隔离区域的长是8m，宽是4m时，所用隔离带的长度最短；
（3）当运营工作时间t长达500小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低，最低运营成本是107元．
【解析】
【分析】（1）根据阅读材料2，即可求解；
（2）设这个矩形隔离区域的长为xm，宽为ym，所用隔离带的长度为S，可得，从而得到，再由阅读材料2，即可求解；
（3）根据题意可得每台机器人平均每小时的运营成本为，再由阅读材料2，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
∴，
∴当时，函数有最小值，最小值为4，
此时x=2，x=-2（舍去），
即x=2时，函数有最小值，最小值为4；
故答案为：2，4
小问2详解】
解：设这个矩形隔离区域的长为xm，宽为ym，所用隔离带的长度为S，根据题意得：
xy=32，
∴，
∴，
∴当时，函数S有最小值，最小值为16，
此时x=8，x=-8（舍去），
即这个矩形隔离区域的长是8m，宽是4m时，所用隔离带的长度最短；
【小问3详解】
解：根据题意得：每台机器人平均每小时的运营成本为
，
∴当时，运营成本最低，最低运营成本是107元，
此时t=500或t=-500（舍去），
即当运营工作时间t长达500小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低，最低运营成本是107元．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，分式方程的应用，明确题意，理解阅读材料是解题的关键．
27. 如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，
①求⊙O的半径；
②求BD的长．
【答案】（1）CO与⊙O相切，理由见解析
（2）①⊙O的半径为2；②
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据，可得，再由，可得，然后根据BE与⊙O相切可得，即可求解；
（2）①设，根据，即可求解；②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，求出，证明，可得，再由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：CO与⊙O相切，理由如下∶
连接OD，
∵
∴
∵
∴
又∵BE与⊙O相切
∴，即
∴
∴，即∠ODE=90°，
∴
∴CD与⊙O相切；
【小问2详解】
解：①设，
∵
∴
∴
∵，
∴，解得
故⊙O的半径为2；
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，
在Rt△COD中，
∵AB为直径
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
设，则，
由勾股定理得，即
解得（负值舍去）
∴
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键，是中考常见题型．
28. 如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过作轴，垂足为，与交于点，求出的解析式为，得出，进而得出，再根据，即可求解；
（3）证明，得出，求出直线的解析式为，联立直线及抛物线的解析式成方程组得：，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为：，
即，
则，
解得：，
则抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过作轴，垂足为，与交于点，
，
在中，当时，，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
，
∴，
∴，
∴
，
当的面积最时，，此时，点；
【小问3详解】
解：存在，理由：
当时，取点，连接．
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∵点，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为．
将代入直线的解析式得，
直线的解析式为，
联立直线及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去）或，
即点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次区数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、面积的计算、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，综合性强，难度适中．
劳动时间小时
频数
t＜3
9
3≤t＜4
a
4≤t＜5
66
t≥5
15
阅读1：若为实数，
且，
（当且仅当时取等号）
阅读2：若函数（为常数），
，
由阅读1的结论可知，即
当时，函数有最小值，最小值为．