2023年湖南省衡阳市南岳区中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省衡阳市南岳区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  神舟十五号载人飞船，搭载名航天员于年月日成功发射，它的飞行速度大约是米分，这个数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  习近平主席在年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：

则本次调查中视力的众数和中位数分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

8.  如图所示，小红要制作一个母线长为，底面圆周长是的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则她所需纸板的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  如图，有一块直角边，的的铁片，现要把它加工成一个正方形加工中的损耗忽略不计，则正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论中，正确的一项是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  若分式有意义，则的取值范围是        ．

14.  分解因式： ______ ．

15.  如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______．

16.  若圆锥的底面半径为，母线长是，则它的侧面展开图的面积为______．

17.  如图，在平面直角坐标中，点为坐标原点，菱形的顶点在轴的正半轴上，点坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______．
 

18.  如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点过点作，垂足为点，交边于点若，，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，在中，，，是边上的一点，以为旋转中心，把逆时针旋转到，连接．
求证：≌；
若时，求的长．

21.  本小题分
为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，“健美操”、“跳绳”、“剪纸”、“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
组所对应的扇形圆心角为______度；
若该校共有学生人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是______；
现选出了名跳绳成绩最好的学生，其中有名男生和名女生．要从这名学生中任意抽取名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到名男生与名女生的概率．

22.  本小题分
如图，已知是的直径，与相切于点，的弦，连接交于点，延长与交于点，连接．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的值．

23.  本小题分
甘蔗富含大量铁、钙、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一，为此，某水果商家月份第一次用元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了，所购进甘蔗的数量比第一次少了千克．
求该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克多少元？
假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于元，则每千克的售价至少为多少元？

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点．
直接写出不等式的解集：______ ．
求反比例函数和一次函数的表达式；
过、两点的直线与反比例函数图象交于另一点，连接，求的面积．

25.  本小题分
如图，抛物线经过，，三点．
求出抛物线的解析式；
是抛物线在第一象限上的一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
若抛物线上有一点点位于直线的上方且不与点重合使得，直接写出点的坐标．

26.  本小题分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．

请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
【应用】如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有若，那么 ______ ．
【拓展】如图，在等腰直角三角形中，，，是边中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点所经过的路径长是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意．
故选：．
根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，分别进行判断即可得到答案．
本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
 

5.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为：，
故选C．
解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
，
故选：．
先移项，再配方，即可得出答案．
本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
 

7.【答案】 

【解析】解：由统计表可知众数为；
共有：人，中位数应为第与第个的平均数，
而第个数和第个数都是，则中位数是．
故选：．
由统计表可知视力为的有人，人数最多，所以众数为；总人数为，得到中位数应为第与第个的平均数，而第个数和第个数都是，即可确定出中位数为．
此题考查中位数、众数的求法：
给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
 

8.【答案】 

【解析】解：圆锥形小漏斗的侧面积．
故选D．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积底面周长母线长．
 

9.【答案】 

【解析】解：一元二次方程没有实数根，
，
，
故选：．
根据根的判别式列出不等式求出的范围即可求出答案．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选：．
先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，中，，，
可知，
过点作，垂足为，交于．

，
．
，
，，
∽，
．
设，则有：，
解得，
故选：．
中，求出，过点作，垂足为，交于，三角形的面积公式求出的长度，由相似三角形的判定定理得出∽，设边长，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度可得．
本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：、根据图示知，抛物线开口方向向上，则．
抛物线的对称轴，则．
抛物线与轴交与负半轴，则，
所以．
故A选项错误；
B、，
，
．
故B选项错误；
C、对称轴为直线，图象经过，
该抛物线与轴的另一交点的坐标是，
当时，，即．
故C选项错误；
D、根据图示知，该抛物线与轴有两个不同的交点，则，则．
故D选项正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式进行计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用公式法进行因式分解即可．
本题考查因式分解．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
 

16.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积
故答案为．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用菱形的性质、全等三角形、直角三角形勾股定理，以及反比例函数图象的性质；把点的坐标与线段的长度相互转化也是解决问题重要方法．
要求的值，求出点坐标即可，由菱形的性质，再构造直角三角形，利用勾股定理，可以求出相应的线段的长，转化为点的坐标，进而求出的值．
【解答】
解：过点、作轴，轴，垂足为、，

是菱形，
，
易证≌，
点，，
，，，
在中，，
，


故答案为．  

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，

四边形为正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
≌，≌，
，
设，
，，
，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
故答案为：．
连接，，，由正方形的性质可得，，，可证得≌，可得，，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点为中点，由可证得≌，≌，可得，设，则，，由勾股定理解得，可得，由勾股定理可得，从而可得，由勾股定理可得，即可求解．
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式，最后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

20.【答案】证明：以为旋转中心，把逆时针旋转到，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，过点作交于，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质可得，，由“”可证≌；
由等腰直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

21.【答案】解：；
补全图形如下：

；
人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了树状图求概率，条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，关键是从统计图中获取信息的能力 
由组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去、、人数求出组人数即可补全图形；
用乘以组人数所占比例即可；
总人数乘以样本中组人数所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
再由概率公式求解即可．
【解答】
解：本次调查的学生总人数为名，
组人数为名，
统计图见答案．
组所对应的扇形圆心角为，
估计该校喜欢跳绳的学生人数约是人，
见答案．  

22.【答案】证明：连接，

与相切，
，
，
，
，
，，
，
，，
≌，
，
是的半径，
是的切线；
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：，，
是的中位线，
，
，
，
；
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
的值为． 

【解析】连接，根据切线的性质可得，再利用等腰三角形和平行可证平分，从而可得，然后再利用证明≌，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答；
根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用平行线的性质可求出，进而可得，再利用同角的余角相等可得，从而可证∽，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答；
利用的结论可得是的中位线，从而求出的长，进而求出的长，然后再利用的结论，求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出，再利用等腰三角形的性质可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克元，
根据题意可知：，
，
经检验，是原方程的解，
答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克元；
由得：第一次进价是每千克元，第二次进价是每千克元，
设每千克的售价为元，
第一销售了千克，第二次销售了千克，
根据题意可知：，
解得：，
答：每千克的售价至少为元． 

【解析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克元，根据题意列出方程即可求出答案；
设每千克的售价为元，根据题意列出不等式即可求出答案．
 

24.【答案】或 

【解析】解：由图象可知，不等式的解集为或；
故答案为：或；
将，两点代入中，得，
解得，，
反比例函数的表达式为；
将和代入中得，
解得，
一次函数的表达式为：；
设与轴交于点，连接，
由题意可知，点与点关于原点对称，
．
在中，当时，，
，
垂直轴于点，
．
根据图象求得即可；
把，两点的坐标代入中可计算和的值，确定点的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
如图，设与轴交于点，证明轴于，根据即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
 

25.【答案】解：设抛物线的解析式为，
将，，代入，
，
解得，
；
存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
设，则，，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，，
解得或舍，
；
当时，，
解得舍或舍，
此时不存在；
综上所述：点坐标为；
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
过点作直线的平行线，
，
，
，
联立方程组，
解得舍或，
． 

【解析】用待定系数法求函数解析式即可；
设，则，，分两种情况讨论：当时，，可求；当时，，此时点坐标不存在；
求出直线的解析式为，再求出过点作直线的平行线，联立方程组，即可求点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质，平行线的性质是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】证明：延长到，使，连接，，则，

是斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，
；
解：如图中，设交于点．

，，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，

故答案为：；
过点作，，如图，

，，
．
是边中点，
，
同理：，
，
．
四边形为正方形，
．
，
，
．
．
在和中，
，
≌．
．
为等腰直角三角形，
当点从点运动到点时，的中点所经过的路径为，中点的连线，
即所经过的路径为，
，，

的中点所经过的路径长为．
延长到，使，连接，，则，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
如图中，设交于点证明，可得结论；
过点作，，如图，证明四边形为正方形，再证明≌推出为等腰直角三角形，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．