2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第5讲空间向量及其运算提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第5讲空间向量及其运算提能训练，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在四面体OABC中，M，N分别在棱OA，BC上，且满足eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))，点G是线段MN的中点，用向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示向量eq \(OG,\s\up6(→))应为( A )
A.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
[解析] eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，化简得到eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→)).故选A.
2．(2023·广西桂林模拟预测)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c共面，则λ等于( C )
A．－3 B．3
C．－9 D．9
[解析] ∵a，b，c共面，
∴设c＝ma＋nb(m、n为实数)，
即(7,6，λ)＝m(2,1，－3)＋n(－1,2,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－n＝7，,m＋2n＝6，,－3m＋3n＝λ，))解得λ＝－9.故选C.
3．(2023·辽宁沈阳重点高中联合体期中)设x、y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(3，－6,3)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( D )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．4 D．3
[解析] 因为a⊥c，则a·c＝3x－6＋3＝0，
解得x＝1，则a＝(1,1,1)，
因为b∥c，则eq \f(1,3)＝eq \f(y,－6)，解得y＝－2，
即b＝(1，－2,1)，
所以a＋b＝(2，－1,2)，
因此|a＋b|＝eq \r(4＋1＋4)＝3.
故选D.
4．(2024·湖北宜荆荆随联考)已知空间向量a＝(0,1,2)，b＝(－1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)，\f(4,3)))
C．(－2,4,4) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
[解析] a在b方向上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(6,3)×eq \f(1,3)(－1,2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)，\f(4,3))).故选B.
5．(2024·河南漯河中学摸底)已知四面体A－BCD的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( D )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(5,2) D．eq \f(5,2)
[解析] 解法一：因为E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(CD,\s\up6(→))，所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)).因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝2×2×cs 60°＝2，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(BC,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝2×2×cs 60°＝2，eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(CD,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝2×2×cs 120°＝－2，所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×2＋2＋eq \f(1,4)×(－2)＝eq \f(5,2).故选D.
解法二：取AC的中点H，分别以HB、HC为x轴、y轴建立空间直角坐标系(如图)，由题意知BH＝eq \r(3)，又D在平面ABC内的射影为正△ABC的中心O.∴DO＝eq \f(2\r(6),3)，OH＝eq \f(\r(3),3).∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),12)，\f(3,4)，\f(\r(6),6)))，又Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0))，∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5\r(3),12)，\f(5,4)，\f(\r(6),6)))，又eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(5,2).故选D.
6．(2024·湘豫名校联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于( D )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
[解析] 不妨设AB＝BC＝AC＝AA1＝2.
解法一：eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))，由题意易知AB1＝BC1＝2eq \r(2)，eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2，∴cs θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→))|,|\(AB1,\s\up6(→))||\(BC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(BB1,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))＋\(BB1,\s\up6(→))|,8)＝eq \f(1,4).故选D.
解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(eq \r(3)，1,0)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，∴eq \(AB1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－1,2)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0,2,2)，∴cs θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→))|,|AB1\(|,\s\up6(→))|\(BC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－2＋4|,2\r(2)×2\r(2))＝eq \f(1,4).故选D.
解法三：如图将三棱柱补形成平行六面体，连接DC1，则DC1∥AB1，∴∠BC1D为异面直线AB1与BC1所成的角．由题意易知AB1＝DC1＝2eq \r(2)，BD＝2eq \r(3).∴cs∠BC1D＝eq \f(DC\\al(2,1)＋BC\\al(2,1)－BD2,2DC1·BC1)＝eq \f(8＋8－12,2×2\r(2)×2\r(2))＝eq \f(1,4).故选D.
7. (2024·河北联考)如图，二面角α－l－β等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝eq \r(2)，则CD＝( C )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(2)
C．eq \r(14) D．4
[解析] 由二面角的平面角的定义知〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝135°，所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(BD,\s\up6(→))||ACeq \(|,\s\up6(→))cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \r(2)×2×cs 135°＝－2.由AC⊥l，BD⊥l，得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0.又eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，所以|eq \(DC,\s\up6(→))|2＝(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))2＝eq \(DB,\s\up6(→))2＋eq \(BA,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＋2eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \r(2))2＋22＋22－2eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝10－2×(－2)＝14，即|eq \(DC,\s\up6(→))|＝eq \r(14).
8．(2022·浙江绍兴高三期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P是直线A1C上一点( A )
A．若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))，则直线AP∥平面BC1D
B．若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C,\s\up6(→))，则直线AP∥平面BC1D
C．若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))，则直线BP⊥平面ACD1
D．若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C,\s\up6(→))，则直线BP⊥平面ACD1
[解析] 以D为坐标原点，分别以eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，
当eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))时，
eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))
＝(0,0,1)＋eq \f(1,3)(－1,1，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)，\f(2,3)))，
eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
设平面BC1D的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,y＋z＝0，))可取m＝(1，－1,1)，
则eq \(AP,\s\up6(→))·m＝－eq \f(1,3)－eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)＝0，
从而可知直线AP∥平面BC1D，故A正确，B不正确；
同理可取平面ACD1的一个法向量n＝(1,1,1)，
若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))时，
eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))
＝(0，－1,0)＋(0,0,1)＋eq \f(1,3)(－1,1，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))，
所以eq \(BP,\s\up6(→))与n不共线，所以直线BP与平面ACD1不垂直，故C不正确；
若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C,\s\up6(→))时，
eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(A1C,\s\up6(→))
＝(0，－1,0)＋(0,0,1)＋eq \f(1,2)(－1,1，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，
所以eq \(BP,\s\up6(→))与n不共线，所以直线BP与平面ACD1不垂直，故D不正确．故选A.
二、多选题
9．(2024·江苏镇江期初测试)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠A1AB＝∠A1AD，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的是( ABD )
A．四边形B1BDD1为矩形
B.eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(AO1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))
D．如果eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))，那么点M在平面A1BD内
[解析] eq \(AO1,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝2eq \(AN,\s\up6(→))，N为A1O1的中点，eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
由于eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))≠2eq \(AN,\s\up6(→))，所以eq \(AO1,\s\up6(→))≠eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))，C错误；
设AC∩BD＝O，A1B2＝A1A2＋AB2－2AA1·ABcs∠A1AB，
A1D2＝A1A2＋AD2－2AA1·ADcs∠A1AD，∴A1B＝A1D，
故A1O⊥BD，
又AC⊥BD，A1O∩AC＝O，A1O，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，由于AA1⊂平面ACC1A1，故BD⊥AA1，由于AA1∥BB1，进而BD⊥BB1，所以四边形BDD1B1为矩形，A正确；
BD⊥AO1，所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AO1,\s\up6(→))＝0⇒(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(AO1,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，B正确；
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))，由于eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，
所以M，B，D，A1四点共面，故M在平面A1BD内，D正确．故选ABD.
10．(2024·辽宁实验中学月考)已知空间四点O(0,0,0)，A(4,3,0)，B(－3,0,4)，C(5,6,4)，则下列说法正确的是( BD )
A.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝12
B．cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉＝－eq \f(12,25)
C．点O到直线BC的距离为eq \r(5)
D．O，A，B，C四点共面
[解析] 因为eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,3,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3,0,4)，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝4×(－3)＝－12，因此A不正确；又cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→)))))＝－eq \f(12,\r(42＋32)×\r(－32＋42))＝－eq \f(12,25)，因此B正确；eq \(BO,\s\up6(→))＝(3,0，－4)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(8,6,0)，cs〈eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BO,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→)))))＝eq \f(24,\r(32＋－42)×\r(82＋62))＝eq \f(12,25)，所以sin〈eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \r(1－cs2〈\(BO,\s\up6(→))，\(BC,\s\up6(→))〉)＝eq \f(\r(481),25)，所以点O到直线BC的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))))sin〈eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝5×eq \f(\r(481),25)＝eq \f(\r(481),5)，因此C不正确；因为eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,3,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(8,6,0)，所以有eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，因此eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))是共线向量，所以O，A，B，C四点共面，因此D正确．故选BD.
11．(2023·广东梅州二模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)，若D1M⊥MN，下列命题正确的是( ACD )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为eq \f(3,4)
D．三棱锥C1－A1D1M体积不变
[解析] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，
eq \(D1M,\s\up6(→))＝(3，y，－3)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，
则eq \(D1M,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0，
∴z＝eq \f(1,3)y(3－y)，
对于A选项：eq \(A1M,\s\up6(→))＝(0，y，－3)，
则eq \(A1M,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0⇒eq \(A1M,\s\up6(→))⊥eq \(MN,\s\up6(→))，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项：eq \(CM,\s\up6(→))＝(3，y－3,0)，
eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2