【期中讲练测】沪教版八年级下册数学专题02代数方程全章复习攻略 考点专练.zip

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一、整式方程：
1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数.
2.含字母系数的一元一次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；
求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！
3．含字母系数的一元二次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；
解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.
4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；
一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程.
5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为：
.
二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根.
二、分式方程：
6.可化为一元二次方程的分式方程
解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；
解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.
三、无理方程
1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程.
2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系
有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；
代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.
3.无理方程的解法
（1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解；
（2）一般步骤：
四、二元二次方程组与列方程（组）解应用题
1.二元二次方程
2.二元二次方程组
3.二元二次方程组的解法
(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.
(2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.
方法：代入消元法；
一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.
(3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）
方法：因式分解法；
解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.
4.列方程（组）解应用题

【考查题型一】一元二次方程的应用
【例1】．（2023春•浦东新区期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ．
【分析】设这个两位数中十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意列得方程后解方程即可．
【解答】解：设这个两位数中十位上的数字为，则个位上的数字为，
则，
整理得：，
解得：，（舍去），
则，
那么这个两位数为：23，
故答案为：23．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列得方程是解题的关键．
【变式1-1】．（2023春•长宁区校级月考）初二年级进行篮球比赛，每个班都与其他班级比赛一场，共进行36场比赛，那么初二年级共有 个班级．
【分析】设这个学校初二年级共有个班级，根据该校初二年级共进行了36场比赛，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个学校初二年级共有个班级，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去）．
答：这个学校初二年级共有9个班级．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-2】．（2023春•长宁区校级月考）某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？
【分析】设这周每只文具盒的售价为元，则每只文具盒的利润为元，销量为只，根据总利润是4500元列出方程，即可求解．
【解答】解：设这周每只文具盒的售价为元，
由题意知：，
整理得，
解得，
即这周每只文具盒的售价为35元．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-3】．（2022春•徐汇区校级期中）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润销售价成本价）
【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
（2）根据总利润每千克的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其中的正值即可得出结论．
【解答】解：（1）由图象知，，，
设与之间的函数关系式，
把，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式；
（2）根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式1-4】．（2022春•浦东新区校级期中）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求营销员的个人月收入元与该营销员每月的销售量万件之间的函数关系式；
（2）若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收入的增长率是相同的，试求这个增长率（保留到百分位）．
【分析】（1）设，将与代入，利用待定系数法即可求解；
（2）设这个增长率为，先根据（1）中所求的解析式求出时对应的值，再由两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，且连续两个月的月收入的增长率是相同的列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设，将与代入，
得，解得，
故营销员的个人月收入元与该营销员每月的销售量万件之间的函数关系式为；
（2），
当时，．
设这个增长率为，根据题意得
，
解得，（不合题意舍去）．
答：这个增长率约为．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
【考查题型二】高次方程
【例2】．（2023春•长宁区校级月考）方程组的实数解的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】把代入原方程，再化简成，解方程即可求解．
【解答】解：，
，
，
或或，
或或．
故选：．
【点评】本题考查高次方程，解题关键是熟练掌握平方差公式和解方程．
【变式2-1】．（2023春•虹口区期末）将二元二次方程化为两个一次方程为 ．
【分析】二元二次方程的中间项，根据十字相乘法分解即可．
【解答】解：，
，
，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了高次方程，熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键，考查了学生熟练分解因式的能力．
【变式2-2】．（2023春•长宁区校级月考）关于、的方程组有两个不相同的实数解，则 ．
【分析】利用代入消元法可得出，再根据题意可知该方程有两个不相同的实数解，结合一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义即得出△且，解出的解集即可．
【解答】解：，
由②得：③，
将③代入①得：，
整理，得：，
关于、的方程组有两个不相同的实数解，
有两个不相同的实数解，
△，且，
且．
故答案为：且．
【点评】本题考查高次方程，根据一元二次方程的解得情况求参数，一元二次方程的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为△，且当△时，该方程有两个不相等的实数根；当△时，该方程有两个相等的实数根；当△时，该方程没有实数根是解题关键．
【变式2-3】．（2023春•长宁区校级月考）写出一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，使它的解是；，那么该方程组可以是 ．
【分析】解答本题时，首先观察给出的两组解的特点，发现两组解中第一组中的与第二组中的互为相反数，第一组中的与第二组中的互为相反数，所以可以肯定的是无论哪组中的与的差都是1，两组中的与的积都是6，所以得到符合题意的一组方程组．
【解答】解：由题可得：
，，，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程和一个二元二次方程，熟练掌握其定义是解此题的关键．
【变式2-4】．（2023春•黄浦区期末）方程的根是 ．
【分析】方程的左边因式分解可得，由此即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
方程的根是，
故答案为．
【点评】本题考查高次方程的解，解题的关键是学会应用因式分解法解方程，把高次方程转化为一次方程，属于中考常考题型．
【变式2-5】．（2023春•普陀区期末）方程的根是 ．
【分析】先移项，再开立方即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．
【变式2-6】．（2023春•长宁区校级期中）方程的解是 ．
【分析】先把系数化为1，再开4次方，求出的值．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了解高次方程，解题的关键掌握开方运算．
【变式2-7】．（2023春•杨浦区期中）解方程组：．
【分析】由②得出④，由①得出：③，把④代入③得出关于的方程，求出的值，把的值代入④即可求出．
【解答】解：，
由①得：③，
由②得：④，
把④代入③得：，
，
解得：，，
把代入④得：；
把代入④得：；
即方程组的解为：，．
【点评】本题考查了解高次方程组和解一元二次方程，关键是能把方程组转化成一元二次方程．
【变式2-8】．（2023春•浦东新区校级期末）解方程组：．
【分析】由①得出，求出或③，由②得出，求出④，由③和④组成四个二元一次方程组，再求出方程组的解即可．
【解答】解：，
由①，得，
或③，
由②，得，
开方得：④，
由③和④组成四个二元一次方程组：
，，，，
解得：，，，．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
【变式2-9】．（2023春•浦东新区校级期末）解方程组：．
【分析】由①得出，求出或，把这两个方程与②组成方程组为，，再求出方程组的解即可．
【解答】解：，
由①，得，
即或，
把这两个方程与②组成方程组得：，，
解得：，，
故方程组的解为：，．
【点评】本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
【变式2-10】．（2023春•松江区期末）解方程组：．
【分析】变形方程组中的②式后，代入①式得一元二次方程，求解一元二次方程，然后求出另一个未知数．
【解答】解：，
法一、由②，得③，
把③代入①，得，
整理，得．
．
，．
把，分别代入③，得，．
原方程的解为，．
法二、由①，得，
或．
于是原方程组可化为或．
解这两个方程组，得，．
所以原方程组的解为：，．
【点评】本题考查了高次方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
【变式2-11】．（2023春•静安区期末）解方程组：．
【分析】先把组中各方程化为几个一次方程，构造二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：由①，得，
或者．
由②，得，
．
．
或者．
所以原方程组可变形为或或或．
解得，，，．
所以原方程组的解为，，，．
【点评】本题主要考查了由高次方程组成的方程组的解法，掌握整式的因式分解方法和二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
【变式2-12】．（2023春•虹口区期末）解方程组：．
【分析】由②得出，方程两边开方得出③，由①和③组成两个二元一次方程组，求出两个方程组的解即可．
【解答】解：，
由②，得，
开方，得③，
由①和③组成两个二元一次方程组，，
解得：或，
所以原方程组的解是，．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
【变式2-13】．（2023春•杨浦区期末）解方程组：．
【分析】利用因式分解的办法把方程组中的第一个方程化为两个一次方程，与方程组中的第二个方程组成新的方程组，求解即可．
【解答】解：，
由①，得．
或．
所以原方程组可变形为或者．．
解这两个方程组，得，，，．
原方程组的解为：，，，．
【点评】本题主要考查了二元二次方程组，把原方程转化为由一个一次方程和一个二次方程组成的方程组是解决本题的关键．
【变式2-14】．（2023春•徐汇区校级期末）解方程组：
【分析】利用因式分解的办法把方程组中的①化为两个一次方程，再与方程组中的第二个方程组成新的方程组，利用代入法和一元二次方程的解法求解即可．
【解答】解：，
由①，得，
或．
原方程组可化为或者．
解方程组得，；
解方程组或者得，．
原方程组的解为：，，，．
【点评】本题考查了二元二次方程组，掌握方程组的解法及一元二次方程的解法是解决本题的关键．
【变式2-15】．（2023春•长宁区校级月考）实数、使关于、的方程组有实数解．
（1）求证；
（2）求的最小值．
【分析】（1）由变形得，利用完全平方式的非负性质即可得到答案；
（2）当时，有，或，利用不等式的性质分类讨论得出的最值即可得到答案．
【解答】解：（1），
，
，
，
当时，，
当且仅当，即时等式成立；
当时，，
当且仅当，即时等式成立；
．
（2）将代入方程②，得，所以，
因为题中方程组有实数解，所以方程在，或的范围内至少有一个实根，
当时，有，或，
，或，
即，或，
若，即时，，由此得，
两边同时加上得：，
当，
当时，上式等号成立，此时，
若，即时，对于满足，或的任意实数，均有
当时，，
综上可知，的最小值为．
【点评】本题考查了配方法，完全平方式的性质，不等式的性质等知识点，熟练运用其性质是解决此题的关键．
【考查题型三】无理方程
【例3】．（2023春•浦东新区校级期末）下列方程中，有实数根的方程是
A．B．C．D．
【分析】利用高次方程、无理方程及分式方程的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、整理得：，故次方程无解；
、整理得，解得：，符合题意；
、整理得，无解，不符合题意；
、去分母后得，代入最简公分母，故次方程无实数根，
故选：．
【点评】本题考查了高次方程、无理方程及分式方程的定义的知识，解题的关键是了解有关的定义，难度不大．
【变式3-1】．（2023春•杨浦区期中）下列说法中，正确的个数有
（1）关于的方程既是分式方程，又是无理方程；
（2）关于的方程是二项方程；
（3）关于、的方程是二元二次方程；
（4）关于的方程是无理方程．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据分式方程的定义和无理方程的定义对（1）进行判断；根据一元二次方程、二元二次方程的定义对（2）（3）（4）进行判断．
【解答】解：关于的方程不是分式方程，是无理方程，所以（1）错误；
关于的方程是二次方程，所以（2）错误；
关于、的方程是二元二次方程，所以（3）正确；
关于的方程是二元二次方程，所以（4）错误．
故选：．
【点评】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．也考查了高次方程和分式方程的定义．
【变式3-2】．（2023春•静安区期末）下列方程中，是它的根的方程为
A．B．C．D．
【分析】选项和选项把分式方程化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；选项求出，再求出方程的解即可；选项求出，再求出方程无解即可．
【解答】解：．，
，
解得：，
经检验是增根，是方程的解，即不是方程的解，故本选项不符合题意；
．，
，
，
解得：，即不是方程的解，故本选项不符合题意；
．，
，
不论为何值，的算术平方根不能为负数，
所以此方程无解，即不是方程的解，故本选项不符合题意；
．，
方程两边都乘，得，
解得：，
经检验不是方程的解，是方程的解，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了方程的解，解无理方程和解分式方程等知识点，能求出方程的解是解此题的关键．
【变式3-3】．（2023春•浦东新区期末）方程 的解是 ．
【分析】利用方程两边平方的办法把无理方程转化为二次方程，求解并检验即可．
【解答】解：方程的两边平方，得，
整理，得，
解这个方程，得，．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了无理方程，把无理方程转化为整式方程是解决本题的关键．
【变式3-4】．（2023春•长宁区校级月考）已知关于的方程有实数解，那么的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．
【变式3-5】．（2023春•长宁区校级月考）（1）方程的解是 ；
（2）方程的解是 ；
（3）方程的解是 ；
（4）方程组的解是 ．
【分析】（1）先求出，然后再开立方计算即可；
（2）先整体求出，再整体求出，进而求得即可；
（3）先根据算术平方根的非负性列式求解即可；
（4）先用代入法，然后解一元二次方程即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，，
故答案为：，；
（3），
或且，，
或且，
，
故答案为：；
（4），
由①可得③，
将③代入可得：，
解得或，
当时，；当时，；
所以该方程组的解为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了立方根、算术平方根、平方根、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
【变式3-6】．（2023春•长宁区校级月考）已知方程有一根为，那么 ．
【分析】将代入求得的值即可．
【解答】解：将代入可得：，
所以，解得或，
由，则．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了无理方程的根，使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根．
【变式3-7】．（2023春•杨浦区期中）解方程：．
【分析】先移项得到，再把方程两边平方，整理得到，解得，，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：，
，
，
整理得，
解得，，
检验：当时，方程左边，
所以方程左边方程右边，不是原方程的解；
当时，方程左边，
所以方程左边方程右边，是原方程的解；
所以原方程的解为．
【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
【变式3-8】．（2023春•杨浦区期末）解方程：
【分析】无理方程左右两边平方，整理后再平方求出解，检验即可．
【解答】解：两边平方得：，即，
再两边平方得：，即，
解得：，，
经检验和都是无理方程的解．
【点评】此题考查了无理方程，无理方程求出解注意要检验．
【变式3-9】．（2023春•普陀区期末）解方程：
【分析】先把无理方程转化为一元二次方程，然后进行求解．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
或，
或，
检验：当时，，不符合题意，所以舍去．
当时，，符合题意．
所以原方程的解为：．
【点评】本题主要考查了无理方程的知识、一元二次方程的知识，难度不大，转换成一元二次方程是解答的关键．
【变式3-10】．（2023春•浦东新区校级期末）解方程：．
【分析】先把方程变形为，方程的两边平方得到整式方程，解整式方程并验根即可．
【解答】解：，
．
方程的两边平方，得，
．
．
．
解得：，．
经检验，0、都是原方程的解．
原方程的解为：，．
【点评】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的一般步骤是解决本题的关键．
【变式3-11】．（2023春•松江区期末）解方程：．
【分析】移项后两边平方， 解得出的一元二次方程， 求出方程的解， 再进行检验即可 ．
【解答】解： 移项得：，
，
，
，，
经检验：是原方程的根，是增根，
所以原方程的根是：．
【点评】本题 考查了解无理方程， 能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键 ．
【考查题型四】分式方程的增根
【例4】．（2023秋•浦东新区期末）如果关于的方程有增根，则 ．
【分析】先把分式方程化为整式方程解得，由于原方程的增根只能为2，于是把代入中求出对应的的值即可．
【解答】解：去分母得，
解得，
当时，，
解得，
即当时，方程有增根．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程的增根：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
【变式4-1】．（2023春•黄浦区期中）如果是方程的增根，那么的值为 ．
【分析】先把方程去分母得到，由于是方程的增根，则把代入，然后解关于的方程即可得到的值．
【解答】解：方程两边同乘以得，，
是方程的增根，
，
．
故答案为3．
【点评】本题考查了分式方程的增根：把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边不成立（或分母为，那么这个未知数的值叫分式方程的增根．
【变式4-2】．（2023春•长宁区校级月考）已知关于的方程有增根，那么 ．
【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得值．
【解答】解：，
去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，
解得．
把代入整式方程，
无解．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式方程的解法及增根问题，解题的关键是熟知分式方程的解法．
【变式4-3】．（2023春•宝山区校级期中）当 ，方程会产生增根．
【分析】用含的代数式表示的值，通过或时为增根求的值．
【解答】解：方程两边同时乘以得，
，
方程有增根，
或，
把代入，
解得，
把代入，
解得，
故答案为：或5．
【点评】本题考查分式方程增根问题，解题关键是将原式化简，分别代入为增根的值．
【变式4-4】．（2022春•奉贤区校级月考）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的解得到的值， 经检验即可得到分式方程的解 ．
【解答】解： 去分母得：，
整理得：，即，
解得：或，
经检验是增根， 分式方程的解为．
【点评】此题考查了解分式方程， 解分式方程的基本思想是“转化思想”， 把分式方程转化为整式方程求解 ． 解分式方程一定注意要验根 ．
【考查题型五】由实际问题抽象出分式方程
【例5】．（2023春•静安区校级期中）某铁路隧道严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通列车．原计划每天修多少米？设原计划每天修米，所列方程正确的是
A．B．
C．D．
【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间实际所用的时间．
【解答】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．所列方程为：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
【变式5-1】．（2023春•长宁区校级月考）甲乙两队要限期完成某工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为天，那么可列方程为
A．B．C．D．
【分析】设工作总量为1，工程期限为天，可得甲、乙两工程队的工作效率，然后根据等量关系“两队合作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工”即可列出方程．
【解答】解：设工作总量为1，工程期限为天，那么甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为．
根据题意，所列方程为，
化简得．
故选：．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系是解答本题的关键．
【变式5-2】．（2023春•宝山区期末）上海市16个区共约1326条健身步道和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道“行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程．如果设乙的速度为千米时，那么下列方程中正确的是
A．B．
C．D．
【分析】由甲、乙速度之间的关系可得出甲的速度为，利用时间路程速度，结合甲比乙提前15分钟走完全程，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】解：甲的速度是乙的1.5倍，且乙的速度为，
甲的速度为．
依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式5-3】．（2023春•宝山区校级期中）某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道米，根据题意可得方程
A．B．
C．D．
【分析】直接利用每天修建的盲道比原计划多250米，结果提前2天完成工程，得出方程即可．
【解答】解：设实际每天修建盲道米，根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去），，
经检验是原方程的根，
答：实际每天修建盲道750米．
故选：．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
【考查题型六】分式方程的应用（共18小题）
【例6】．（2023春•杨浦区期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
【分析】设甲计划每年缴纳养老保险金万元，则乙计划每年缴纳养老保险金万元，根据甲计划缴纳养老保险金的年数比乙要多4年，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设甲计划每年缴纳养老保险金万元，则乙计划每年缴纳养老保险金万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，不符合题意，舍去，符合题意．
答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式6-1】．（2023春•普陀区期末）、两地相距360千米，一辆汽车准备从地开往地，但由于任务紧急，现在实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达地．求汽车原计划的速度．
【分析】设汽车原计划的速度为千米时，则汽车实际行驶的速度为千米时，利用时间路程速度，结合实际比原计划提前3小时到达地，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设汽车原计划的速度为千米时，则汽车实际行驶的速度为千米时，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去．
答：汽车原计划的速度为40千米时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式6-2】．（2023春•长宁区期末）小明和小智从学校出发，到距学校路程12千米的自然博物馆，小明骑自行车先走，过了15分钟，小智乘汽车按相同路线追赶小明，结果他们同时到达目的地，已知汽车的速度是小明骑车速度的2倍多20千米小时，求小明骑车的速度是每小时多少千米．
【分析】设小明骑车的速度是千米小时，则汽车的速度是千米小时，利用时间路程速度，结合小明比小智多用了15分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设小明骑车的速度是千米小时，则汽车的速度是千米小时，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，
符合题意，不符合题意，舍去．
答：小明骑车的速度是30千米小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式6-3】．（2023春•长宁区校级期中）我国手机产业迅速发展，网络建成后，下载完一部大小的电影，使用手机比手机少花190秒．已知使用手机比手机每秒多下载，求使用手机每秒下载多少？
【分析】设使用手机每秒下载，则使用手机每秒下载，根据“下载完一部大小的电影，使用手机比手机少花190秒”，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设使用手机每秒下载，则使用手机每秒下载，
根据题意得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去．
答：使用手机每秒下载．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式6-4】．（2023春•松江区期末）松江区于4月22日，举办“”上海余山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由厂家完成．已知厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求厂家在原计划基础上增加的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对，求原计划每天生产多少对护膝．
【分析】设原计划每天生产对护膝，实际每天生产对护膝，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比计划提前3天完成，可列出关于的分式方程，解答检验即可．
【解答】解：设原计划每天生产对护膝，则实际每天生产对护膝，
根据题意，可列方程 ，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
经检验，当时，，是原方程的解，
答：原计划每天生产100对护膝．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式6-5】．（2023春•浦东新区校级期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？
【分析】设乙平均每小时骑行千米，则甲平均每小时骑行千米，根据题意可得，同样20千米的距离，乙比甲多走30分钟，据此列方程求解．
【解答】解：设乙平均每小时骑行千米，则甲平均每小时骑行千米，
由题意得，，
解得：，，
经检验：，都是原方程的根，但，不符合题意，故舍去，
则甲平均每小时骑行千米．
答：甲平均每小时骑行10千米，乙平均每小时骑行8千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
【变式6-6】．（2023春•静安区期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元．
（1）设该公司从甲地购进件商品，请用含字母的代数式表示从乙地购进的商品件数是 ；
（2）如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．
【分析】（1）根据题意列方程求解；
（2）根据题意列方程求解．
【解答】解：（1）设从乙地购进的商品件数是，
则：，
解得：，
故答案为：；
（2）由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去），
经检验：是原分式方程的解，
，
答：公司从甲地购进商品80件，从乙两地购进商品100件．
【点评】本题考查了方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．
【变式6-7】．（2023春•徐汇区校级期末）在一次捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信息：
（1）乙单位捐款数比甲单位多一倍；
（2）乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数少100元；
（3）甲单位的人数是乙单位的．
你能根据以上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？
【分析】设甲单位平均每人的捐款元，则乙单位平均每人的捐款元，然后根据单位的人数是乙单位的四分之一列方程求解．
【解答】解：设甲单位平均每人的捐款元，则乙单位平均每人的捐款元，
根据题意得，，
解得，；
甲单位平均每人的捐款200元，乙单位平均每人的捐款100元，
甲单位30人，乙单位120人，
这两个单位总的平均每人捐款数元，
答：这两个单位总的平均每人捐款数为120元．
【点评】本题考查分式方程的应用，关键是设出甲单位的人数的平均捐款，表示出乙，然后以人数作为等量关系列方程求解．
【变式6-8】．（2023春•黄浦区期末）某书店两次从图书批发市场购进某种图书，每次都用2000元．其中第二次购进这种书每本的批发价比第一次每本的批发价降低了2元，且比第一次购进的书多了50本，求第一次购书时每本的批发价．
【分析】本题首先依题意可知等量关系为第一次购书的本数第二次购书的本数，根据等量关系列出方程，最后求出结果检验并作答．
【解答】解：设第一次购书时每本的批发价为元．（1分）
根据题意得，（3分）
化简方程得，（1分）
解得，．（1分）
经检验，，都是方程的根，但不合题意，舍去．（1分）
答：第一次购书时每本的批发价为10元．（1分）
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
【变式6-9】．（2023春•长宁区校级月考）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？
【分析】设甲流水线每天加工套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答．
【解答】解：设甲流水线每天加工套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，
则，解得：或，
经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去，
则乙流水线每天加工270套防护服，
所以甲需要天，乙需要天，
所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元．
所以乙流水线成本较小．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键．
【变式6-10】．（2023春•浦东新区校级期末）某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来多加工25套，结果提前了3天完成任务．求该文具厂原来每天加工多少套这样的学习用具．
【分析】设该文具厂原来每天加工套这样的学习用具，根据某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来多加工25套，结果提前了3天完成任务，可列方程求解．
【解答】解：设该文具厂原来每天加工套这样的学习用具，（1分）
根据题意得：（3分）
整理得：（2分）
解得：，（2分）
经检验，，均是原方程的解，
但不符合题意，舍去．（1分）
答：该文具厂原来每天加工100套这样的学习用具．（1分）
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是以时间作为等量关系，根据天数加工的套数除以每天加工的套数列方程求解即可．
【变式6-11】．（2022春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．
（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？
（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算）
【分析】（1）设完成此项工程原计划每个月掘进米，则现在每个月掘进米．由题意：现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．列出分式方程，解方程即可；
（2）由每天的施工费用天数，列式计算即可．
【解答】解：（1）设完成此项工程原计划每个月掘进米，则现在每个月掘进米．
根据题意，得：，
整理，得：．
解得：，．
经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去．
答：完成此项工程原计划每个月掘进300米．
（2）（万元）．
答：该工程队现在完成此项工程共需375万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式6-12】．（2022春•静安区期中）某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积在原计划的基础上增加，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．
【分析】本题的相等关系是：原计划完成绿化时间实际完成绿化实际．设原计划平均每年完成绿化面积万亩，则原计划完成绿化完成时间年，实际完成绿化完成时间：年，列出分式方程求解．
【解答】解：设原计划平均每年完成绿化面积万亩，
根据题意，可列出方程，
去分母整理得：
解得：，（2分）
经检验：，都是原分式方程的根，
因为绿化面积不能为负，所以取．
答：原计划平均每年完成绿化面积40万亩．
【点评】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验它是否是原方程的根，第二步检验它是否符合实际问题．
【变式6-13】．（2022春•普陀区校级期中）小王开车从甲地到乙地，去时走线路，全程约100千米，返回时走线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米小时，求小王开车返回时的平均速度．
【分析】设小王开车返回时的平均速度为千米小时，则小王开车去时的平均速度为千米小时，根据时间路程速度结合去时与返回时时间的关系即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【解答】解：设小王开车返回时的平均速度为千米小时，
则小王开车去时的平均速度为千米小时，
根据题意得：，
解得：或（舍去），
经检验：是原方程的解．
答：小王开车返回时的平均速度为80千米小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据时间路程速度结合去时与返回时时间的关系列出关于的分式方程是解题的关键．
【变式6-14】．（2022春•徐汇区校级期中）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？
【分析】根据题目中的关键语句“骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时”，找到等量关系列出分式方程求解即可．
【解答】解：设自行车的平均速度是千米时．
根据题意，列方程得，
解得：，．
经检验，是原方程的根，且符合题意，不符合题意舍去．
答：自行车的平均速度是15千米时．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式6-15】．（2022春•杨浦区校级期中）为迎接“2010年上海世博会”，甲、乙两个施工队共同完成“阳光”小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程比甲队单独完成此项工程少用5天，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
【分析】求的是工效，工作时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：乙2天的工作量甲乙合作10天的工作量．
【解答】解：设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需天．（1分）
由题意，得：．（3分）
化简得：．（1分）
解得：，．（2分）
经检验：，都是方程的根；但不符合题意，舍去．（2分）
，．（1分）
答：甲队单独完成此项工程需25天，乙队单独完成此项工程需20天．
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式6-16】．（2023春•徐汇区期末）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
【分析】等量关系为：总售价总进价．
【解答】解：设每盒茶叶的进价为元．
．
解得：或，
经检验：或都是原方程的解，但不合题意，应舍去．
答：每盒茶叶的进价为40元．
【点评】找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶叶的数量．
【变式6-17】．（2023春•静安区校级期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固．由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天．为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？
【分析】此题的关键是未知数的设置，读懂题意，应该设原计划每天加固的长度米，然后根据“每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天．”列出方程．
【解答】解：设原计划每天加固的长度米．
由题意可得：．
解之得：或．（不合题意舍去）
经检验：是原方程的解．
如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加米．
答：每天加固的长度还要再增加64米．
【点评】利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．