【期中讲练测】北师大版八年级下册数学压轴真题必刷05 选择题 填空题.zip

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1．（21-22九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】B
【分析】如图：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时， 的长度最小；旋转的性质可得，再根据直角三角形的性质可求得，由中点的定义可求得OA,最后计算即可．
【详解】解：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时，的长度最小；
∵将绕点A逆时针旋转角
∴
∵AC⊥，
∴
∵O为AC的中点
∴AO==3.5
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半．
2．（21-22八年级下·山东济南·期中）如图，O是等边内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③点；④；⑤．其中正确的有多少（ ）个
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】证明，又，所以可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确；由是等边三角形，可知结论②正确；在中，三边长为3，4，5，结合勾股定理的逆定理证明是直角三角形；进而求得，故结论③正确；，故结论④错误；如图②，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论⑤错误．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
又∵，
在和中，
∴，
又∵，
∴可以由绕点B逆时针旋转得到，
故结论①正确；
如图①，连接，
∵，且，
∴是等边三角形，
∴．
故结论②正确；
∵，
∴．
在中，，，且，
∴是直角三角形，，
∴，
故结论③正确；
，
故结论④错误；
如图②所示，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点．
同理可得是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形，
则
，
故结论⑤错误．
综上所述，正确的结论为：①②③．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将向不同方向旋转，体现了结论①—结论④解题思路的拓展应用．
3．（20-21八年级下·广东佛山·期中）如图，等边三角形的边长为2，点是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点旋转分别交线段，于，两点，连接，给出下列四个结论：
；②；③四边形的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为是．上述结论中正确的个数是( )．

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，，则可对①②进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断．
【详解】解：连接、，如图，

为等边三角形，
，
点是的中心，
，、分别平分和，
，即，
而，即，
，且，，
，
，，所以①正确；
，所以②正确；
，
四边形的面积，所以③正确；
作于，如图，则，
，
，
，，
，
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，
④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
4．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：点与的距离为；；；；．其中正确的结论是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形、勾股定理的逆定理，由题意可得，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形，可判断，由，可判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，故正确；
过点作，交的延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，故错误；
过点作于点，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故正确；
将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点，
易知是边长为的等边三角形，是边长为的直角三角形，
∴，故正确；
∴①②④⑤正确，
故选：．
5．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）若定义一种新运算例如：；，下列说法：
①；
②若，则或；
③若，则或
④与直线（m为常数）有2个交点，则．
其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据新运算可判断①正确；根据新运算分两种情况结合一元二次方程可判断②正确；根据新运算分两种情况结合一元一次不等式可判断③正确；根据新运算分两种情况结合一次函数的性质可判断④正确，即可．
【详解】解：①，故①正确；
②若，即，
则，
解得：，不符合题意，应舍去；
若，即，
则，
解得：，不符合题意，应舍去，故②错误；
③若，即，
此时，
解得：，
若，即，
此时，
解得：，
∴，
∴若，则或，故③错误；
④若，即，
此时，
此时与直线（m为常数）不可能有2个交点；
若，即，
此时，
此时与直线（m为常数）不可能有2个交点
综上所述，正确的个数有1个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，一次函数的图象和性质，理解新运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
6．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形、与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接． 以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥为等边三角形．正确的结论有（ ）
A．①②③④⑤⑥B．①②③④⑤C．①②③④⑥D．①②③⑤⑥
【答案】D
【分析】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的内角和定理以及外角的性质等知识点． 证明可判断①、⑤；证明可判断②、③、⑥；利用三角形边角关系判断④即可．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
故②、③、⑥正确；
∵，，
∴，
故⑤正确；
∵，，
∴，
又，
∴，
故④错误，
故正确的有①②③⑤⑥，
故选：D．
7．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；；连接，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，平行线的判定，角平分线的定义与性质，三角形的内角和定理，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算求得的度数，即可判断正确；利用全等三角形的判定与性质即可得出正确；利用，通过计算和等量代换即可得出正确；利用等腰直角三角形的性质可得，由平行线的判定可得，即可判断正确；根据以上即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：，
，
，是的角平分线，
，，
，
，故正确；
，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故正确；
在和中，
，
，
，，
，故正确；
如图，连接，
，，
，
，
，
∴，
∴，故正确；
∴正确结论的个数是个，
故选：．
8．（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则代数式的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：，，，
，，，
则
，
当，，时，原式．
故选：D．
9．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，连接，与交于点，连接，，，，．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，证明，得到，，可判定①，结合三角形内角和可判断②，过点A作，，垂足分别为M，N，根据全等三角形面积相等，底边相等可得，利用角平分线的判定可判断③，根据勾股定理可得，可判断④．
【详解】解：由旋转可知：，，，
∴，即，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确，
过点A作，，垂足分别为M，N，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，
∴，，
，，
∴，
，
∴，故④正确，
∴正确的有4个，
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（22-23八年级下·福建漳州·期中）如图．是等腰直角外一点，把绕点B顺时针旋转90°到，使点在内，已知，若连接，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，证明，得出，从而得出，证明为直角三角形，设，则，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可得出答案．
【详解】解：连接，，如图所示：
∵绕点顺时针旋转到，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故B正确．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明．
11．（19-20八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组 恰有5个整数解，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再根据x有5个整数解确定含t的式子的值的范围，特别要考虑清楚是否包含端点值，这点极易出错.再求出t的范围即可.
【详解】解：由（1）得x<-10,
由（2）x>3-2t,,
所以3-2t∵x有5个整数解，即x=-11,-12,-13,-14,-15,
∴
∴
故答案为C．
【点睛】本题考查根据含字母参数的不等式组的解集来求字母参数的取值范围，关键是通过解集确定含字母参数的式子的范围，特别要考虑清楚是否包含端点值，这点极易出错.
12．（19-20七年级下·北京·期末）若不等式组的解 为，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
若不等式组解为，
，且，
解得：，，
，
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于和的方程，题目比较好，综合性比较强．
13．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点为线段上一点，和是等边三角形．下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ）

A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】先利用手拉手模型证，即可得，①正确；再证，可得，②正确；再根据等边三角形的判定可得③正确；在③正确的基础上可得，得，，进而可证，，即，④不正确；即可得解．
【详解】解：和是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中
，即①正确；
，
，
即，
点C为线段上一点，
且，
，
在和中
，即②正确；
，且，
是等边三角形，即③正确；
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
即，④不正确；
综上，正确的是①②③，
故选：C．
14．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中：
①；
②为等腰三角形；
③；
④，
⑤的最小值是；
正确的个数是（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】利用的性质证明，可得①符合题意；证明，可得，，再证明，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；由，可得，可判断④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，可得，则当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，再求解的长度可判断⑤，从而可得答案.
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，，而，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故②符合题意；
∵，，
∴，故③符合题意；
∵，，，
∴，故④符合题意；
如图，过作于，过作于，而，平分，
∴，
∴当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，

∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴的最小值为1；故⑤不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键.
15．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，为三角形内一点，连接，，点为线段的中点．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长至，使得，首先证明，由全等三角形的性质可得，；在上取一点，使得，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，易得，设，，结合以及，可得，整理即可获得答案．
【详解】解：如下图，延长至，使得，

∵点为线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在上取一点，使得，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
即，
∵，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
16．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如下图，点在等边的边上，，射线垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A．17B．16C．13D．12
【答案】C
【分析】作点关于直线的对称点，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可得，即，由垂线段最短可知，的最小值为，由等边三角形的性质可得，推出，由含角直角三角形的性质可得，推出，计算出即可得解．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，过点作于点，交于点，
，
则，
，
，
由垂线段最短可知，的最小值为，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短、等边三角形的性质、含角直角三角形的性质，作对称，找出的最小值为是解此题的关键．
17．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，点是线段上一点，、是等边三角形与交于点，与交于点，与交于点下列结论：①；②；③；④；⑤平分其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③⑤C．①③⑤D．①②③④⑤
【答案】B
【分析】本题考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系，根据手拉手先得到，再证，即可得到答案；
【详解】解：∵、是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，故正确，
③∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故正确，
②∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故正确；
④，
∴，
∵，
∴，
∴不一定等于，
∴不一定等于，
∴不一定等于，
又∵，
∴不一定垂直平分，故错误；
如图，过点作于，于，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分，故正确；
故选：B．
18．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
分别利用全等三角形的判定方法以及其性质得出对应角以及对应边关系进而分别分析得出答案．
【详解】证明：①∵等边和等边，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
则，故②正确；
③作于N，于F，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
④在上截取，连接．
由②知，
∴，
由③知：平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等边三角形，则，
故，故④正确；
正确的有①②③④．
故答案为：D．
19．（19-20八年级下·广东深圳·期中）如图，已知为的角平分线，且，为延长线上一点，．过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由“”可证，可得可由绕点旋转而得到，故①正确；由全等三角形的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，故③正确；通过证明，可得，由线段的和差关系可求解，故④正确，即可求解．
【详解】解：①为的角平分线，
，
在和中，
，
，
可由绕点旋转而得到，
故①正确；
②，
，
，
故②正确；
③，，，
，
，
，
，故③正确；
④过作于点，

是上的点，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
20．（22-23八年级下·全国·期中）如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论：
①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】如图，由为等边三角形得到，由得到，再根据旋转的性质得，即旋转角等于，，，于是可计算出，则可对①进行判断；由，，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由为等边三角形得，于是可得，则可对③进行判断；根据旋转的性质得，根据等边三角形的性质得，所以，则可对④进行判断．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，
，即旋转角等于，，，
，即，
三点共线，所以①正确；
，，
为等边三角形，所以②正确；
为等边三角形，
，
，
平分，所以③正确；
为等边三角形，
，
而点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，
，
，
，所以④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
21．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在等边 中，点D为 边上一动点，连 ，将 绕着D逆时针旋转 得到 ，连 ，取 中点F，连 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．当点D是 中点时，B．
C．D．当 时，
【答案】B
【分析】过点D作，交于点G，根据等边三角形的性质和平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据旋转的性质可得，求得，即可判断A选项；连接并延长到点K，使，连接，，证明可得，，根据等边三角形的性质可得，设，，则，再根据旋转的性质可得，，从而可得，可证得，，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质即可判断C；根据等腰三角形的判定可得，从而证，可得，，再根据三角形的内角和定理可得，再根据直角三角形的性质即可判断D；由全等三角形的性质可得，再由，，即可判断B．
【详解】解：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是 中点，
∴，即，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，故A选项不符合题意；
连接并延长到点K，使，连接，，
∵点F是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
设，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故D选项不符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
22．（18-19八年级上·全国·单元测试）已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．
【详解】原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=×（1+4+1）
=3，
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．
23．（2020·广东深圳·一模）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56B．60C．62D．88
【答案】B
【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．
【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），
∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．
24．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，是等边三角形内一点，且，，，以下4个结论：①；②；③；④若点到三边的距离分别为，，．则有，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】将绕点逆时针旋转到，得到是等边三角形，根据，得到直角三角形，且，，，从而得到；，；根据勾股定理，，根据等边三角形面积等于得到，利用同一图形的面积不变性，，选择即可．
【详解】如图，将绕点逆时针旋转到，
是等边三角形，，
，，
，
是直角三角形，且，，
；，
；
故①②都正确；
根据勾股定理，得，
如图，作于点，
是等边三角形，
，
，
故③正确；
，
，
，
，
，
故④正确，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握等边的性质，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键．
25．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，，，根据旋转的性质可得，由此得是等边三角形，，则，根据勾股定理和三角形面积公式即可求出的面积．
【详解】解：连接，

，，O为的中点，
，，，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
．
故选：D
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（21-22八年级下·重庆·期中）若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．7B．9C．12D．14
【答案】C
【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a的不等式，求出此时a的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a的不等式组，再次求出a的取值范围，两项综合求出a最终的取值范围，则问题得解．
【详解】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式有解，则解为：，
∵不等式组有两个整数解，
则这两个整数解为3，2，
∴，解得；
∵一次函数不过第四象限，
∴则有，解得；
综上：
∴a的整数值有：3，4，5，
则其和为：3+4+5=12，
故选：C．
【点睛】本题考查了解不等式组和一次函数的图像的性质，根据不等式组只有两个整数解和函数不过第四象限等条件求出a的取值范围是解答本题的关键．
27．（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）已知，，若规定，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先由时，，解得x的范围，从而将原不等式化为关于x的不等式组，再根据一次函数的性质可得y的最小值．
【详解】解：∵，，
∴当时，，
解得：．
∴时，；当，．
∴，
可化为：，
∵，其函数值随自变量的增大而增大，故其在时取得最小值，即；
，其函数值随自变量的增大而减小，故．
∴y的最小值是1．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据不等式的性质解不等式、一次函数的性质在最值问题中的应用，熟练掌握不等式的性质及一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
28．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，上述结论中始终正确的有 ．
【答案】①②④
【分析】
本题以旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定及性质，根据题意得出是解答此题的关键环节．
利用证明，根据全等三角形对应边相等可得，，根据全等三角形的面积相等，推出，即可求解．
【详解】解：解：、都是的余角，
，
，且P是的中点，
，
在和中，
，
，故结论①正确；
，
，
又，
是等腰直角三角形，故结论②正确；
随着点E的变化而变化，
，故结论③错误；
，
，
，
故结论④正确；
则正确的选项有：①②④，
故答案为：①②④
29．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，于点，的平分线交于点，交于点，于，的延长线交于点，下列四个结论：①；②；③；④连接，若，则，其中正确的结论有 ．
【答案】①③/③①
【分析】证明，可得，故①正确；根据题意无法确定、的大小关系，则无法得到，故②错误；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，可得，进而证明，故③正确；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故④错误．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
根据题意无法确定的大小、的大小关系，
∴无法得到，故②错误；
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，，
∴，
即，
又∵，
∴，故④错误．
综上所述，正确的有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
30．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，把放到平面直角坐标系中，使得，．点在轴上且．那么下列结论正确的是 （填写序号）．
①；②；③；④；⑤．
【答案】①②④
【分析】由勾股定理求，，进而可判断①的正误；由三，可求，进而可判断②的正误；如图，在的延长线上截取，使，连接，则，则当时，，进而可判断③的正误；如图，作于，则，，，根据，可判断④的正误；如图，作于，则，由，可判断⑤的正误．
【详解】解：由题意知，，，
∴， ①正确，故符合要求；
∵，，
∴，②正确，故符合要求；
如图，在的延长线上截取，使，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，，③错误，故不符合要求；
如图，作于，则，，，
∴，④正确，故符合要求；
如图，作于，
∵，
∴，
∴，⑤错误，故不符合要求；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了勾股定理求两点之间的距离，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握勾股定理求两点之间的距离，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
31．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是得到，根据图像找到相等的角进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
，
，
，
，
∵
，
故答案为：．
32．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）对于一个各个数位数字均不为零的四位自然数p，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称P为“等和数”．设一个“等和数”满足（，，，a，b，c都为整数），将p的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将Q的各个数位数字之和记为；当与的差能被整除时，则所有满足条件的“等和数”p所组成的一组数据的中位数是 ．
【答案】2781
【分析】分别求出p、，可求得，由“等和数”把b用a、c表示，结合整除关系进行讨论即可．
【详解】解：∵．
，
，
∵，
∴；
．
∴；
①当时，，则，
而，
∴，
∵．
∴当或时，与的差才能被整除，
∴或，
∵，
∴，
而，
∴，
表明不符合题意，
∴．
由上式及知，a只能取2、4、6、8四个数，此时对应的四个数，
∴b取值对应为：0，1，2，3，因0不合题意，舍去，
∴对应的“等和数”为；
②当时，，
则，
而，
∴，
∵．
∴．
∵，
∴最大为16，最小为8，
∴作为21的因数只能是1，3，7；
当时，即，
∴．
∴．
解得
此种情况不存在；
当时，即，
∴．
a只能取4，则，
对应的等和数为4141，
当时，即，
则a只能取2，4，6，8四个数，对应地c取6，7，8，9四个数，
此时b对应地取5，4，3，2四个数，
由于，只有4691这个数满足题意；
综上，满足题意的数有五个：；
这组数据中，中位数为2781；
故答案为：2781．
【点睛】本题考查了整式的运算，通过新定义，利用整除关系，整式的运算及不等式的知识，求得结果，注意分类讨论．
33．（22-23八年级下·福建漳州·期中）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即当n为非负整数时，若，则．如，．给出下列关于的结论：①；②；③若，则实数x的取值范围是；④若，则．其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）．
【答案】①③/③①
【分析】①四舍五入到个位为1，故①正确；②由，变形得，得或或，说法②错误；③若，则，求解得③正确；④反例：时，，故④错误；
【详解】解：①；四舍五入到个位为1，故①正确；
②若，则，即
∴，
∴或或，说法②错误；
③若，则，
∴实数x的取值范围是；说法③正确；
④反例：时，，，故④错误；
故答案为：①③
【点睛】本题考查对新定义和理解，不等式变形；能够理解新定义并熟练变形是解题的关键．
34．（22-23九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，将等边绕着点依次顺时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，按此作法进行下去，则点的坐标为 ．

【答案】
【详解】解：∵A点坐标为，
∴，
∴第一次旋转后，点在第二象限，；
第二次旋转后，点在第一象限，；
第三次旋转后，点在x轴正半轴，；
第四次旋转后，点在第三象限，；
第五次旋转后，点在第四象限，；
第六次旋转后，点在x轴负半轴，；
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴负半轴上，
∵，
∴点在第二象限，且，
过点作轴于，

∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，涉及等边三角形、的直角三角形等知识，解题的关键是确定所在的象限．
35．（22-23八年级下·湖南怀化·期中）如图，在等腰直角中，，M为内一点；且，，，则的度数为 ．

【答案】135
【分析】由等腰直角三角形的性质可得如图：把绕B点顺时针旋转可得到，连接，则，则为等腰直角三角形可得，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
【详解】解：为等腰直角三角形，
．
如图：把绕B点顺时针旋转可得到，连接，则，

，
为等腰直角三角形，
，．
在中，，
，
为直角三角形，，
．
故答案为：135．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，正确作出旋转图形是解答本题的关键．
36．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】由点的运动轨迹确定在与轴平行的直线上运动，当线段与垂直时，线段的值最小，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：将及分别代入得：，
由已知可得，，
三角形是等腰直角三角形，
，
，即，，
在上取点，使,

又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，即，
在与轴平行的直线上运动，
当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数的图象，旋转的性质，垂线段最短以及勾股定理；关键是判断动点运动轨迹．
37．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，等边边长为6，面积是，点E是高上的动点，连接，将绕点C顺时针旋转60度得到，连接、，则周长最小值= ．

【答案】/
【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形三边相等，三个角都是60度，以及“三线合一”是解题的关键．以为边构造等边三角形，连接，延长交于点H，通过证明，得出，进而得出垂直平分，则，则当点D、F、G在同一条直线上时，周长最小值最小，通过证明，得出，即可求解．
【详解】解：以为边构造等边三角形，连接，延长交于点H，
∵为等边三角形，
∴，，
∵为的高，
∴，
∵绕点C顺时针旋转60度得到，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长，
当点D、F、G在同一条直线上时，，此时最小，
∵等边边长为6，面积是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长．
故答案为：．

38．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的面积，勾股定理，作于，利用勾股定理求出，再根据旋转的性质可得， ，，，然后利用面积法求出，又由勾股定理得到， ，再由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：作于，如图，
在中，，，，
∴ 是直角三角形，，
∵绕顶点逆时针旋转到 ，
∴， ，，，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：．
39．（23-24九年级上·重庆彭水·期末）如果一个自然数的各位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，各位数字之和为8，则称数为“优数”，并把数分解成的过程，称为“最优分解”．例如：数 “优数”(填：是或不是)；若把一个“优数”进行“最优分解”，即，与之和记为，与之差的绝对值记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值是 ．
【答案】 是
【分析】
此题主要考查了新定义，分解因数，整除问题；先将分解因数，再判断即可得出答案；设两位数的个位数字为，十位数字为，则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数，得出，，进而得出，，进而得出，再判断出或或，最后分三种情况利用能被整除，求出的值，即可求出答案．
【详解】解：，
是优数；
设两位数的个位数字为，十位数字为，
则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数，
则，，
，
，
令，则，
，
即且为整数，
，
，
，且为整数，
或或，
①当时，，此数的个位数字必为，
，
，
能被整除，
或，
或，
②当时，，此数的个位数字为或，
，
，
能被整除，
能被整除，
，
，
③当时，，
，
，
能被整除，
能被整除，
而的个位数字为，
或或，
或不符合要求或不符合要求，
要最大，则最大，
而两位数，的十位数字是，
所以最大，
当，时，，，
；
当，时，，，
，
故答案为：是；．
40．（23-24八年级上·四川内江·期中）设为正整数，且，则等于 ．
【答案】
【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可．
【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数）
同理，（为整数）．
由，得
，
，
故，，
所以，．
因此，，．，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用．