【期中讲练测】北师大版八年级下册数学压轴真题必刷04 因式分解 （压轴专练）.zip

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压轴一：因式分解四大方法压轴二：因式分解的应用
压轴三：因式分解的新材料定义压轴四：因式分解的综合问题
【题型归纳】
题型一：因式分解四大方法
1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列算式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键．
【详解】解：A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项正确，不符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项错误，符合题意．
故选：D．
2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）对于正整数，若（，且为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定如：12的分解有，，，其中，为12的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解，关键是根据最佳分解列出方程确定方程有无解．
是的最佳分解，再根据新定义逐项判断即可．
【详解】，，
n为正整数，
，
，
是的最佳分解，
，
A、当时，，，是矛盾的则不可能存在，故此选项符合题意；
B、当时，，则选项可能存在，故此选项不符合题意；
C、，，则选项可能存在，故此选项不符合题意；
D、当时，，则选项可能存在，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（23-24八年级上·山东淄博·期中）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：青，爱，我，数，学，高，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱高青C．我爱高青D．高青数学
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握分解因式的方法，准确分解因式是解题的关键．
【详解】解：∵
，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱高青，故C正确．
故选：C．
4．（23-24八年级上·山东烟台·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)
(7)；
(8)；
(9)．
【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【小题4】 【小题5】 【小题6】 【小题7】 【小题8】 【小题9】
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
（1）先提取公因式再利用公式法分解因式即可；
（2）直接利用公式法分解因式即可；
（3）直接找出各式的公因式进而提取公因式分解因式即可；
（4）直接找出各式的公因式进而提取公因式分解因式即可；
（5）直接利用公式法分解因式即可；
（6）直接利用公式法分解因式即可；
（7）直接利用公式法分解因式即可；
（8）直接利用公式法分解因式即可；
（9）直接利用公式法分解因式即可．
【详解】（1）
；
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
5．（23-24八年级上·北京东城·期中）【例题讲解】因式分解：．
∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：，
∴恒成立．
∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得，
∴．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
(1)若，则__________；
(2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式．
【答案】(1)1
(2)，另一个因式为：．
【分析】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键．
（1）将展开，结合多项式的恒等关系即可求解；
（2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
（2）设多项式另一个因式为，
则
，，，
，，
，即另一个因式为：．
题型二：因式分解的应用
6．（23-24八年级上·四川内江·期中），则代数式的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：，，，
，，，
则
，
当，，时，原式．
故选：D．
7．（22-23八年级上·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且，．abc的最大值为M，最小值为N，则 ．
【答案】
【分析】由已知条件整理出，再利用因式分解法转化为求的正整数解，据此得到或或或，据此解得a的值，最后代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，，都是正整数，
或或或，
或或或，
或，
即的最大值为，最小值为，即，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解法、二元一次方程组的整数解等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）已知实数x，y，z满足，且，则z的最大值为 ．
【答案】
【分析】依据转换得到，，将变形为整理得即，结合得求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了已知式子的值求字母的取值范围，因式分解综合应用，完全平方公式及平方的非负性；解题的关键是熟练利用因式分解进行综合运算．
9．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）对于任意实数，，我们规定：，，例如：，．
(1)填空：
①_________；
②若，则_________；
③若，则_________0．（填“”，“”或“=”）
(2)若，且，求与的值；
(3)若正整数，满足，，求的值．
【答案】(1)①；②3；③0
(2)3，1
(3)3或6
【分析】（1）①由题意知，，计算求解即可；②由题意知，，计算求解即可；③由题意知，，则，然后作答即可；
（2）由题意知，，整理得，，根据，，计算求解即可；
（3）由题意知，，则，，，整理得，，即，分当时，当时，当时，当时，当时，当时；计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）①解：由题意知，，
故答案为：；
②解：由题意知，，
解得，，
故答案为：3；
③解：由题意知，，
∴，
故答案为：0；
（2）解：∵，
∴，整理得，，
∵，
∴，
∴；
∴的值为3，的值为1；
（3）解：∵，，
∴，
∴，即，
∵正整数，，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，整理得，，
∴，
∴当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述，的值为3或6．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
10．（22-23八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料：
目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：
第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到；
第二步，去括号，和对比发现，
二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）；
第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了．
请使用上述方法回答下列问题：
(1)因式分解：
①；
②；
(2)对关于的多项式因式分解：．
【答案】(1)①②
(2)
【分析】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键．
（1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案；
②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案；
（2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案．
【详解】（1）①由题意得，，，，
所以可凑数，，
故；
②由题意得，，，，
所以可凑数，，
则，，
又可凑数，，
故；
（2）设，
则，
凑数，，
，
，，
分四种情况讨论：
当，时，代入，不成立，舍去；
当，时，代入，不成立，舍去；
当，时，代入，成立，符合题意；
当，时，代入，不成立，舍去；
所以只有，，
故．
题型三：因式分解的新材料定义
11．（23-24八年级上·广东江门·期中）阅读材料，解决问题
【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．
原式．
【材料】因式分解：
解：把看成一个整体，令，则
原式，再将重新代入，得：原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料，利用配方法进行因式分解：；
(2)根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：；
(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）利用完全平方进行因式分解；
（3）先因式分解，判断字母、、三边的关系，再判定三角形的形状．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设，
∴；
（3）解：是等腰三角形．理由如下：
，
∴，
∴，
∴，，，
得，，，．
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若
①当x，y，n满足条件：时，求n的值；
②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长．
【答案】(1)
(2)①②或或或
【分析】（1）仿照“配方法”进行因式分解即可；
（2）可求，①可得，即可求解；②可得，从而可求取、、、，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：由题意得
，
，
解得：，
①，
，
，
，
解得：；
②，
，
为偶数，
取、、、
；
或
；
或
；
或
；
故的周长为或或或．
【点睛】本题考查了“配方法”因式分解，非负数的和，三角形三边关系，幂的乘法的逆用，同底数幂的乘法，理解“配方法”因式分解，掌握三边关系及公式是解题的关键．
13．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)2022
【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为，
，
故答案为：，．
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，
∵，
∴原式．
（3）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键．
14．（21-22八年级下·山东青岛·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；
（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
（2）解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
（3）解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
（4）解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
（5）解：，
，
．
（6）解：由（4）可知，，
则
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
15．（20-21八年级下·重庆南岸·期中）若一个正整数是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“半平分数”，为的“半平分点”．例如，，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)是80的“半平分点”，则______；的“半平分数”“半平分点”为1，则______；当为正整数时，整数______．
(2)把“半平分数”与“半平分数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“半平分数”的“半平分数”为，“半平分数”的“半平分点”为，当时，求的值．
【答案】(1)8；3；或或1或5
(2)的值为或．
【分析】（1）直接应用新定义的运算规则，即可求解．
（2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出．
【详解】（1）解：∵，∴；
∵，∴；
∵为正整数，
∴或2或4或8，
整数或或1或5；
故答案为：8；3；或或1或5；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
即，
∵s、t都是正整数，
∴、都是正整数，
∵，
∴或或或，
解得(舍) 或或或(舍)，
∴的值为或．
题型四：因式分解的综合问题
16．（20-21八年级下·内蒙古包头·期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
(2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法 次，结果是 ；
(3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是 ．
(4)请利用以上规律计算：（1+2x）3．
【答案】(1)提公因式法，2
(2)2019，（1+x）2020
(3)（1+x）n+1
(4)8x3+12x2+6x+1
【分析】(1 )根据阅读因式分解的过程即可得结论；
(2)结合(1)和阅读材料即可得结论；
(3 )根据阅读材料的计算过程进行解答即可；
(4)利用规律进而得出答案即可．
【详解】（1）阅读因式分解的过程可知：
上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）原式＝（1+x）2020，则需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020，
故答案为：2019，（1+x）2020；
（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]
＝（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1；
（4）（1+2x）3＝1+2x+2x（2x+1）+2x（2x+1）2＝8x3+12x2+6x+1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．
17．（21-22八年级上·北京昌平·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
(2)若为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的的值为 ；
(3)在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式，
小娟：原式，
你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．
【答案】(1)②
(2)或5
(3)我欣赏小娟的做法，见解析
【分析】（1）根据和谐分式的定义判断即可得出答案；
（2）根据完全平方公式和十字相乘法即可得出答案；
（3）小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母，完成化简即可．
【详解】（1）解：①分子或分母都不可以因式分解，不符合题意；
②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，符合题意；
③这个分式可以约分，不符合题意；
故答案为：②；
（2）解：将分母变成完全平方公式得：，此时；
将分母变形成，此时；
故答案为：或5；
（3）我欣赏小娟的做法，
原式
，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
（3）解：我欣赏小娟的做法，
原式
，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握在分式的混合运算中，能因式分解的多项式要分解因式，便于约分．
18．（20-21八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对任意的点P(x，y)，定义P的绝对坐标|P|＝|x|+|y|．任取点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记(x1，y2)，(x2，y1)，若此时|A|2+|B|2≤||2+||2成立，则称点A，B相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ；
①A(﹣2，1)，B(3，2)；②C(4，﹣3)，D(2，4)．
（2）①对于点P(x，y)，其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．则所有满足条件的P点有 个；
②求所有满足①条件的所有点中与点E(3，3)相关的点的个数；
③对于满足①条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B两点，点A，B都相关，求n的最大值．
【答案】（1）②；（2）①169；②108；③n的最大值是108．
【分析】（1）①根据相关点定义由A(﹣2，1)，B(3，2)，得出A′（-2，2），B′（3，1），求四点绝对值的和，再求绝对值和的平方，比较大小即可；
②根据相关点定义由C(4，﹣3)，D(2，4)，得出，求四点绝对值的和，再求绝对值和的平方，比较大小即可；
（2）①根据﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6， 可得x共13个整数，y共13个整数，利用有理数的乘法可得所有满足条件的P（x,y）共有13×13=169个即可；
②根据相关点定义设点E(3，3)的相关点Q（m，n）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤n≤6，其中m，n是整数．根据点E，Q是相关点，得出，因式分解得：，解绝对值不等式得出不等式组的解集，7×4=28个.，7×4=28个；,，4×7=28个.，4×7=28个；四个区域点数求和即可；
③设点A（x,y）其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数,B（m，k）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤k≤6，其中m，k是整数．根据A、B是相关点，可得，因式分解得：，得出不等式组的解集或或或，由②发现由y=x与y=-x，分成四个部分，满足条件或或或是在每部分中长方形区域，在区域内都满足任意两点都是相关点，每个区域中都有两个点在y=x与y=-x上，根据x=y讨论即可得解．
【详解】解：（1）①A(﹣2，1)，B(3，2)；A′（-2，2），B′（3，1），
∴，
∴；，
∵＞，
∴①不是相关点，
②C(4，﹣3)，D(2，4)，，
，
∴；，
∵＜，
∴②是相关点；
故答案为：②；
（2）①对于点P(x，y)，其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．
∴x=-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，共13个整数，
∴y=-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，共13个整数，
所有满足条件的P（x,y）共有13×13=169个，
故答案为169；
②点E(3，3)，设点Q（m，n）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤n≤6，其中m，n是整数．
∵点E，Q是相关点，
∴，
整理得：，
因式分解得：，
∴或，
由得出两组解，
当时，
m=-3，-2，-1，0，1，2，3；n=-3，-4，-5，-6，7×4=28个；
当时，
m=-3，-2，-1，0，1，2，3；n=3，4，5，6，7×4=28个；
由，得出两组解，
当时，
m=-3，-4，-5，-6，n=-3，-2，-1，0，1，2，3；4×7=28个；
当时，
m=3，4，5，6，n=-3，-2，-1，0，1，2，3；4×7=28个；
（3，3）（3，-3）（-3，-3）（-3，3）各用两次，
所有与点E(3，3)相关的点的个数有4×28-4=108个，
故答案为108；
③设点A（x,y）其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数,B（m，k）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤k≤6，其中m，k是整数．
∵A、B是相关点，
∴，
整理得：，
因式分解得：，
或，
∴或，
∴或或或，
∴当x=y时，四点,组成正方形，由对角线y=x与y=-x，分成四个部分，每个部分中满足条件或或或是在每部分中长方形区域，在区域内都满足任意两点都是相关点，
每个区域中都有两个点在与上，当点P（x，y），
当x=y=0时，为坐标轴上点，4个区域中，每个区域有7个点，4各区域有（7-1）×4+1=25个，
当x=y=1时，正方形四个顶点为（1，1），（-1，1），（-1，-1），（1，-1），对角线分成4个区域中，正方形每边有3点，每个区域有三行，每行有6个点，每个区域有6×3=18个点，4个区域有（18-1）×4=68个，
当x=y=2时，正方形四个顶点为（2，2），（-2，2），（-2，-2），（2，-2），对角线分成4个区域中，正方形每边有5点，每个区域有五行，每行有5个点，4个区域中，每个区域有5×5=25个点，4个区域有（25-1）×4=96个，
当x=y=3时，正方形四个顶点为（3，3），（-3，3），（-3，-3），（3，-3），对角线分成4个区域中，正方形每边有7点，每个区域有七行，每行有4个点，4个区域中，每个区域有4×7=28个点，4个区域有（28-1）×4=108个，
当x=y=4时，正方形四个顶点为（4，4），（-4，4），（-4，-4），（4，-4），对角线分成4个区域中，正方形每边有9点，每个区域有九行，每行有3个点，4个区域中，每个区域有3×9=27个点，4个区域有（27-1）×4=104个，
当x=y=5时，正方形四个顶点为（5，5），（-5，5），（-5，-5），（5，-5），对角线分成4个区域中，正方形每边有11点，每个区域有十一行，每行有2个点，4个区域中，每个区域有2×11=22个点，4个区域有（22-1）×4=84个，
当x=y=6时，正方形四个顶点为（6，6），（-6，6），（-6，-6），（6，-6），对角线分成4个区域中，正方形每边有13点，每个区域有十三行，每行有1个点，4个区域中，每个区域有1×13=13个点，4个区域有（13-1）×4=48个，
∴n的最大值是108．
【点睛】本题考查新定义概念，点的坐标，绝对值，完全平方公式，因式分解，一次函数，不等式组的解集，区域中整点，掌握新定义概念，点的坐标，绝对值，绝对值不等式，完全平方公式，因式分解，一次函数，不等式组的解集，区域中整点是解题关键
19．（20-21八年级上·湖南长沙·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．
如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为．
（1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”；
（2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；
（3）已知分式，，（、、为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值．
【答案】（1）不是，利用见解析；（2）；（3）或或或
【分析】（1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案；
（2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案；
（3）由定义可得：整理可得：从而可得：，再消去，结合因式分解可得结合、、为整数，分类讨论后可得答案．
【详解】解：（1）

不是的“雅中式”．
（2） 关于的“雅中值”是，





为整数，且“雅中式”的值也为整数，
是的因数，
可能是：
的值为：

的值为：

（3） 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，


整理得：
由上式恒成立：

消去可得：



、、为整数
为整数，
当时，
此时：

当时，
此时：

当时，
此时：

当时，
此时：

综上：的值为：或或或
【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
20．（19-20七年级下·安徽安庆·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
【答案】（1）；（2）；（3）4．
【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；
（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）原式
；
（2）
当时，有最小值；
（3）
解得
则．
【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．
21．（18-19八年级下·广东深圳·期中）阅读下列材料：
1637 年笛卡尔(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即
令时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．
令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；
（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．
【答案】（1）；（2）a+ b=
【分析】（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案
（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值带入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案
【详解】（1）令：，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，
解得：，
从而=x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设（其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；
所以：x=-1，x=2是方程的解，
所以，
解得a=8，b=-39，
∴a＋b=8+(-39) =-31．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，理解因式分解定理的推演过程是解答此题的关键．
22．（18-19七年级下·湖南邵阳·期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①
②
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【答案】（1）①（d﹣c）（a﹣b）；②（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）；（2）（1+x）n+1
【分析】（1）①利用分组后直接提公因式分解；
②利用分组后直接运用公式分解；
（2）把添加括号，利用分组后直接提取公因式，反复运算得结论．
【详解】解：（1）①原式
②原式
（2）原式
【点睛】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键．
23．（19-20八年级上·山东威海·期中）【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
【问题解决】
（1）因式分解：；
（2）因式分解：；
（3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】（1）．（2）；（3）见解析.
【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；
（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】（1）；
（2）；
（3）原式
．
∵为正整数，
∴为正整数．
∴代数的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
24．（18-19八年级下·江西九江·期中）已知方程组的解x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简∣a-3∣+∣a+2∣；
（3）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x-3=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）；
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
①分解因式：m2-4m-5=
②当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+13=0．
③当a，b为何值时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+10=0．
【答案】（1） ；（2）5；（3）①（m-5）（m+1）；②当a=2，b=﹣3时；③当a=4，b=3时，原式=0
【分析】（1）直接求解，得到含有a的解，然后根据题干给出的x为非正数，y为负数，得到关于a的一元一次不等式组，求出解集即可．
（2）由（1）知a的范围，再判断出a-3，a+2的正负，再去括号．
（3）①根据题干中配方法的特点把m2﹣4m﹣5=m2﹣4m+4﹣9，再去运用完全平方差公式．
②把原式中的13化为，再结合成两个完全平方式，利用非负数的性质求解．
③把原始中-2ab -2a结合得到-2a（b+1），然后与a2配方，最后化简整理与剩下的单项式得到另一个完全平方式，最后求解．
【详解】解：（1）解方程组得
由题意，得
解得．
（2）∵，
∴，
则 =3-a+（a+2）=5
（3）①m2﹣4m﹣5=m2﹣4m+4﹣9=（m﹣2）2﹣9 =（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）=（m+1）（m﹣5）．
②∵a2+b2﹣4a+6b+13=（a﹣2）2+（b+3）2，
∴当a=2，b=﹣3时，原式为0．
③∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+10=0
则
即
则 时，原式为0．
【点睛】本题考查了配方法在非负数中的应用，解题关键在于通过配方，得到完全平方式，还要相应的减掉多余的配方部分，才能使原式不变．两个非负数相加等于0，则只有0+0=0一种情况．