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【期中讲练测】北师大版七年级下册数学 期中选择填空.zip
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这是一份【期中讲练测】北师大版七年级下册数学 期中选择填空.zip，文件包含期中讲练测北师大版七年级下册数学期中选择填空必刷原卷版docx、期中讲练测北师大版七年级下册数学期中选择填空必刷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
一．多项式乘多项式（共1小题）
1．若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
A．0B．2C．D．﹣2
【答案】B
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3+2ax2+4x﹣4x2﹣4ax﹣8
＝2x3+（﹣4+2a）x2+（﹣4a+4）x﹣8，
∵（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，
∴﹣4+2a＝0，
解得：a＝2．
故选：B．
二．完全平方公式（共6小题）
2．已知（a+b）2＝29，（a﹣b）2＝13，则ab的值为（ ）
A．42B．16C．8D．4
【答案】D
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴29﹣13＝4ab，
∴ab＝4．
故选：D．
3．已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（ ）
A．4046B．2023C．4042D．4043
【答案】A
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2
＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故选：A．
4．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”设（a+b）n的展开式中各项系数的和为an，若21010＝x，则a1+a2+a3+…+a2020的值为（ ）
A．2x2B．2x2﹣2C．2020x﹣2D．2020x
【答案】B
【解答】解：观察所给数据可得，a1＝2，a2＝1+2+1＝4＝22，a3＝1+3+3+1＝8＝23，a4＝1+4+6+4+1＝16＝24，…，a2020＝22020，
∵21010＝x，
∴a2020＝22020＝x2，
∵a1+a2＝2+4＝6＝2（22﹣1），
a1+a2+a3＝2+4+8＝14＝2（23﹣1），
…，
∴a1+a2+a3+…+a2020
＝2（22020﹣1）
＝2（x2﹣1）
＝2x2﹣2．
故选：B．
5．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是 112 ．
【答案】112．
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
6．已知x满足（x﹣2014）2+（2016﹣x）2＝8，则（x﹣2015）2的值是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程（x﹣2014）2+（2016﹣x）2＝8可变形为：
[（x﹣2015）+1]2+[（x﹣2015）﹣1]2＝8
设x﹣2015＝y
则原方程可转化为：（y+1）2+（y﹣1）2＝8
∴y2+2y+1+y2﹣2y+1＝8
即2y2＝6
∴y2＝3
即（x﹣2015）2＝3．
故答案为：3．
7．已知a+＝﹣2，则＝ 2 ，＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：＝2，
∴对其两边进行平方得；＝2，
∵＝（）（）＝（a+）（a﹣）×2，
∵＝﹣2＝2﹣2＝0，
∴a﹣＝0，
故＝（a+）（a﹣）×2＝0．
故答案为：2，0．
三．完全平方公式的几何背景（共2小题）
8．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．
故选：A．
9．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为23；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 49 ．
【答案】49．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b．
∴a2﹣b2＝3，（a+b）2﹣a2﹣b2＝23．
∴2ab＝23．
∵图3阴影部分的面积＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝4a2+4ab+b2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab，
∴图3阴影部分的面积＝3+2×2ab＝3+2×23＝49．
故答案为：49．
四．完全平方式（共1小题）
10．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为 8 张．
【答案】8．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，即S大正方形＝SA+SB+2SC，
∴要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．
∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+2b2+8ab，即S矩形＝6SA+2SB+8SC，
∴若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张，
故答案为：8．
五．平方差公式（共1小题）
11．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，12＝42﹣22，16＝52﹣32，15＝42﹣12，21＝52﹣22，27＝62﹣32……）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则2021是第 1514 个“智慧数”；第2021个“智慧数”是 2697 ．
【答案】1514；2697．
【解答】解：∵2021÷4＝，
∴1+3×504+1＝1514（个），
∴2021是第1514个智慧数；
∵（2021+2）÷3＝，
∴674×4+1＝2697，
∴第2021个智慧数是2697．
故答案为：1514，2697．
六．平方差公式的几何背景（共1小题）
12．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】D
【解答】解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，
图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）
根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
比较各选项，只有D符合题意
故选：D．
七．整式的混合运算（共3小题）
13．在矩形ABCD内将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝4时，S2﹣S1的值为（ ）
A．4aB．4bC．4a﹣4bD．5b
【答案】B
【解答】解：由图可得，
S1＝AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a），
S2＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a），
S2﹣S1
＝[AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）]﹣[AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）]
＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）﹣AD•AB+a2+b（AD﹣a）
＝﹣b•AB+ab+b•AD﹣ab
＝b（AD﹣AB），
∵AD﹣AB＝4，
∴b（AD﹣AB）＝4b，
即S2﹣S1＝4b，
故选：B．
14．如图，长方形ABCD被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形CEFG，若小长方形CEFG的两边EC＝5，EF＝8，则大长方形的两边的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，设HI＝a，则FG＝5，DN＝13﹣a，BM＝a+5，AN＝2a+5，
在长方形ABCD内，AB＝CD，
即 AM+BM＝DE+CE∴2a+5+a+5＝13﹣a+5，
解得a＝2，
∴AB＝16，BC＝20，
∴，
故选：B．
15．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为 7或 ．
【答案】7或．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或．
当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7；
当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG
＝
＝．
故答案为7或．
八．动点问题的函数图象（共3小题）
16．如图，四边形ABCD是矩形，点P从边AD上点E出发，沿直线运动到矩形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点B，最后沿BC运动到点C．设点P运动的路程为x，△CDP的面积为y，图2是y关于x变化的函数图象，根据图像，下列判断正确的是（ ）
A．AB＝4
B．点P经过矩形ABCD对角线的交点
C．
D．当3≤x≤8时，AP长度的最小值为4
【答案】B
【解答】解：由题意知，当P与B重合时，x＝8，S△CDP最大，
当点P在BC上运动，S△CDP逐渐减小，直至P与C重合时，则x＝16，
∴BC＝16﹣8＝8，S△CDP的最大值＝，
∴CD＝AB＝6，
∴CD＝AB＝6，
∴A错误，不符合题意；
，
∴，
∴C错误，不符合题意；
当0≤x≤3时，点P在EF上，EF⊥AD，EF＝3，，
∴DE＝4，
∴点E是AD的中点，即点P从AD的中点出发，延长EF交BC于点G，
∵BF＝5，用勾股定理可求FG＝3，
∴F是EG的中点，
∴点F是矩形ABCD对角线的交点，即点P经过矩形对角线的交点，
∴B正确，符合题意；
作AH⊥BF，连接AF，如图，
当3≤x≤8时，点P在FB上运动，
S△AFB＝S矩形AEGB，即BF•AH＝AE•AB，
•×5AH＝×6×4，
解得：，
∴当3≤x≤8时，AP长度的最小值即为AH的值，
∴D错误，不符合题意；
故选：B．
17．如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 12 ．
【答案】12．
【解答】解：从图（2）看，BC＝6，CD＝4，
则当x＝6时，点P在点C处，则m＝y＝×AB×BC＝6×4＝12，
故答案为：12．
18．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P的运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD的周长是 16 ．
【答案】16．
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＞3时，y不发生变化，说明BC＝3，x＝8时，接着变化，说明CD＝8﹣3＝5，
∴AB＝5，BC＝3，
长方形ABCD的周长是：2（AB+BC）＝16，
故答案为：16
九．余角和补角（共1小题）
19．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①OE平分∠AOD；
②∠AOC＝∠EOD；
③∠AOC﹣∠CEA＝15°；
④∠COB+∠AOD＝180°．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，
即∠AOC＝∠BOD，故②错误；
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB+∠AOD＝∠AOB+∠COD＝180°，故④正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°，
∴∠AOC﹣∠CEA＝15°．故③正确；
没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．
故选：C．
一十．相交线（共1小题）
20．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为a1，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为 a2，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为 a3，...，（n+1）条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为an，若，则n＝（ ）
A．30B．31C．20D．21
【答案】A
【解答】解：根据题意，得，
两条直线最多将平面分成4个区域，即a1＝4，
三条直线最多将平面分成7个区域，即a2＝7，
四条直线最多将平面分成11个区域，即a3＝11，..．
则a1﹣1＝3＝1+2，
a2﹣1＝6＝1+2+3，
a3﹣1＝10＝1+2+3+4..．
∴an﹣1＝1+2+3+…+n+1，
∴++...+
＝
＝
＝2[]
＝2[]
＝2[]
＝，
∵，
∴，
∴1﹣＝，
∴n＝230，
经检验，n＝30是原方程的解．
故选：A．
一十一．平行线的判定（共2小题）
21．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，CD与AB平行．（ ）
A．4秒B．10秒C．40秒D．4或40秒
【答案】D
【解答】解：如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得：t＝4；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF＝360°﹣6t°﹣60°＝300°﹣6t°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得：t＝40，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∴∠DCF＝6t°﹣（180°﹣60°+180°）＝6t°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，
解得：t＝40，
此时t＞50，
而40＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
故选：D．
22．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ 秒或秒 ．
【答案】 秒或秒．
【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分二种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t＝；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t＝；
综上所述，当时间t的值为 或秒时，CD与AB平行．
故答案为： 秒或秒．
一十二．平行线的性质（共8小题）
23．如图，DC∥AB，AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分∠AEC．若∠EAD+∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，则下列结论：①∠EAD＝2∠FEG；②∠AED＝45°+∠GEF；③∠EAD＝135°﹣4∠GEC；④∠EAD＝15°，其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵EG平分∠FEC，
∴∠FEG＝∠CEG，
设∠FEG＝∠CEG＝α，
∴∠FEC＝2α，
∵∠EDA＝3∠CEG，
∴∠EDA＝3α，
∵EC⊥DC，DC∥AB，
∴EB⊥AB，∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝90°+2α，
∵∠AEC＝∠B+∠EAB＝90°+∠EAB，
∴90°+2α＝90°+∠EAB，
∴∠EAB＝2α＝2∠FEG，
∵ED平分∠AEC，
∴，故②正确；
∵∠AED＝45°+α，∠EDA＝3α，
∴∠EAD＝180°﹣∠AED﹣∠EDA＝180°﹣（45°+α）﹣3α＝135°﹣4α＝135°﹣4∠GEC，故③正确；
∵∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠EAB+∠DAE+∠EAD＝180°，
∴2α+2（135°﹣4α）＝180°，
∴α＝15°，
∴∠EAD＝135°﹣4α＝75°≠2α，故①④错误，
故两个正确．
故选：B．
24．如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC＝50°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF，②∠1＝65°，③∠ACE＝2∠4，④∠3＝2∠4．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【解答】解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，
∴∠ACB＝1/2∠ACD，∠ACF＝1/2∠ACG，
∵∠ACG+∠ACD＝180°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴CB⊥CF，故①正确，
∵CD∥AB，∠BAC＝50°，
∴∠ACG＝50°，
∴∠ACF＝∠4＝25°，
∴∠ACB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠BCD＝65°，
∵CD∥AB，
∴∠2＝∠BCD＝65°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝65°，故②正确；
∵∠BCD＝65°，
∴∠ACB＝65°，
∵∠1＝∠2＝65°，
∴∠3＝50°，
∴∠ACE＝15°，
∴③∠ACE＝2∠4错误；
∵∠4＝25°，∠3＝50°，
∴∠3＝2∠4，故④正确，
故选：B．
25．如图①，有一个长方形纸条ABCD，AB∥CD，AD∥BC．如图②，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，如图③，将四边形CDGF沿GF向上折叠，DG与EF交于点H，若∠GEF＝16°，则∠DHF的度数为（ ）
A．32°B．48°C．60°D．64°
【答案】B
【解答】解：因为AB∥CD，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，∠GEF＝16°，
所以∠BFE＝∠GEF＝16°，∠EGF＝180°﹣16°×2＝146°，
所以∠DGF＝180°﹣∠EGF＝32°，
所以∠DHF＝∠BFE+∠DGF＝48°，
故选：B．
26．如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，∠CED＝90°，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，则下列结论：①；②DE平分∠GEB；③∠CEF＝∠GED；④∠FED+∠BEC＝180°；其中正确有（ ）
A．①②B．②③④C．①②③④D．①③④
【答案】C
【解答】解：∵∠CGE＝a，AB∥CD，
∴∠CGE＝∠GEB＝a，
∴∠AEG＝180°﹣a，
∵CE平分∠AEG，
∴∠AEC＝∠CEG＝∠AEG＝90°﹣a，
故①正确；
∵∠CED＝90°，
∴∠AEC+∠DEB＝90°，
∴∠DEB＝a＝∠GEB，
即DE平分∠GEB，
故②正确；
∵EF⊥CD，AB∥CD，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝a，
∵∠GED＝∠GEB﹣∠DEB＝a，
∴∠CEF＝∠GED，
故③正确；
∵∠FED＝90°﹣∠BED＝90°﹣a，
∠BEC＝180°﹣∠AEC＝90°+a，
∴∠FED+∠BEC＝180°，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：C．
27．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝ 15 °．
【答案】15．
【解答】解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，
∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，
∴∠BFE＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°，
∴∠AEF＝115°，
∴∠A'EF＝115°，
过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，
∵AD∥BC，
∴∠MB'F＝∠1，
∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，
∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，
∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，
∵∠A'＝90°，
∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，
∴∠A'EH＝2×50°＝100°，
∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．
故答案为：15．
28．如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 2n °．
【答案】2n．
【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；
…
以此类推，∠En＝∠BEC．
∴当∠En＝1°时，∠BEC等于（2n）°．
故答案为：2n．
29．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为 68° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．
则有，
①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，
∵∠E＝34°，
∴∠GMC＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC＝∠B＝68°，
故答案为68°．
30．如图，已知AB∥CD，∠BAC＝120°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC＝2∠AMC，当∠PCN＝∠PNC时，∠PCM＝ 22.5°或5° ．
【答案】22.5°或5°．
【解答】解：①设∠PCN＝α，
∵∠PCN＝∠PNC，
∴∠PNC＝4α，
∵∠ANC＝2∠AMC，∠ANC＝∠AMC+∠NCM，
∴∠AMC＝∠NCM＝2α，
∴∠PCM＝∠PCN+∠NCM＝3α，
∵CP平分∠ACM，
∴∠PCM＝∠ACP＝3α，
∴∠ACD＝2∠ACP+∠MCD＝6α+2α＝8α，
∵AB∥CD，∠BAC＝120°，
∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°，
∴8α＝60°，
∴α＝，
∴∠PCM＝3α＝22.5°．
②当点N在点A的左侧时，
设∠PCN＝α，∠ACP＝β，
∵CP平分∠ACM，
∴∠PCM＝∠ACP＝β，
∴∠ACN＝∠PCN﹣∠ACP＝α﹣β，
∴∠PNC＝4∠PCN＝4α，∠NMC＝2α，
∵AP∥CD，∠BAC＝120°，
∴∠NMC＝∠MCD＝2α，∠ACD＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠MCD＝∠ACD﹣∠ACP＝60°﹣2β，
∴2α＝60°﹣2β，即：α＝30°﹣β，
∵∠CAB＝∠PNC+∠ACN，
∴120°＝4α+α﹣β，
∴5α﹣β＝120°，
将α＝30°﹣β代入上式解得：β＝5°，
∴∠PCM＝β＝5°；
③当点N在A，P之间时，
设∠PCN＝α，∠ACN＝β，则∠ACP＝α+β，
∵CP平分∠ACM，
∴∠ACP＝∠PCM＝α+β，∠ACM＝2（α+β），
∴∠MCD＝60°﹣∠ACM＝60°﹣2（α+β），
由已知得：∠PNC＝4∠PCN＝4α，
∴∠ANC＝180°﹣∠PNC＝180°﹣4α，
∵∠ANC＝2∠NMC，
∴∠NMC＝90°﹣2α，
∵∠NMC＝∠MCD，
∴90°﹣2α＝60°﹣2（α+β），
∴β＝﹣15°，不合题意，此种情况不存在．
综上所述：∠PCM的度数为22.5°或5°．
故答案为：22.5°或5°．
一十三．三角形的面积（共3小题）
31．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．若a＝10，则△AFC的面积为（ ）
A．25B．50C．75D．5b
【答案】B
【解答】解：方法一：
∵正方形ABCD的边长为a，正方形EFGB的边长为b，
∴CG＝a+b，AE＝a﹣b，S正方形ABCD＝a2，S正方形ABCD＝b2，S△ACD＝a2，
∴S△AEF＝AE×EF＝b（a﹣b）＝ab﹣b2，S△FCG＝CG×FG＝b（a+b）＝ab+b2，
∴S△AFC＝S△AEF+S正方形ABCD+S正方形ABCD﹣S△ACD﹣S△FCG＝ab﹣b2+b2+a2﹣a2﹣（ab+b2）＝a2，
∵a＝10，
∴S△AFC＝×102＝50，
方法二：
如图，连接BF，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠FBG＝∠ACB＝45°，
∴BF∥AC，
∴S△AFC＝S△ABC＝a2＝×102＝50，
故选：B．
32．如图，在锐角三角形ABC中，M为三角形内部一点，∠AMC＝2∠ABM，MC＝MA，BC＝17，AB＝15，则△ABM的面积为 30 ．
【答案】30．
【解答】解：设∠ABM＝α，则∠AMC＝2α，
旋转△AMB到△CME，延BM交EC于点D，
则∠MEC＝∠ABM＝α，ME＝MB，CE＝AB＝15，∠AMB＝∠CME，
∴∠AMB﹣∠AME＝∠CME﹣∠AME，
即∠BME＝∠AMC＝2α，
又∵ME＝MB，
∴∠MEB＝∠MBE＝＝90°﹣α，
∴∠CEB＝∠CEM+∠MEB＝α+（90°﹣α）＝90°，
∴BE＝＝8，
∵∠MEB＝∠MBE，∠MEB+∠MED＝∠MBE+∠MDE＝90°，
∴∠MED＝∠MDE，
∴DM＝ME＝MB，
作MN⊥CE于N，
∴MN∥BE，
∴MN＝BE＝4，
∴S△ABM＝S△CEM＝CE×MN＝15×4＝30．
故答案为：30．
33．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2022次后得到的△A2022B2022C2022的面积为 72022 ．
【答案】72022．
【解答】解：如图所示，连接AB1、BC1、CA1，
根据等底等高的三角形面积相等，
则△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
∴，
同理可得：，
以此类推，△A2022B2022C2022的面积＝72022S△ABC，
∵S△ABC＝1，
∴△A2022B2022C2022的面积＝72022；
故答案为：72022．
一十四．三角形内角和定理（共7小题）
34．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（ ）
A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°
【答案】D
【解答】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵B'D∥C'G，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180° ①，
∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α ②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．
35．如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠ABC
＝180°﹣（∠ABC+∠A）﹣（180°﹣∠A﹣∠ABC）﹣∠ABC
＝∠A
＝；
同理可得∠A2＝∠A1＝，…
∴∠An＝．
∴要使∠An的度数为整数，则n的最大值为4，此时∠A4＝3°．
故选：C．
36．三角形是一种常见且神奇的图形，我们小学阶段就知道，三角形的内角和等于180°．如图，△ABC的角平分线BE、CD相交于点F，∠A＝90°，GD∥BC，BG⊥GD于点G，下列结论：①∠CBG＝90°；②∠BDG＝2∠ABE；③∠BFD＝∠FBC+∠FCB；④∠AEB＝∠EBG；⑤∠CFE＝45°，其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【解答】解：①∵BG⊥GD于点G，
∴∠G＝90°．
∵GD∥BC，
∴∠G+∠GBC＝180°．
∴∠GBC＝180°﹣∠G＝90°．
故①正确．
②∵GD∥BC，
∴∠GDB＝∠DBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE．
∴∠GDB＝2∠ABE．
故②正确．
③根据三角形外角的性质，得∠BFD＝∠FBC+∠FCB，故③正确．
④由①知，∠GBC＝∠GBF+∠FBC＝90°．
∴∠EBG＝90°﹣∠FBC．
∵∠AEB＝∠ACB+∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABC﹣∠ABE+∠EBC．
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ABC＝180°﹣∠A＝90°．
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC．
∴∠AEB＝∠EBG．
故④正确．
⑤由④得，∠ABC+∠ACB＝90°．
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBC＝，∠DCB＝．
∴∠EBC+∠DCB＝．
∴∠CFE＝∠EBC+∠FCB＝45°．
故⑤正确．
综上：正确的有①②③④⑤，共5个．
故选：A．
37．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，B′A交AC于D，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'DB＝72°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．78°B．80°C．82°D．84°
【答案】C
【解答】解：如图，
∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝72°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣72°＝108°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+108°＝180°，
∴∠3＝26°，
∴∠C＝108°﹣26°＝82°，
故选：C．
38．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝ 265 °．
【答案】265°．
【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，
∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′
＝2∠B+35°．
∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC
＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），
∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′
＝360°﹣2∠C，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）
＝360°﹣（360°﹣2∠C）
＝2∠C．
∴∠1+∠2+∠3
＝2∠C+2∠B+35°
＝2（∠C+∠B）+35°
＝2（180°﹣∠A）+35°
＝2（180°﹣65°）+35°
＝265°．
故答案为：265°．
39．已知△ABC中，∠A＝x°，如图1，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C＝ （60+x） °．如图2，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则用x表示∠BO1C＝ （+x） °．
【答案】（60+x）；（+x）．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，
∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，
∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠O1BC+∠O1CB＝180°，
∴∠O1BC+∠O1CB＝（180°﹣∠A），
∵∠BOC＝180°﹣（∠O1BC+∠O1CB）＝60°+∠A，
∵∠A＝x°，
∴∠BO1C＝（60+x）°；
可得规律为：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，
则用x表示∠BO1C＝（+x）°．
故答案为：（60+x）；（+x）．
40．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ 度．
【答案】．
【解答】解：∵BA1平方∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠，．
∵∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC，
∴＝．
同理可证：．
∴．
以此类推，．
当n＝2021，＝．＝．
故答案为：．
一十五．全等三角形的判定（共2小题）
41．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
【答案】C
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
42．如图，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝∠C，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是 1或 ．
【答案】1或．
【解答】解：设P．Q两点的运动时间为t秒，点Q的运动速度为a厘米/秒，
则BP＝2t cm，PC＝（6﹣2t）cm，CQ＝xt cm．
∵AB＝4cm，
①当△ABP≌△PCQ时，
BA＝CP，BP＝CQ．
∴6﹣2t＝4，
∴t＝1；
②当△ABP≌△QCP时，
BA＝CQ＝4cm，BP＝CP＝3cm，
∴2t＝3，
∴t＝．
综上，当t的值是1或时，能够使△ABP与△CQP全等．
故答案为：1或．
一十六．全等三角形的判定与性质（共6小题）
43．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E．下列结论：①∠ABM＝∠ACD；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④S△EDN＝S△ADM．其中正确结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解答】解：∵CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠CMB＝∠AMB＝90°，
∴∠ABM＝∠ACD＝90°﹣∠A，
故①正确；
∵DN⊥MD，交BM于点N，
∴∠MDN＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN＝90°﹣∠CDN，
∵∠BDC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝∠DBC＝45°，
∴CD＝BD，
在△CDM和△BDN中，
，
∴△CDM≌△BDN（ASA），
∴DM＝DN，
故②正确；
∵DM＝DN，∠MDN＝90°，
∴∠DMN＝∠DNM＝45°，
∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°，
故③正确；
∵∠END＝45°，∠AMD＝45°，
∴∠END＝∠AMD，
∵∠EDN+∠CDM＝90°，ADM+∠CDM＝90°，
∴∠EDN＝∠ADM，
在△EDN和△ADM中，
，
∴△EDN≌△ADM（ASA），
∴S△EDN＝S△ADM，
故④正确，
故选：D．
44．如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50°连接BE，CD交于点F，连接AF．下列结论：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；③AF平分∠DAE；④FA平分∠DFE．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，
∴∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD，
故①正确；
设BE交AC于点G，
∴∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝50°，
故②正确；
作AI⊥BE于点I，AJ⊥CD于点J，
∵S△BAE＝S△DAC，
∴AI•BE＝AJ•CD，
∴AI＝AJ，
∴点A在∠DFE的平分线上，
∴FA平分∠DFE，
故④正确；
假设∠DAF＝∠EAF，则∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，
∴∠AFD+∠BFD＝∠AFE+∠CFE，
∴∠AFB＝∠AFC，
在△AFB和△AFC中，
，
∴△AFB≌△AFC（ASA），
∴AB＝AC，与已知条件相矛盾，
∴∠DAF≠∠EAF，
故③错误，
∴①②④这3个结论正确，
故选：C．
45．如图，∠MON＝120°，点P为∠MON的平分线上的一个定点，点A，B分别为边OM，ON上的动点，且∠APB＝60°，则以下结论中：
①PA＝PB；②OA+OB为定值；③四边形OAPB的面积为定值；④四边形OAPB的周长为定值．正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，如图，
则∠PEO＝∠PFO＝90°，
∵∠EPF+∠AOB+∠PEO+∠PFO＝360°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MON＝120°，
∴∠EPF＝60°，
∵∠APB＝60°，
∴∠EPF＝∠APB，
∴∠EPA＝∠BPF．
∵OP平分∠AOB，PE⊥OM，PF⊥ON，
∴PE＝PF．
在△EPA和△FPB中，
，
∴△EPA≌△FPB（ASA），
∴PA＝PB．
①的结论正确；
∵△EPA≌△FPB，
∴AE＝BF，
在Rt△EPO和Rt△FPO中，
，
∴Rt△EPO≌Rt△FPO（HL），
∴OE＝OF，
∴OA+OB＝OA+OF+FB＝OA+AE+OF＝OE+OF＝2OE．
∵∠MON＝120°，点P为∠MON的平分线上的一个定点，
∴∠POE＝60°，OP为定值．
∴OE＝OP•cs60°＝OP，
∴OA+OB＝OE＝OP，
∴OA+OB为定值．
∴②的结论正确；
在Rt△PEO中，
PE＝OP•sin60°＝OP，
∴四边形OAPB的面积＝S△APO+S△BPO＝OA×PE+OB×PF，
∵PE＝PF＝OP，OA+OB＝OP，
∴四边形OAPB的面积＝×OP2＝．
∴四边形OAPB的面积是定值．
∴③的结论正确；
∵OA+OB为定值，PA＝PB，点A，B分别为边OM，ON上的动点，
∴PA，PB的长度不确定，
∴四边形OAPB的周长不是定值．
∴④的结论不正确．
综上，正确的结论有：①②③，
故选：B．
46．如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．9cm2B．8cm2C．6cm2D．5cm2
【答案】C
【解答】解：延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵BP⊥AP，
∴∠BPA＝∠BPD＝90°，
∵BP＝BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP＝PD，
∴△ABP的面积＝△BDP的面积，△APC的面积＝△DPC的面积，
∵△ABC的面积为12cm2，
∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△DCP的面积
＝△ABC的面积
＝×12
＝6（cm2），
故选：C．
47．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是 ①②④ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故答案为：①②④．
48．在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，点M从点B出发沿射线BA移动（运动到A点停止），同时点N从点C出发沿线段AC的延长线移动，点M，N移动的速度相同（且同时停止），MN与BC相交于点D．过点M作MF⊥BC于点F，线段BF+CD＝ 4 ．
【答案】4．
【解答】解：过点M作ME∥AC，交BC与点E，
∴∠MEB＝∠ACB，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠MEB，
∴BM＝ME＝BE．
又∵MF⊥BC，
∴BF＝FE．
∵ME∥AC，
∴∠MED＝∠NCD．
∵BM＝ME，BM＝CN，
∴ME＝CN．
在△MED和△NCD中，∠MED＝∠NCD，∠MDE＝∠NDC（对顶角相等），ME＝CN，
∴△MED≌△NCD（AAS），
∴DE＝DC＝CE．
∴BF+DC＝BE+CE＝BC＝4．
故答案为：4．
一十七．全等三角形的应用（共2小题）
49．为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 24 海里/小时．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，延长CB到G，使BG＝AE，
由题意得，∠AON＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠OBC＝70°+50°＝120°，
∴∠OBG＝60°，
∴∠A＝∠OBG，
∵OA＝OB，
∴△AOE≌△BOG（SAS），
∴OE＝OG，∠AOE＝∠BOG，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∴∠EOG＝140°，
∵∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠GOF，
∵OF＝OF，
∴△EOF≌△GOF（SAS），
∴EF＝GF＝BG+BF＝AE+BF＝180（海里），
设甲的速度为2x海里/小时，乙的速度为3x海里/小时，
∴AE＝3×2x＝6x海里，BF＝3×3x＝9x海里，
∴9x+6x＝15x＝180，
∴x＝12，
∴2x＝24，
答：甲的速度为24海里/小时，
故答案为：24．
50．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 1或1.5 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设点Q的运动速度是x cm/s，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝4﹣1×t，
解得：t＝2，
则3＝2x，
解得：x＝1.5；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，
解得：t＝1，x＝1，
故答案为：1或1.5．
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一．多项式乘多项式（共1小题）
1．若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
A．0B．2C．D．﹣2
【答案】B
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3+2ax2+4x﹣4x2﹣4ax﹣8
＝2x3+（﹣4+2a）x2+（﹣4a+4）x﹣8，
∵（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，
∴﹣4+2a＝0，
解得：a＝2．
故选：B．
二．完全平方公式（共6小题）
2．已知（a+b）2＝29，（a﹣b）2＝13，则ab的值为（ ）
A．42B．16C．8D．4
【答案】D
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴29﹣13＝4ab，
∴ab＝4．
故选：D．
3．已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（ ）
A．4046B．2023C．4042D．4043
【答案】A
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2
＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故选：A．
4．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”设（a+b）n的展开式中各项系数的和为an，若21010＝x，则a1+a2+a3+…+a2020的值为（ ）
A．2x2B．2x2﹣2C．2020x﹣2D．2020x
【答案】B
【解答】解：观察所给数据可得，a1＝2，a2＝1+2+1＝4＝22，a3＝1+3+3+1＝8＝23，a4＝1+4+6+4+1＝16＝24，…，a2020＝22020，
∵21010＝x，
∴a2020＝22020＝x2，
∵a1+a2＝2+4＝6＝2（22﹣1），
a1+a2+a3＝2+4+8＝14＝2（23﹣1），
…，
∴a1+a2+a3+…+a2020
＝2（22020﹣1）
＝2（x2﹣1）
＝2x2﹣2．
故选：B．
5．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是 112 ．
【答案】112．
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
6．已知x满足（x﹣2014）2+（2016﹣x）2＝8，则（x﹣2015）2的值是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程（x﹣2014）2+（2016﹣x）2＝8可变形为：
[（x﹣2015）+1]2+[（x﹣2015）﹣1]2＝8
设x﹣2015＝y
则原方程可转化为：（y+1）2+（y﹣1）2＝8
∴y2+2y+1+y2﹣2y+1＝8
即2y2＝6
∴y2＝3
即（x﹣2015）2＝3．
故答案为：3．
7．已知a+＝﹣2，则＝ 2 ，＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：＝2，
∴对其两边进行平方得；＝2，
∵＝（）（）＝（a+）（a﹣）×2，
∵＝﹣2＝2﹣2＝0，
∴a﹣＝0，
故＝（a+）（a﹣）×2＝0．
故答案为：2，0．
三．完全平方公式的几何背景（共2小题）
8．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．
故选：A．
9．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为23；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 49 ．
【答案】49．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b．
∴a2﹣b2＝3，（a+b）2﹣a2﹣b2＝23．
∴2ab＝23．
∵图3阴影部分的面积＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝4a2+4ab+b2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab，
∴图3阴影部分的面积＝3+2×2ab＝3+2×23＝49．
故答案为：49．
四．完全平方式（共1小题）
10．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为 8 张．
【答案】8．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，即S大正方形＝SA+SB+2SC，
∴要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．
∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+2b2+8ab，即S矩形＝6SA+2SB+8SC，
∴若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张，
故答案为：8．
五．平方差公式（共1小题）
11．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，12＝42﹣22，16＝52﹣32，15＝42﹣12，21＝52﹣22，27＝62﹣32……）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则2021是第 1514 个“智慧数”；第2021个“智慧数”是 2697 ．
【答案】1514；2697．
【解答】解：∵2021÷4＝，
∴1+3×504+1＝1514（个），
∴2021是第1514个智慧数；
∵（2021+2）÷3＝，
∴674×4+1＝2697，
∴第2021个智慧数是2697．
故答案为：1514，2697．
六．平方差公式的几何背景（共1小题）
12．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】D
【解答】解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，
图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）
根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
比较各选项，只有D符合题意
故选：D．
七．整式的混合运算（共3小题）
13．在矩形ABCD内将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝4时，S2﹣S1的值为（ ）
A．4aB．4bC．4a﹣4bD．5b
【答案】B
【解答】解：由图可得，
S1＝AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a），
S2＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a），
S2﹣S1
＝[AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）]﹣[AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）]
＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）﹣AD•AB+a2+b（AD﹣a）
＝﹣b•AB+ab+b•AD﹣ab
＝b（AD﹣AB），
∵AD﹣AB＝4，
∴b（AD﹣AB）＝4b，
即S2﹣S1＝4b，
故选：B．
14．如图，长方形ABCD被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形CEFG，若小长方形CEFG的两边EC＝5，EF＝8，则大长方形的两边的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，设HI＝a，则FG＝5，DN＝13﹣a，BM＝a+5，AN＝2a+5，
在长方形ABCD内，AB＝CD，
即 AM+BM＝DE+CE∴2a+5+a+5＝13﹣a+5，
解得a＝2，
∴AB＝16，BC＝20，
∴，
故选：B．
15．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为 7或 ．
【答案】7或．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或．
当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7；
当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG
＝
＝．
故答案为7或．
八．动点问题的函数图象（共3小题）
16．如图，四边形ABCD是矩形，点P从边AD上点E出发，沿直线运动到矩形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点B，最后沿BC运动到点C．设点P运动的路程为x，△CDP的面积为y，图2是y关于x变化的函数图象，根据图像，下列判断正确的是（ ）
A．AB＝4
B．点P经过矩形ABCD对角线的交点
C．
D．当3≤x≤8时，AP长度的最小值为4
【答案】B
【解答】解：由题意知，当P与B重合时，x＝8，S△CDP最大，
当点P在BC上运动，S△CDP逐渐减小，直至P与C重合时，则x＝16，
∴BC＝16﹣8＝8，S△CDP的最大值＝，
∴CD＝AB＝6，
∴CD＝AB＝6，
∴A错误，不符合题意；
，
∴，
∴C错误，不符合题意；
当0≤x≤3时，点P在EF上，EF⊥AD，EF＝3，，
∴DE＝4，
∴点E是AD的中点，即点P从AD的中点出发，延长EF交BC于点G，
∵BF＝5，用勾股定理可求FG＝3，
∴F是EG的中点，
∴点F是矩形ABCD对角线的交点，即点P经过矩形对角线的交点，
∴B正确，符合题意；
作AH⊥BF，连接AF，如图，
当3≤x≤8时，点P在FB上运动，
S△AFB＝S矩形AEGB，即BF•AH＝AE•AB，
•×5AH＝×6×4，
解得：，
∴当3≤x≤8时，AP长度的最小值即为AH的值，
∴D错误，不符合题意；
故选：B．
17．如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 12 ．
【答案】12．
【解答】解：从图（2）看，BC＝6，CD＝4，
则当x＝6时，点P在点C处，则m＝y＝×AB×BC＝6×4＝12，
故答案为：12．
18．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P的运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD的周长是 16 ．
【答案】16．
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＞3时，y不发生变化，说明BC＝3，x＝8时，接着变化，说明CD＝8﹣3＝5，
∴AB＝5，BC＝3，
长方形ABCD的周长是：2（AB+BC）＝16，
故答案为：16
九．余角和补角（共1小题）
19．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①OE平分∠AOD；
②∠AOC＝∠EOD；
③∠AOC﹣∠CEA＝15°；
④∠COB+∠AOD＝180°．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，
即∠AOC＝∠BOD，故②错误；
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB+∠AOD＝∠AOB+∠COD＝180°，故④正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°，
∴∠AOC﹣∠CEA＝15°．故③正确；
没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．
故选：C．
一十．相交线（共1小题）
20．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为a1，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为 a2，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为 a3，...，（n+1）条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为an，若，则n＝（ ）
A．30B．31C．20D．21
【答案】A
【解答】解：根据题意，得，
两条直线最多将平面分成4个区域，即a1＝4，
三条直线最多将平面分成7个区域，即a2＝7，
四条直线最多将平面分成11个区域，即a3＝11，..．
则a1﹣1＝3＝1+2，
a2﹣1＝6＝1+2+3，
a3﹣1＝10＝1+2+3+4..．
∴an﹣1＝1+2+3+…+n+1，
∴++...+
＝
＝
＝2[]
＝2[]
＝2[]
＝，
∵，
∴，
∴1﹣＝，
∴n＝230，
经检验，n＝30是原方程的解．
故选：A．
一十一．平行线的判定（共2小题）
21．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，CD与AB平行．（ ）
A．4秒B．10秒C．40秒D．4或40秒
【答案】D
【解答】解：如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得：t＝4；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF＝360°﹣6t°﹣60°＝300°﹣6t°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得：t＝40，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∴∠DCF＝6t°﹣（180°﹣60°+180°）＝6t°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，
解得：t＝40，
此时t＞50，
而40＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
故选：D．
22．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ 秒或秒 ．
【答案】 秒或秒．
【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分二种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t＝；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t＝；
综上所述，当时间t的值为 或秒时，CD与AB平行．
故答案为： 秒或秒．
一十二．平行线的性质（共8小题）
23．如图，DC∥AB，AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分∠AEC．若∠EAD+∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，则下列结论：①∠EAD＝2∠FEG；②∠AED＝45°+∠GEF；③∠EAD＝135°﹣4∠GEC；④∠EAD＝15°，其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵EG平分∠FEC，
∴∠FEG＝∠CEG，
设∠FEG＝∠CEG＝α，
∴∠FEC＝2α，
∵∠EDA＝3∠CEG，
∴∠EDA＝3α，
∵EC⊥DC，DC∥AB，
∴EB⊥AB，∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝90°+2α，
∵∠AEC＝∠B+∠EAB＝90°+∠EAB，
∴90°+2α＝90°+∠EAB，
∴∠EAB＝2α＝2∠FEG，
∵ED平分∠AEC，
∴，故②正确；
∵∠AED＝45°+α，∠EDA＝3α，
∴∠EAD＝180°﹣∠AED﹣∠EDA＝180°﹣（45°+α）﹣3α＝135°﹣4α＝135°﹣4∠GEC，故③正确；
∵∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠EAB+∠DAE+∠EAD＝180°，
∴2α+2（135°﹣4α）＝180°，
∴α＝15°，
∴∠EAD＝135°﹣4α＝75°≠2α，故①④错误，
故两个正确．
故选：B．
24．如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC＝50°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF，②∠1＝65°，③∠ACE＝2∠4，④∠3＝2∠4．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【解答】解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，
∴∠ACB＝1/2∠ACD，∠ACF＝1/2∠ACG，
∵∠ACG+∠ACD＝180°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴CB⊥CF，故①正确，
∵CD∥AB，∠BAC＝50°，
∴∠ACG＝50°，
∴∠ACF＝∠4＝25°，
∴∠ACB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠BCD＝65°，
∵CD∥AB，
∴∠2＝∠BCD＝65°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝65°，故②正确；
∵∠BCD＝65°，
∴∠ACB＝65°，
∵∠1＝∠2＝65°，
∴∠3＝50°，
∴∠ACE＝15°，
∴③∠ACE＝2∠4错误；
∵∠4＝25°，∠3＝50°，
∴∠3＝2∠4，故④正确，
故选：B．
25．如图①，有一个长方形纸条ABCD，AB∥CD，AD∥BC．如图②，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，如图③，将四边形CDGF沿GF向上折叠，DG与EF交于点H，若∠GEF＝16°，则∠DHF的度数为（ ）
A．32°B．48°C．60°D．64°
【答案】B
【解答】解：因为AB∥CD，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，∠GEF＝16°，
所以∠BFE＝∠GEF＝16°，∠EGF＝180°﹣16°×2＝146°，
所以∠DGF＝180°﹣∠EGF＝32°，
所以∠DHF＝∠BFE+∠DGF＝48°，
故选：B．
26．如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，∠CED＝90°，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，则下列结论：①；②DE平分∠GEB；③∠CEF＝∠GED；④∠FED+∠BEC＝180°；其中正确有（ ）
A．①②B．②③④C．①②③④D．①③④
【答案】C
【解答】解：∵∠CGE＝a，AB∥CD，
∴∠CGE＝∠GEB＝a，
∴∠AEG＝180°﹣a，
∵CE平分∠AEG，
∴∠AEC＝∠CEG＝∠AEG＝90°﹣a，
故①正确；
∵∠CED＝90°，
∴∠AEC+∠DEB＝90°，
∴∠DEB＝a＝∠GEB，
即DE平分∠GEB，
故②正确；
∵EF⊥CD，AB∥CD，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝a，
∵∠GED＝∠GEB﹣∠DEB＝a，
∴∠CEF＝∠GED，
故③正确；
∵∠FED＝90°﹣∠BED＝90°﹣a，
∠BEC＝180°﹣∠AEC＝90°+a，
∴∠FED+∠BEC＝180°，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：C．
27．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝ 15 °．
【答案】15．
【解答】解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，
∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，
∴∠BFE＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°，
∴∠AEF＝115°，
∴∠A'EF＝115°，
过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，
∵AD∥BC，
∴∠MB'F＝∠1，
∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，
∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，
∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，
∵∠A'＝90°，
∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，
∴∠A'EH＝2×50°＝100°，
∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．
故答案为：15．
28．如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 2n °．
【答案】2n．
【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；
…
以此类推，∠En＝∠BEC．
∴当∠En＝1°时，∠BEC等于（2n）°．
故答案为：2n．
29．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为 68° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．
则有，
①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，
∵∠E＝34°，
∴∠GMC＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC＝∠B＝68°，
故答案为68°．
30．如图，已知AB∥CD，∠BAC＝120°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC＝2∠AMC，当∠PCN＝∠PNC时，∠PCM＝ 22.5°或5° ．
【答案】22.5°或5°．
【解答】解：①设∠PCN＝α，
∵∠PCN＝∠PNC，
∴∠PNC＝4α，
∵∠ANC＝2∠AMC，∠ANC＝∠AMC+∠NCM，
∴∠AMC＝∠NCM＝2α，
∴∠PCM＝∠PCN+∠NCM＝3α，
∵CP平分∠ACM，
∴∠PCM＝∠ACP＝3α，
∴∠ACD＝2∠ACP+∠MCD＝6α+2α＝8α，
∵AB∥CD，∠BAC＝120°，
∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°，
∴8α＝60°，
∴α＝，
∴∠PCM＝3α＝22.5°．
②当点N在点A的左侧时，
设∠PCN＝α，∠ACP＝β，
∵CP平分∠ACM，
∴∠PCM＝∠ACP＝β，
∴∠ACN＝∠PCN﹣∠ACP＝α﹣β，
∴∠PNC＝4∠PCN＝4α，∠NMC＝2α，
∵AP∥CD，∠BAC＝120°，
∴∠NMC＝∠MCD＝2α，∠ACD＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠MCD＝∠ACD﹣∠ACP＝60°﹣2β，
∴2α＝60°﹣2β，即：α＝30°﹣β，
∵∠CAB＝∠PNC+∠ACN，
∴120°＝4α+α﹣β，
∴5α﹣β＝120°，
将α＝30°﹣β代入上式解得：β＝5°，
∴∠PCM＝β＝5°；
③当点N在A，P之间时，
设∠PCN＝α，∠ACN＝β，则∠ACP＝α+β，
∵CP平分∠ACM，
∴∠ACP＝∠PCM＝α+β，∠ACM＝2（α+β），
∴∠MCD＝60°﹣∠ACM＝60°﹣2（α+β），
由已知得：∠PNC＝4∠PCN＝4α，
∴∠ANC＝180°﹣∠PNC＝180°﹣4α，
∵∠ANC＝2∠NMC，
∴∠NMC＝90°﹣2α，
∵∠NMC＝∠MCD，
∴90°﹣2α＝60°﹣2（α+β），
∴β＝﹣15°，不合题意，此种情况不存在．
综上所述：∠PCM的度数为22.5°或5°．
故答案为：22.5°或5°．
一十三．三角形的面积（共3小题）
31．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．若a＝10，则△AFC的面积为（ ）
A．25B．50C．75D．5b
【答案】B
【解答】解：方法一：
∵正方形ABCD的边长为a，正方形EFGB的边长为b，
∴CG＝a+b，AE＝a﹣b，S正方形ABCD＝a2，S正方形ABCD＝b2，S△ACD＝a2，
∴S△AEF＝AE×EF＝b（a﹣b）＝ab﹣b2，S△FCG＝CG×FG＝b（a+b）＝ab+b2，
∴S△AFC＝S△AEF+S正方形ABCD+S正方形ABCD﹣S△ACD﹣S△FCG＝ab﹣b2+b2+a2﹣a2﹣（ab+b2）＝a2，
∵a＝10，
∴S△AFC＝×102＝50，
方法二：
如图，连接BF，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠FBG＝∠ACB＝45°，
∴BF∥AC，
∴S△AFC＝S△ABC＝a2＝×102＝50，
故选：B．
32．如图，在锐角三角形ABC中，M为三角形内部一点，∠AMC＝2∠ABM，MC＝MA，BC＝17，AB＝15，则△ABM的面积为 30 ．
【答案】30．
【解答】解：设∠ABM＝α，则∠AMC＝2α，
旋转△AMB到△CME，延BM交EC于点D，
则∠MEC＝∠ABM＝α，ME＝MB，CE＝AB＝15，∠AMB＝∠CME，
∴∠AMB﹣∠AME＝∠CME﹣∠AME，
即∠BME＝∠AMC＝2α，
又∵ME＝MB，
∴∠MEB＝∠MBE＝＝90°﹣α，
∴∠CEB＝∠CEM+∠MEB＝α+（90°﹣α）＝90°，
∴BE＝＝8，
∵∠MEB＝∠MBE，∠MEB+∠MED＝∠MBE+∠MDE＝90°，
∴∠MED＝∠MDE，
∴DM＝ME＝MB，
作MN⊥CE于N，
∴MN∥BE，
∴MN＝BE＝4，
∴S△ABM＝S△CEM＝CE×MN＝15×4＝30．
故答案为：30．
33．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2022次后得到的△A2022B2022C2022的面积为 72022 ．
【答案】72022．
【解答】解：如图所示，连接AB1、BC1、CA1，
根据等底等高的三角形面积相等，
则△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
∴，
同理可得：，
以此类推，△A2022B2022C2022的面积＝72022S△ABC，
∵S△ABC＝1，
∴△A2022B2022C2022的面积＝72022；
故答案为：72022．
一十四．三角形内角和定理（共7小题）
34．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（ ）
A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°
【答案】D
【解答】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵B'D∥C'G，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180° ①，
∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α ②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．
35．如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠ABC
＝180°﹣（∠ABC+∠A）﹣（180°﹣∠A﹣∠ABC）﹣∠ABC
＝∠A
＝；
同理可得∠A2＝∠A1＝，…
∴∠An＝．
∴要使∠An的度数为整数，则n的最大值为4，此时∠A4＝3°．
故选：C．
36．三角形是一种常见且神奇的图形，我们小学阶段就知道，三角形的内角和等于180°．如图，△ABC的角平分线BE、CD相交于点F，∠A＝90°，GD∥BC，BG⊥GD于点G，下列结论：①∠CBG＝90°；②∠BDG＝2∠ABE；③∠BFD＝∠FBC+∠FCB；④∠AEB＝∠EBG；⑤∠CFE＝45°，其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【解答】解：①∵BG⊥GD于点G，
∴∠G＝90°．
∵GD∥BC，
∴∠G+∠GBC＝180°．
∴∠GBC＝180°﹣∠G＝90°．
故①正确．
②∵GD∥BC，
∴∠GDB＝∠DBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE．
∴∠GDB＝2∠ABE．
故②正确．
③根据三角形外角的性质，得∠BFD＝∠FBC+∠FCB，故③正确．
④由①知，∠GBC＝∠GBF+∠FBC＝90°．
∴∠EBG＝90°﹣∠FBC．
∵∠AEB＝∠ACB+∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABC﹣∠ABE+∠EBC．
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ABC＝180°﹣∠A＝90°．
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC．
∴∠AEB＝∠EBG．
故④正确．
⑤由④得，∠ABC+∠ACB＝90°．
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBC＝，∠DCB＝．
∴∠EBC+∠DCB＝．
∴∠CFE＝∠EBC+∠FCB＝45°．
故⑤正确．
综上：正确的有①②③④⑤，共5个．
故选：A．
37．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，B′A交AC于D，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'DB＝72°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．78°B．80°C．82°D．84°
【答案】C
【解答】解：如图，
∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝72°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣72°＝108°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+108°＝180°，
∴∠3＝26°，
∴∠C＝108°﹣26°＝82°，
故选：C．
38．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝ 265 °．
【答案】265°．
【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，
∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′
＝2∠B+35°．
∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC
＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），
∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′
＝360°﹣2∠C，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）
＝360°﹣（360°﹣2∠C）
＝2∠C．
∴∠1+∠2+∠3
＝2∠C+2∠B+35°
＝2（∠C+∠B）+35°
＝2（180°﹣∠A）+35°
＝2（180°﹣65°）+35°
＝265°．
故答案为：265°．
39．已知△ABC中，∠A＝x°，如图1，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C＝ （60+x） °．如图2，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则用x表示∠BO1C＝ （+x） °．
【答案】（60+x）；（+x）．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，
∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，
∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠O1BC+∠O1CB＝180°，
∴∠O1BC+∠O1CB＝（180°﹣∠A），
∵∠BOC＝180°﹣（∠O1BC+∠O1CB）＝60°+∠A，
∵∠A＝x°，
∴∠BO1C＝（60+x）°；
可得规律为：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，
则用x表示∠BO1C＝（+x）°．
故答案为：（60+x）；（+x）．
40．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ 度．
【答案】．
【解答】解：∵BA1平方∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠，．
∵∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC，
∴＝．
同理可证：．
∴．
以此类推，．
当n＝2021，＝．＝．
故答案为：．
一十五．全等三角形的判定（共2小题）
41．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
【答案】C
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
42．如图，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝∠C，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是 1或 ．
【答案】1或．
【解答】解：设P．Q两点的运动时间为t秒，点Q的运动速度为a厘米/秒，
则BP＝2t cm，PC＝（6﹣2t）cm，CQ＝xt cm．
∵AB＝4cm，
①当△ABP≌△PCQ时，
BA＝CP，BP＝CQ．
∴6﹣2t＝4，
∴t＝1；
②当△ABP≌△QCP时，
BA＝CQ＝4cm，BP＝CP＝3cm，
∴2t＝3，
∴t＝．
综上，当t的值是1或时，能够使△ABP与△CQP全等．
故答案为：1或．
一十六．全等三角形的判定与性质（共6小题）
43．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E．下列结论：①∠ABM＝∠ACD；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④S△EDN＝S△ADM．其中正确结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解答】解：∵CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠CMB＝∠AMB＝90°，
∴∠ABM＝∠ACD＝90°﹣∠A，
故①正确；
∵DN⊥MD，交BM于点N，
∴∠MDN＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN＝90°﹣∠CDN，
∵∠BDC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝∠DBC＝45°，
∴CD＝BD，
在△CDM和△BDN中，
，
∴△CDM≌△BDN（ASA），
∴DM＝DN，
故②正确；
∵DM＝DN，∠MDN＝90°，
∴∠DMN＝∠DNM＝45°，
∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°，
故③正确；
∵∠END＝45°，∠AMD＝45°，
∴∠END＝∠AMD，
∵∠EDN+∠CDM＝90°，ADM+∠CDM＝90°，
∴∠EDN＝∠ADM，
在△EDN和△ADM中，
，
∴△EDN≌△ADM（ASA），
∴S△EDN＝S△ADM，
故④正确，
故选：D．
44．如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50°连接BE，CD交于点F，连接AF．下列结论：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；③AF平分∠DAE；④FA平分∠DFE．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，
∴∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD，
故①正确；
设BE交AC于点G，
∴∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝50°，
故②正确；
作AI⊥BE于点I，AJ⊥CD于点J，
∵S△BAE＝S△DAC，
∴AI•BE＝AJ•CD，
∴AI＝AJ，
∴点A在∠DFE的平分线上，
∴FA平分∠DFE，
故④正确；
假设∠DAF＝∠EAF，则∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，
∴∠AFD+∠BFD＝∠AFE+∠CFE，
∴∠AFB＝∠AFC，
在△AFB和△AFC中，
，
∴△AFB≌△AFC（ASA），
∴AB＝AC，与已知条件相矛盾，
∴∠DAF≠∠EAF，
故③错误，
∴①②④这3个结论正确，
故选：C．
45．如图，∠MON＝120°，点P为∠MON的平分线上的一个定点，点A，B分别为边OM，ON上的动点，且∠APB＝60°，则以下结论中：
①PA＝PB；②OA+OB为定值；③四边形OAPB的面积为定值；④四边形OAPB的周长为定值．正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，如图，
则∠PEO＝∠PFO＝90°，
∵∠EPF+∠AOB+∠PEO+∠PFO＝360°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MON＝120°，
∴∠EPF＝60°，
∵∠APB＝60°，
∴∠EPF＝∠APB，
∴∠EPA＝∠BPF．
∵OP平分∠AOB，PE⊥OM，PF⊥ON，
∴PE＝PF．
在△EPA和△FPB中，
，
∴△EPA≌△FPB（ASA），
∴PA＝PB．
①的结论正确；
∵△EPA≌△FPB，
∴AE＝BF，
在Rt△EPO和Rt△FPO中，
，
∴Rt△EPO≌Rt△FPO（HL），
∴OE＝OF，
∴OA+OB＝OA+OF+FB＝OA+AE+OF＝OE+OF＝2OE．
∵∠MON＝120°，点P为∠MON的平分线上的一个定点，
∴∠POE＝60°，OP为定值．
∴OE＝OP•cs60°＝OP，
∴OA+OB＝OE＝OP，
∴OA+OB为定值．
∴②的结论正确；
在Rt△PEO中，
PE＝OP•sin60°＝OP，
∴四边形OAPB的面积＝S△APO+S△BPO＝OA×PE+OB×PF，
∵PE＝PF＝OP，OA+OB＝OP，
∴四边形OAPB的面积＝×OP2＝．
∴四边形OAPB的面积是定值．
∴③的结论正确；
∵OA+OB为定值，PA＝PB，点A，B分别为边OM，ON上的动点，
∴PA，PB的长度不确定，
∴四边形OAPB的周长不是定值．
∴④的结论不正确．
综上，正确的结论有：①②③，
故选：B．
46．如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．9cm2B．8cm2C．6cm2D．5cm2
【答案】C
【解答】解：延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵BP⊥AP，
∴∠BPA＝∠BPD＝90°，
∵BP＝BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP＝PD，
∴△ABP的面积＝△BDP的面积，△APC的面积＝△DPC的面积，
∵△ABC的面积为12cm2，
∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△DCP的面积
＝△ABC的面积
＝×12
＝6（cm2），
故选：C．
47．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是 ①②④ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故答案为：①②④．
48．在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，点M从点B出发沿射线BA移动（运动到A点停止），同时点N从点C出发沿线段AC的延长线移动，点M，N移动的速度相同（且同时停止），MN与BC相交于点D．过点M作MF⊥BC于点F，线段BF+CD＝ 4 ．
【答案】4．
【解答】解：过点M作ME∥AC，交BC与点E，
∴∠MEB＝∠ACB，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠MEB，
∴BM＝ME＝BE．
又∵MF⊥BC，
∴BF＝FE．
∵ME∥AC，
∴∠MED＝∠NCD．
∵BM＝ME，BM＝CN，
∴ME＝CN．
在△MED和△NCD中，∠MED＝∠NCD，∠MDE＝∠NDC（对顶角相等），ME＝CN，
∴△MED≌△NCD（AAS），
∴DE＝DC＝CE．
∴BF+DC＝BE+CE＝BC＝4．
故答案为：4．
一十七．全等三角形的应用（共2小题）
49．为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 24 海里/小时．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，延长CB到G，使BG＝AE，
由题意得，∠AON＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠OBC＝70°+50°＝120°，
∴∠OBG＝60°，
∴∠A＝∠OBG，
∵OA＝OB，
∴△AOE≌△BOG（SAS），
∴OE＝OG，∠AOE＝∠BOG，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∴∠EOG＝140°，
∵∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠GOF，
∵OF＝OF，
∴△EOF≌△GOF（SAS），
∴EF＝GF＝BG+BF＝AE+BF＝180（海里），
设甲的速度为2x海里/小时，乙的速度为3x海里/小时，
∴AE＝3×2x＝6x海里，BF＝3×3x＝9x海里，
∴9x+6x＝15x＝180，
∴x＝12，
∴2x＝24，
答：甲的速度为24海里/小时，
故答案为：24．
50．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 1或1.5 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设点Q的运动速度是x cm/s，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝4﹣1×t，
解得：t＝2，
则3＝2x，
解得：x＝1.5；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，
解得：t＝1，x＝1，
故答案为：1或1.5．
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