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【期中讲练测】人教版八年级下册数学 专题2-2勾股定理 易错专练 .zip
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这是一份【期中讲练测】人教版八年级下册数学 专题2-2勾股定理 易错专练 .zip，文件包含期中讲练测人教版八年级下册数学专题2-2勾股定理考点专练原卷版docx、期中讲练测人教版八年级下册数学专题2-2勾股定理考点专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
特别提醒：在直接三角形中，已知边长但未明确斜边与直角边时，需要分类讨论.
易错点2 对勾股数的理解出错
特别提醒：勾股定理首先需要满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，其次必须是正整数，每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数，即同时扩大为原来的（为正整数）倍，依然是勾股数.
勾股定理 勾股定理的逆定理
勾股数 勾股定理的应用
一．勾股定理（共12小题）
1．（2023春•岳池县期末）一个直角三角形的两条直角边分别长3和4，则斜边的长为
A．B．5C．或5D．5或7
2．（2023春•鄂州期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是 ．
3．（2023春•滑县月考）如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，则 （填，或．
4．（2023春•潜江月考）已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以、为两边的直角三角形的第三边的长度是 ．
5．（2023春•江门校级期中）两根木条的长度分别是和，再添加一根木条，钉成一个直角三角形木架，则所添加木条的长度可以是 ．
6．（2022春•铁东区校级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，连接，则的长为 ．
7．（2023春•甘井子区校级月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则 ．
8．（2023春•张店区期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴正半轴和轴正半轴上的动点，连接，作的中点，在轴和轴上分别取点，，连接，．若，，则的最小值为 ．
9．（2023春•岳麓区期中）如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于 ．
10．（2023春•海淀区校级期中）如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点到边的距离等于 ．
11．（2023秋•邳州市期中）如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为 ．
12．（2023春•金安区校级期末）如图，在中，，，，求的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
（1）作于，设，用含的代数式表示，则 ；
（2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；
（3）利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
二．勾股定理的逆定理（共15小题）
13．（2023秋•鼓楼区校级期末）以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是
A．2，3，4B．6，8，9C．1，2，D．5，12，13
14．（2023春•福田区校级期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是
A．，，B．
C．D．
15．（2023春•保山期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是
A．三个内角之比为B．三条边长分别为1，，2
C．三条边长之比为D．三个内角之比为
16．（2023春•长寿区期末）若的三边长为，，，则下列不是直角三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
17．（2023春•汕尾期末）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，则是
A．锐角B．直角C．钝角D．无法确定
18．（2023秋•环翠区期末）在下列条件：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有
A．1个B．2个C．3个D．4个
19．（2023春•绥江县期中）在中，点在直线上，且，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
20．（2023春•蚌山区月考）已知，，是的三条边，满足下列条件仍不能判断是直角三角形的是
A．B．
C．D．
21．（2023春•西乡塘区校级月考）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
22．（2023春•巨野县期中）如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积．
23．（2023春•思明区校级期中）如图，在中，是边上的一点，已知，，，，求边的长．
24．（2023春•玉州区期中）如图，四边形中，，，，，．
（1）直接写出的长为 ；
（2）求四边形的面积．
25．（2023春•兰山区期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上．
（Ⅰ）直接写出线段、、的长；
（Ⅱ）求的度数；
（Ⅲ）求四边形的面积．
26．（2023春•张北县期末）如图，是的中线，于点，是的中线，且，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
27．（2023春•武昌区期中）如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．
三．勾股数（共2小题）
28．（2023秋•衡阳期末）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解，，通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，4，，，12，，，24，，．分析上面勾股数组可以发现，，，，分析上面规律，第5个勾股数组为 ．
29．（2022春•西山区期末）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琪同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当时，的值为
A．242B．200C．188D．162
四．勾股定理的应用（共11小题）
30．（2023春•怀柔区期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节节海里小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达，两点，此时两舰的距离是
A．9海里B．12海里C．15海里D．30海里
31．（2023春•新抚区期中）小莉在秀美安顺的某风景处划船结束后，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
32．（2023春•巴东县月考）【问题背景】
勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法
【定理表述】
（1）用文字语言叙述勾股定理的内容：
【定理证明】
（2）以图1中的直角三角形为基础，延长到点，使，过点作：，使，连接，（如图，则，，四边形是以为底、为高的直角梯形，请利用图2证明勾股定理．
【定理应用】
（3）当时，利用图2，可以证明．
证明步骤如下：
如图3，过点作于点，则，，
又，，
四边形为 ，
，
，
又，，
．
33．（2023春•岳池县期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
34．（2023春•久治县期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向、、三地修了三条笔直的公路、和，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
（1）求公路、的长度；
（2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用．
35．（2023春•防城港期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度为米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知 米，用含有的式子表示为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
36．（2023春•镇江期末）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点时，小丽到点，此时，且小丽距离地面．
（1）与全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
37．（2023春•阳江期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度．
38．（2023春•青县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
39．（2023春•石城县期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
40．（2023春•凤庆县期末）如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？
6
8
10
12
14
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15
24
35
48
10
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特别提醒：在直接三角形中，已知边长但未明确斜边与直角边时，需要分类讨论.
易错点2 对勾股数的理解出错
特别提醒：勾股定理首先需要满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，其次必须是正整数，每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数，即同时扩大为原来的（为正整数）倍，依然是勾股数.
勾股定理 勾股定理的逆定理
勾股数 勾股定理的应用
一．勾股定理（共12小题）
1．（2023春•岳池县期末）一个直角三角形的两条直角边分别长3和4，则斜边的长为
A．B．5C．或5D．5或7
2．（2023春•鄂州期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是 ．
3．（2023春•滑县月考）如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，则 （填，或．
4．（2023春•潜江月考）已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以、为两边的直角三角形的第三边的长度是 ．
5．（2023春•江门校级期中）两根木条的长度分别是和，再添加一根木条，钉成一个直角三角形木架，则所添加木条的长度可以是 ．
6．（2022春•铁东区校级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，连接，则的长为 ．
7．（2023春•甘井子区校级月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则 ．
8．（2023春•张店区期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴正半轴和轴正半轴上的动点，连接，作的中点，在轴和轴上分别取点，，连接，．若，，则的最小值为 ．
9．（2023春•岳麓区期中）如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于 ．
10．（2023春•海淀区校级期中）如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点到边的距离等于 ．
11．（2023秋•邳州市期中）如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为 ．
12．（2023春•金安区校级期末）如图，在中，，，，求的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
（1）作于，设，用含的代数式表示，则 ；
（2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；
（3）利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
二．勾股定理的逆定理（共15小题）
13．（2023秋•鼓楼区校级期末）以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是
A．2，3，4B．6，8，9C．1，2，D．5，12，13
14．（2023春•福田区校级期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是
A．，，B．
C．D．
15．（2023春•保山期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是
A．三个内角之比为B．三条边长分别为1，，2
C．三条边长之比为D．三个内角之比为
16．（2023春•长寿区期末）若的三边长为，，，则下列不是直角三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
17．（2023春•汕尾期末）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，则是
A．锐角B．直角C．钝角D．无法确定
18．（2023秋•环翠区期末）在下列条件：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有
A．1个B．2个C．3个D．4个
19．（2023春•绥江县期中）在中，点在直线上，且，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
20．（2023春•蚌山区月考）已知，，是的三条边，满足下列条件仍不能判断是直角三角形的是
A．B．
C．D．
21．（2023春•西乡塘区校级月考）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
22．（2023春•巨野县期中）如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积．
23．（2023春•思明区校级期中）如图，在中，是边上的一点，已知，，，，求边的长．
24．（2023春•玉州区期中）如图，四边形中，，，，，．
（1）直接写出的长为 ；
（2）求四边形的面积．
25．（2023春•兰山区期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上．
（Ⅰ）直接写出线段、、的长；
（Ⅱ）求的度数；
（Ⅲ）求四边形的面积．
26．（2023春•张北县期末）如图，是的中线，于点，是的中线，且，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
27．（2023春•武昌区期中）如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．
三．勾股数（共2小题）
28．（2023秋•衡阳期末）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解，，通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，4，，，12，，，24，，．分析上面勾股数组可以发现，，，，分析上面规律，第5个勾股数组为 ．
29．（2022春•西山区期末）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琪同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当时，的值为
A．242B．200C．188D．162
四．勾股定理的应用（共11小题）
30．（2023春•怀柔区期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节节海里小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达，两点，此时两舰的距离是
A．9海里B．12海里C．15海里D．30海里
31．（2023春•新抚区期中）小莉在秀美安顺的某风景处划船结束后，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
32．（2023春•巴东县月考）【问题背景】
勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法
【定理表述】
（1）用文字语言叙述勾股定理的内容：
【定理证明】
（2）以图1中的直角三角形为基础，延长到点，使，过点作：，使，连接，（如图，则，，四边形是以为底、为高的直角梯形，请利用图2证明勾股定理．
【定理应用】
（3）当时，利用图2，可以证明．
证明步骤如下：
如图3，过点作于点，则，，
又，，
四边形为 ，
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又，，
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33．（2023春•岳池县期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
34．（2023春•久治县期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向、、三地修了三条笔直的公路、和，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
（1）求公路、的长度；
（2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用．
35．（2023春•防城港期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度为米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知 米，用含有的式子表示为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
36．（2023春•镇江期末）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点时，小丽到点，此时，且小丽距离地面．
（1）与全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
37．（2023春•阳江期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度．
38．（2023春•青县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
39．（2023春•石城县期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
40．（2023春•凤庆县期末）如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？
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