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所属成套资源：【期中讲练测】人教版八年级下册数学 考点专练
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【期中讲练测】人教版八年级下册数学 专题2-1勾股定理考点专练.zip
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这是一份【期中讲练测】人教版八年级下册数学 专题2-1勾股定理考点专练.zip，文件包含期中讲练测人教版八年级下册数学专题2-1勾股定理考点专练原卷版docx、期中讲练测人教版八年级下册数学专题2-1勾股定理考点专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共115页， 欢迎下载使用。
折叠模型 赵爽弦图模型
风吹树折模型 出水芙蓉模型
等边三角形中的378和578模型 蚂蚁行程模型
垂美四边形模型
题型一：折叠模型
图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解.
翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
一．选择题（共8小题）
1．（2023春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的值为
A．2.4B．3C．4D．5
2．（2023春•历下区期中）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，则的面积是
A．3B．4C．5D．6
3．（2023春•西城区校级期中）如图，在矩形中，是边上的一点，将沿所在直线折叠，点落在边上，落点记为，过点作交于点，连接．若，，则四边形的面积是
A．B．C．20D．10
4．（2023春•雁塔区校级期末）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点（点不与点重合），连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则△的面积为
A．1B．1.5C．2D．2.5
5．（2023春•思明区校级期中）如图，将正方形分别沿，折叠，使边，在处重合，折痕为，．若正方形的边长为6，是边的中点，则的长是
A．3B．2.5C．2D．1
6．（2023春•沙坪坝区校级期中）在矩形中，为中点，连结，将沿翻折至，连结，，延长交于，若，，则的长为
A．B．8C．D．7
7．（2023春•新城区校级期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿折叠至，延长交边于点，连接、，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
8．（2023春•丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为
A．28B．26C．32D．30
二．填空题（共5小题）
9．（2023春•大竹县校级期末）如图，在中，，，，点在线段上，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时，，则 ．
10．（2023春•南川区期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使落在斜边上，折痕为，则的长为 ．
11．（2023春•渠县校级期末）如图，在矩形中，，，为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若、分别为、的中点，则的最小值为 ．
12．（2023春•丰泽区校级期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连结，
①如图1，若，，则 ；
②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连结，若，，，则四边形的面积是 ．
13．（2023春•大连期中）正方形的边长是6，是的中点，连接，将沿折叠，点的对应点是，连接，则的长是 ．
三．解答题（共10小题）
14．（2023春•新市区期中）如图，中，，，，点是边上一点．若沿将翻折，点刚好落在边上点处，求的长．
15．（2023秋•新吴区期中）已知王大爷有个矩形池塘，米，米．王大爷依据地势修了块草莓园（如图阴影部分），并测得米，米．求王大爷的草莓园的占地面积有多大？
16．（2023春•米东区期末）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，求的长．
17．（2023春•东莞市校级月考）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且．
（1）求的长；
（2）求的长．
18．（2023春•东莞市月考）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点的对应点与点重合，点的对应点为点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
19．（2023春•乾安县期末）如图，在矩形中，，点是边上的动点，连接．现将沿对折，使点刚好落在边上的点处，求的值．
20．（2023春•姜堰区期末）如图，矩形纸片，，，点为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点．
（1）为何值时，点与点重合；
（2）当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
21．（2023春•建华区期末）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
（1）折一折、猜想计算：
如图①：把边长为8的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．
如图②：将正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，，
图②中，为 三角形，线段 ；
（2）折一折、类比探究：如图③将正方形纸片折叠，使点落点处，折痕与边交于点，与边交于点，展开后连接．
①猜想线段与线段之间的关系 ；
② ；
（3）折一折、探究证明：如图④：将正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，折痕与边交于点，展开后延长交于点．
猜想与的数量关系并证明；若，则
．
22．（2023春•灵宝市期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做，，的角”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
①如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，把纸片展平，连接，．请写出图1中一个的角 ；
②如图2，在前面操作的基础上，延长与交于点，则的形状是 ．
（2）迁移探究
小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长与交于点，连接．如图3，若改变点在上的位置（点不与点，重合），判断与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当点是边的三等分点时，请直接写出的长．
23．（2023春•大连期中）数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下：
步骤①：如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤②：连接，．可以判定的形状是： ．（直接写出结论）
小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：
如图2，先类似小明的步骤①，得到折痕后把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的一点处，连接．
小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由．
（2）迁移探究
小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下：
如图3，第一步与步骤①一样；然后连接，将沿折叠，使点落在正方形内的一点处，连接并延长交于点，连接，可以得到： （直接写出结论）；同时，若正方形的边长是4，可以求出的长，请你完成求解过程．
（3）拓展应用
如图4，在矩形中，，．点为上的一点（不与点重合，可以与点重合），将沿着折叠，点的对应点为落在矩形的内部，连结，，当为等腰三角形时，可求得的长为 ．（直接写出结论）
题型二：赵爽弦图模型
“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•武汉期末）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接，相交于点，与相交于点，若，则直角三角形的边与之比是
A．B．C．D．
2．（2023春•竹溪县期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的长是
A．7B．8C．D．
3．（2023秋•章丘区校级月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是
A．B．
C．D．
4．（2023春•鄂伦春自治旗期末）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是
A．B．C．D．2
二．填空题（共2小题）
5．（2023春•道里区期末）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证
明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的长度是 ．
6．（2023春•仙游县校级期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
三．解答题（共3小题）
7．（2023春•开江县校级期末）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
（1）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度．
（2）如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
8．（2023春•临清市期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为 和．
（1）求这个三角形的面积和斜边长；
（2）求斜边上的高和中线的长．
9．（2023春•双流区期末）综合与实践：
问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题．
操作探究1：小广将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，．已知长，则点、之间的距离为 ．
操作探究2：小都将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．
其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小都同学求出此对点、之间的距离；
操作探究3：随后，小将图②中的换成了含角的三角板，同相是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，小广提出，如果把三角板也换成了含角的三角板，并利用旋转的知识，结论将更容易得到，你能求出此时点，之间的距离吗？
题型三：风吹树折模型
风吹树折类题就数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，最多设个未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型.
一．选择题（共3小题）
1．（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，这棵大树在折断前的高度为
A．B．C．D．
2．（2023春•固镇县期末）下面是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路
A．小明对，小亮错B．小明错，小亮对
C．两人都错D．两人都对
3．（2023春•黄州区期末）如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，这棵大树在折断前的高度为
A．B．C．D．
二．填空题（共1小题）
4．（2023春•云阳县期中）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米．
三．解答题（共2小题）
5．（2023春•定南县期末）如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶端落在离树杆底部处．求这棵树折断之前的高度．
6．（2023春•泸县校级期中）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从处吹折，竹子的顶端刚好触地，且与竹子底端的距离是4米．求竹子折断处与根部的距离．
题型四：出水芙蓉模型
出水芙蓉类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，正确设出未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字如何转化成数学模型。
一．填空题（共1小题）
1．（2023春•南山区校级月考）如图，一架梯子长10米，底端离墙的距离为6米，当梯子下滑到时，米，则 米．
二．解答题（共4小题）
2．（2023春•青县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
3．（2023春•西岗区期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”
问题：小明根据题意画出矩形，连接，请你结合小明所画的图求门高，门宽各是多少尺？
4．（2023春•息县月考）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）
5．（2023春•北京期中）在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”：
平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．
题型五：等边三角形中的378和578模型
当我们遇到两个三角形的三边长分别为3,7,8和5,7,8的时候,通常不会对它们进行处理,实际是因为我们对于这两组数字不敏感,但如果将这两个三角形拼在一起,你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形.
【模型】如图所示，当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，求这两个三角形的面积.
一．选择题（共1小题）
1．（2022春•丛台区月考）已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为
A．B．10C．5D．
二．填空题（共1小题）
2．（2018春•道里区校级月考）已知：在中，，，，则为 ．
三．解答题（共2小题）
3．（2021春•北镇市期中）如图，为等边三角形，，是的中点，是延长线上的一点，且，过点作，垂足为．
（1）求的长；
（2）求证：．
4．（2020春•沙依巴克区校级期末）如图，的边，，．求边上的高．
题型六：蚂蚁行程模型
蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更高效.
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•潮阳区校级月考）正方体盒子的棱长为2，的中点为，一只蚂蚁从点爬行到点的最短距离为
A．B．C．5D．
2．（2023秋•城关区校级期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是
A．B．25C．D．35
3．（2023春•张湾区期中）长方体的长为15，宽为10，高为20，点在棱上与点的距离为5，如图，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，则需要爬行的最短距离是
A．B．C．25D．
4．（2023春•渝北区校级月考）如图是一块长，宽，高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
A．B．C．D．
二．填空题（共4小题）
5．（2023春•明水县期中）一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是 ．
6．（2023春•鹤山市校级期中）一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是 ．
7．（2023春•凉山州期末）有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 厘米取．
8．（2023春•乾安县期末）如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是、、，点和点是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从点出发，沿着台阶面爬向点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 ．
题型七：垂美四边形模型
勾股定理是计算的工具，识别环境对同学们来说至关重要如果能够了解模型背后的结论，做题可以节省大量的时间。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出现垂美四边形。
一．选择题（共2小题）
1．（2023春•天门期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为
A．B．C．D．或
2．（2023春•槐荫区期末）如图，菱形中对角线与相交于点，且，，若点是对角线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得，连接、，则在点的运动过程中，线段的最小值为
A．4B．6C．D．12
二．解答题（共9小题）
3．（2023春•海沧区校级期末）综合与实践：构图法求三角形的面积．
4．（2023春•白云区期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 （填序号）；
（2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．求证：；
（3）解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，．
①请问四边形是垂美四边形吗？并说明理由；
②求的长．
5．（2023春•怀宁县期末）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： ．
（3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，．
①求证：四边形为垂美四边形；
②求出四边形的面积．
6．（2023春•德城区校级月考）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形中，，垂足为，求证：．
（2）解决问题：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰．如图2，当，连接，求．
7．（2023春•渝北区校级期中）【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．在我们学过的：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，属于垂美四边形的是 ；（只填序号）
【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．
8．（2023春•孝南区期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）如图1，已知四边形是垂美四边形．
①若，则它的面积为 ；
②若，，，，探究、、、的数量关系．
（2）如图2，已知、分别是中边、的中点，，，，请运用②中的结论，直接写出的长为 ．
9．（2023春•涟水县月考）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形；性质：垂美四边形的对角线互相垂直．
（1）如图1，在四边形中，连接、，对角线相交于，垂直于，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）如图2，已知四边形是垂美四边形，求证：；
（3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．
10．（2023春•青川县期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
（1）性质探究：如图1，四边形是垂美四边形，直接写出、、、的数量关系： ．
（2）解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，，求的长（可直接利用（1）中性质）
11．（2023秋•章丘区校级月考）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．
问题提出
在中，，，三边的长分别为，，，求的面积．
素材1
某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式为底边，为对应的高）求解，那么高的计算较为复杂．进一步观察发现，，，若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为，且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”．
素材2
某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图3所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形．
任务1
（1）请直接写出图1中的三角形面积
任务2
（2）已知三边，，的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为画出相应的，并求出它的面积．
任务3
（3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积．
折叠模型 赵爽弦图模型
风吹树折模型 出水芙蓉模型
等边三角形中的378和578模型 蚂蚁行程模型
垂美四边形模型
题型一：折叠模型
图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解.
翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
一．选择题（共8小题）
1．（2023春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的值为
A．2.4B．3C．4D．5
2．（2023春•历下区期中）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，则的面积是
A．3B．4C．5D．6
3．（2023春•西城区校级期中）如图，在矩形中，是边上的一点，将沿所在直线折叠，点落在边上，落点记为，过点作交于点，连接．若，，则四边形的面积是
A．B．C．20D．10
4．（2023春•雁塔区校级期末）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点（点不与点重合），连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则△的面积为
A．1B．1.5C．2D．2.5
5．（2023春•思明区校级期中）如图，将正方形分别沿，折叠，使边，在处重合，折痕为，．若正方形的边长为6，是边的中点，则的长是
A．3B．2.5C．2D．1
6．（2023春•沙坪坝区校级期中）在矩形中，为中点，连结，将沿翻折至，连结，，延长交于，若，，则的长为
A．B．8C．D．7
7．（2023春•新城区校级期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿折叠至，延长交边于点，连接、，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
8．（2023春•丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为
A．28B．26C．32D．30
二．填空题（共5小题）
9．（2023春•大竹县校级期末）如图，在中，，，，点在线段上，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时，，则 ．
10．（2023春•南川区期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使落在斜边上，折痕为，则的长为 ．
11．（2023春•渠县校级期末）如图，在矩形中，，，为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若、分别为、的中点，则的最小值为 ．
12．（2023春•丰泽区校级期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连结，
①如图1，若，，则 ；
②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连结，若，，，则四边形的面积是 ．
13．（2023春•大连期中）正方形的边长是6，是的中点，连接，将沿折叠，点的对应点是，连接，则的长是 ．
三．解答题（共10小题）
14．（2023春•新市区期中）如图，中，，，，点是边上一点．若沿将翻折，点刚好落在边上点处，求的长．
15．（2023秋•新吴区期中）已知王大爷有个矩形池塘，米，米．王大爷依据地势修了块草莓园（如图阴影部分），并测得米，米．求王大爷的草莓园的占地面积有多大？
16．（2023春•米东区期末）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，求的长．
17．（2023春•东莞市校级月考）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且．
（1）求的长；
（2）求的长．
18．（2023春•东莞市月考）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点的对应点与点重合，点的对应点为点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
19．（2023春•乾安县期末）如图，在矩形中，，点是边上的动点，连接．现将沿对折，使点刚好落在边上的点处，求的值．
20．（2023春•姜堰区期末）如图，矩形纸片，，，点为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点．
（1）为何值时，点与点重合；
（2）当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
21．（2023春•建华区期末）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
（1）折一折、猜想计算：
如图①：把边长为8的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．
如图②：将正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，，
图②中，为 三角形，线段 ；
（2）折一折、类比探究：如图③将正方形纸片折叠，使点落点处，折痕与边交于点，与边交于点，展开后连接．
①猜想线段与线段之间的关系 ；
② ；
（3）折一折、探究证明：如图④：将正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，折痕与边交于点，展开后延长交于点．
猜想与的数量关系并证明；若，则
．
22．（2023春•灵宝市期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做，，的角”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
①如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，把纸片展平，连接，．请写出图1中一个的角 ；
②如图2，在前面操作的基础上，延长与交于点，则的形状是 ．
（2）迁移探究
小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长与交于点，连接．如图3，若改变点在上的位置（点不与点，重合），判断与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当点是边的三等分点时，请直接写出的长．
23．（2023春•大连期中）数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下：
步骤①：如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤②：连接，．可以判定的形状是： ．（直接写出结论）
小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：
如图2，先类似小明的步骤①，得到折痕后把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的一点处，连接．
小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由．
（2）迁移探究
小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下：
如图3，第一步与步骤①一样；然后连接，将沿折叠，使点落在正方形内的一点处，连接并延长交于点，连接，可以得到： （直接写出结论）；同时，若正方形的边长是4，可以求出的长，请你完成求解过程．
（3）拓展应用
如图4，在矩形中，，．点为上的一点（不与点重合，可以与点重合），将沿着折叠，点的对应点为落在矩形的内部，连结，，当为等腰三角形时，可求得的长为 ．（直接写出结论）
题型二：赵爽弦图模型
“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•武汉期末）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接，相交于点，与相交于点，若，则直角三角形的边与之比是
A．B．C．D．
2．（2023春•竹溪县期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的长是
A．7B．8C．D．
3．（2023秋•章丘区校级月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是
A．B．
C．D．
4．（2023春•鄂伦春自治旗期末）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是
A．B．C．D．2
二．填空题（共2小题）
5．（2023春•道里区期末）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证
明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的长度是 ．
6．（2023春•仙游县校级期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
三．解答题（共3小题）
7．（2023春•开江县校级期末）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
（1）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度．
（2）如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
8．（2023春•临清市期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为 和．
（1）求这个三角形的面积和斜边长；
（2）求斜边上的高和中线的长．
9．（2023春•双流区期末）综合与实践：
问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题．
操作探究1：小广将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，．已知长，则点、之间的距离为 ．
操作探究2：小都将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．
其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小都同学求出此对点、之间的距离；
操作探究3：随后，小将图②中的换成了含角的三角板，同相是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，小广提出，如果把三角板也换成了含角的三角板，并利用旋转的知识，结论将更容易得到，你能求出此时点，之间的距离吗？
题型三：风吹树折模型
风吹树折类题就数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，最多设个未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型.
一．选择题（共3小题）
1．（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，这棵大树在折断前的高度为
A．B．C．D．
2．（2023春•固镇县期末）下面是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路
A．小明对，小亮错B．小明错，小亮对
C．两人都错D．两人都对
3．（2023春•黄州区期末）如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，这棵大树在折断前的高度为
A．B．C．D．
二．填空题（共1小题）
4．（2023春•云阳县期中）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米．
三．解答题（共2小题）
5．（2023春•定南县期末）如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶端落在离树杆底部处．求这棵树折断之前的高度．
6．（2023春•泸县校级期中）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从处吹折，竹子的顶端刚好触地，且与竹子底端的距离是4米．求竹子折断处与根部的距离．
题型四：出水芙蓉模型
出水芙蓉类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，正确设出未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字如何转化成数学模型。
一．填空题（共1小题）
1．（2023春•南山区校级月考）如图，一架梯子长10米，底端离墙的距离为6米，当梯子下滑到时，米，则 米．
二．解答题（共4小题）
2．（2023春•青县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
3．（2023春•西岗区期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”
问题：小明根据题意画出矩形，连接，请你结合小明所画的图求门高，门宽各是多少尺？
4．（2023春•息县月考）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）
5．（2023春•北京期中）在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”：
平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．
题型五：等边三角形中的378和578模型
当我们遇到两个三角形的三边长分别为3,7,8和5,7,8的时候,通常不会对它们进行处理,实际是因为我们对于这两组数字不敏感,但如果将这两个三角形拼在一起,你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形.
【模型】如图所示，当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，求这两个三角形的面积.
一．选择题（共1小题）
1．（2022春•丛台区月考）已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为
A．B．10C．5D．
二．填空题（共1小题）
2．（2018春•道里区校级月考）已知：在中，，，，则为 ．
三．解答题（共2小题）
3．（2021春•北镇市期中）如图，为等边三角形，，是的中点，是延长线上的一点，且，过点作，垂足为．
（1）求的长；
（2）求证：．
4．（2020春•沙依巴克区校级期末）如图，的边，，．求边上的高．
题型六：蚂蚁行程模型
蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更高效.
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•潮阳区校级月考）正方体盒子的棱长为2，的中点为，一只蚂蚁从点爬行到点的最短距离为
A．B．C．5D．
2．（2023秋•城关区校级期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是
A．B．25C．D．35
3．（2023春•张湾区期中）长方体的长为15，宽为10，高为20，点在棱上与点的距离为5，如图，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，则需要爬行的最短距离是
A．B．C．25D．
4．（2023春•渝北区校级月考）如图是一块长，宽，高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
A．B．C．D．
二．填空题（共4小题）
5．（2023春•明水县期中）一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是 ．
6．（2023春•鹤山市校级期中）一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是 ．
7．（2023春•凉山州期末）有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 厘米取．
8．（2023春•乾安县期末）如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是、、，点和点是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从点出发，沿着台阶面爬向点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 ．
题型七：垂美四边形模型
勾股定理是计算的工具，识别环境对同学们来说至关重要如果能够了解模型背后的结论，做题可以节省大量的时间。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出现垂美四边形。
一．选择题（共2小题）
1．（2023春•天门期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为
A．B．C．D．或
2．（2023春•槐荫区期末）如图，菱形中对角线与相交于点，且，，若点是对角线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得，连接、，则在点的运动过程中，线段的最小值为
A．4B．6C．D．12
二．解答题（共9小题）
3．（2023春•海沧区校级期末）综合与实践：构图法求三角形的面积．
4．（2023春•白云区期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 （填序号）；
（2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．求证：；
（3）解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，．
①请问四边形是垂美四边形吗？并说明理由；
②求的长．
5．（2023春•怀宁县期末）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： ．
（3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，．
①求证：四边形为垂美四边形；
②求出四边形的面积．
6．（2023春•德城区校级月考）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形中，，垂足为，求证：．
（2）解决问题：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰．如图2，当，连接，求．
7．（2023春•渝北区校级期中）【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．在我们学过的：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，属于垂美四边形的是 ；（只填序号）
【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．
8．（2023春•孝南区期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）如图1，已知四边形是垂美四边形．
①若，则它的面积为 ；
②若，，，，探究、、、的数量关系．
（2）如图2，已知、分别是中边、的中点，，，，请运用②中的结论，直接写出的长为 ．
9．（2023春•涟水县月考）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形；性质：垂美四边形的对角线互相垂直．
（1）如图1，在四边形中，连接、，对角线相交于，垂直于，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）如图2，已知四边形是垂美四边形，求证：；
（3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．
10．（2023春•青川县期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
（1）性质探究：如图1，四边形是垂美四边形，直接写出、、、的数量关系： ．
（2）解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，，求的长（可直接利用（1）中性质）
11．（2023秋•章丘区校级月考）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．
问题提出
在中，，，三边的长分别为，，，求的面积．
素材1
某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式为底边，为对应的高）求解，那么高的计算较为复杂．进一步观察发现，，，若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为，且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”．
素材2
某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图3所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形．
任务1
（1）请直接写出图1中的三角形面积
任务2
（2）已知三边，，的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为画出相应的，并求出它的面积．
任务3
（3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积．
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