2023-2024学年陕西省西安中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.给出下列量：①角度；②温度；③海拔；④弹力；⑤风速；⑥加速度.其中是向量的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.已知复数z=i4−i，则z对应的点Z在复平面的( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)−1+2i=0，则z−=( )
A. −12−32iB. −12+32iC. 32−32iD. 12−32i
4.在△ABC中，BC=3,AC=5,C=2π3，则AB=( )
A. 53B. 51C. 45D. 7
5.在△ABC中，点D在边AB上，且BD=2DA.点E满足CD=2CE.若AB=AC=6，AB⋅AC=6，则|AE|=( )
A. 11B. 2 3C. 12D. 11
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a=acsB+bcsA=1，sinC= 22，则( )
A. b=1B. b= 2C. c= 2D. c= 3
7.已知p：向量a=(−1,1)与b=(m,2)的夹角为锐角.若p是假命题，则实数m的取值范围为( )
A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(−2,2)
C. {−2}∪[2,+∞)D. [2,+∞)
8.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP⋅AB的最小值为( )
A. 2B. 0C. −2 2D. −4 2
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a= 2，b= 6，A=30°，则c=( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 2 3
10.若复数z1=2−i，z2=3+4i，则下列说法正确的是( )
A. |z2−|=|z2|
B. z1−z2的虚部是−5i
C. z12=|z1|2
D. 在复数范围内，z1是方程x2−4x+5=0的根
11.已知e1,e2是夹角为2π3的单位向量，且a=e1−2e2,b=e1+e2，则( )
A. |a|= 7B. a⋅b=−12
C. a与b的夹角为2π3D. a在b方向上的投影向量为−12b
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若a2+c2−b2>0，则△ABC为锐角三角形
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
D. 若c=2acsB，则△ABC是等腰三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知平面向量a=(1,m)，b=(−2,4)，且a/​/b，则m= ______．
14.若复数z满足|z|=1，则|z−1|的取值范围是______．
15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=______．
16.瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度MN，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物AB，高为17.3m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为15°，瑞云塔的高度为______．
四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知向量a=(−1,2)，b=(3,−1)．
(1)求a+2b的坐标与|a−b|；
(2)求向量a与a−b的夹角的余弦值．
18.(本小题8分)
如图，斜坐标系xOy中，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且e1,e2的夹角为60°，定义向量OP=xe1+ye2在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(x,y)，记为OP=xe1+ye2=(x,y).在斜坐标系xOy中完成下列问题：
(1)若a=(2,3)，b=(2,−1)，求a⋅b；
(2)若c=(x0,y0)，求|c|．
19.(本小题8分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB+bcsA+2ccsC=0．
(1)求C；
(2)若b=4，c=2 7，求△ABC的面积．
20.(本小题8分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinB−asinA=(b−c)sinC．
(1)求A；
(2)若a=4，求△ABC周长的取值范围．
21.(本小题8分)
在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A( 3−1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10 3nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．
(1)求线段BC的长度；
(2)求∠ACB的大小；
(参考数值：sin15°= 6− 24,cs15°= 6+ 24)
(3)问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，在①角度、②温度、③海拔、④弹力、⑤风速、⑥加速度中，
是向量的有④弹力、⑤风速、⑥加速度，有3个，
故选：B．
根据题意，由向量的定义分析给出的量，即可得答案．
本题考查向量的定义，注意向量是既有大小又有方向的量，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=i4−i=(−1)2−i=1−i，
所以Z(1,−1)，显然位于第四象限．
故选：D．
利用复数的乘法运算及几何意义判定选项即可．
本题主要考查复数的乘法运算及几何意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：z(1+i)−1+2i=0，
则z=1−2i1+i=(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i，
故z−=−12+32i．
故选：B．
先对z化简，再结合共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为在△ABC中，BC=3,AC=5,C=2π3，
所以由余弦定理可得AB= AC2+BC2−2AC⋅BC⋅csC= 52+32−2×5×3×(−12)=7．
故选：D．
由题意利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知，
AE=AC+CE=AC+12CD
=AC+12(AD−AC)
=12AC+12AD=12AC+16AB，
所以AE2=(12AC+16AB)2
=14AC2+136AB2+16AB⋅AC
=14×36+136×36+16×6=11，
所以|AE|= 11．
故选：A．
利用平面向量的线性运算结合数量积公式计算即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：因为a=acsB+bcsA，
所以由正弦定理可得sinA=sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=sinC= 22，
又a=1，
所以由正弦定理asinA=csinC，可得c=1，C为锐角，
又sinC= 22，
所以csC= 1−sin2C= 22，
所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，可得1=1+b2−2×1×b× 22，
所以解得b= 2．
故选：B．
由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式可求得sinA=sinC= 22，可得c=1，C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求csC的值，进而利用余弦定理即可求解b的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：当向量向量a=(−1,1)与b=(m,2)的夹角为锐角时，
有a⋅b>0且a与b方向不相同，即−m+2>0m≠−2，解得m<2且m≠−2，
因为p是假命题，所以实数m的取值范围是{−2}∪[2,+∞)．
故选：C．
利用向量夹角为锐角得到关于m的不等式组，进而求得m的取值范围，再结合p为假命题取m的取值范围的补集即可得解．
本题考查的知识点：向量的夹角公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：AF⊥AB，以点A为坐标原点，
分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，
正八边形内角和为(8−2)×180°=1080°，
则∠HAB=18×1080°=135°，
所以A(0,0)，B(2,0)，设P(x,y)，
则− 2≤x≤2+ 2，AP=(x,y),AB=(2,0)，
则AP⋅AB=2x≥−2 2，
所以，当点P在线段GH上时，AP⋅AB取最小值−2 2．
故选：C．
以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，设P(x,y)，则− 2≤x≤2+ 2，由AP⋅AB=2x即可求得AP⋅AB的最小值．
本题考查平面向量的数量积运算，属中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：由余弦定理csA=b2+c2−a22bc，
即 32= 62+c2− 222× 6c，
即3 2c=4+c2，
故(c− 2)(c−2 2)=0，即c= 2或c=2 2．
故选：AB．
根据余弦定理求解即可．
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，z−2=3−4i,|z2|= 32+42=5,|z−2|= 32+(−4)2=5,|z−2|=|z2|，故A正确；
对于B，因为z1−z2=2−i−3−4i=−1−5i，所以虚部是−5，故B不正确；
对于C，z12=(2−i)2=3−4i，|z1|2=22+(−1)2=5，所以C不正确；
对于D，因为(2−i)2−4(2−i)+5=4−8+5−1−4i+4i=0，所以D正确．
故选：AD．
对A，根据共轭复数与模长的计算判断即可；对B，根据虚部的定义判断即可；对C，根据复数的模长与乘法判断即可；对D，代入计算是否满足x2−4x+5=0即可．
本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：已知e1,e2是夹角为2π3的单位向量，
则|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=−12，
设a与b的夹角为θ，
对于选项B，因为a=e1−2e2,b=e1+e2，
所以a⋅b=(e1−2e2)⋅(e1+e2)=e12−e1⋅e2−2e22=−12，
即选项B正确；
对于选项A，|a|= (e1−2e2)2= e12−4e1⋅e2+4e22= 7，
即选项A正确；
对于选项C，|b|= (e1+e2)2= e12+2e1⋅e2+e22=1，
所以csθ=a⋅b|a||b|=−12 7=− 714，
即选项C错误；
对于选项D，a在b方向上的投影为a⋅b|b|b|b|=−12b，
即选项D正确．
故选：ABD．
利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，结合投影的定义求解．
本题考查了向量数量积运算，模、夹角公式，重点考查了投影的定义，属中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：由于a2+c2−b2>0，则csB=a2+c2−b22ac>0，由于B∈(0,π)，所以0对于B：△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，所以A>π2−B，故sinA>sin(π2−B)，整理得sinA>csB，故B正确；
对于C：若sin2A=sin2B，且A、B∈(0,π)，则2A=2B或2A=π−2B，则整理得：A=B或A+B=π2，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D：若c=2acsB，利用正弦定理：sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB，化简得：sinAcsB−csAsinB=0，所以sin(A−B)=0，故A=B，则△ABC是等腰三角形，故D正确．
故选：BD．
直接利用三角函数关系的变换，正弦定理和余弦定理判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
13.【答案】−2
【解析】解：由a/​/b可得1×4−(−2)m=0，解得m=−2．
故答案为：−2．
根据向量平行的坐标公式求解即可．
本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】[0,2]
【解析】解：设z=x+yi，(x∈R,y∈R)，|z|=|x+yi|= x2+y2，
则x2+y2=1，x∈[−1,1]，
则|z−1|=|(x−1)+yi|= (x−1)2+y2= x2+y2−2x+1= 2−2x∈[0,2]．
故答案为：[0,2]．
设z=x+yi，(x∈R,y∈R)，由复数的几何意义得x2+y2=1，x∈[−1,1]，进而利用x的范围可得|z−1|的取值范围．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
15.【答案】1： 3：2
【解析】【分析】
通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出a、b、c的比即可
本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查．
【解答】
解：∵A+B+C=π，A：B：C=1：2：3，
∴A=30°，B=60°，C=90°，
A：B：C=1：2：3⇒A=30°，B=60°，C=90°，
由正弦定理可知：
a：b：c=sinA：sinB：sinC=1： 3：2．
故答案为：1： 3：2．
16.【答案】34.6m
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，由题意可得AC=2AB=2×17.3=34.6，
由图知∠MAC=15°+30°=45°，∠MCA=180°−45°−30°=105°，
所以∠AMC=180°−∠MAC−∠MCA=180°−45°−105°=30°，
在△AMC中，由正弦定理可得：MCsin∠MAC=ACsin∠AMC，
即MCsin45∘=34.6sin30∘，解得MC=34.6× 2,
在Rt△MNC中，如图可得MN=MC⋅sin45°=34.6× 2× 22=34.6．
故答案为：34.6m．
由题意，由直角三角形的性质，可得AC的大小，在△AMC中，由正弦定理可得MC的大小，进而在Rt△MNC中，求出MN的大小．
本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)a=(−1,2)，b=(3,−1)，
则a+2b=(5,0)，a−b=(−4,3)，
所以|a−b|= (−4)2+32=5；
(2))a=(−1,2)，a−b=(−4,3)，
则a⋅(a−b)=10，|a|= 1+4= 5，
故cs=a⋅(a−b)|a|⋅|a−b|=10 5×5=2 55．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题设，a=2e1+3e2,b=2e1−e2，
所以a⋅b=(2e1+3e2)⋅(2e1−e2)=4e12+4e1⋅e2−3e22=4+4cs60°−3=3．
(2)由已知c=x0e1+y0e2，则|c|2=c2=(x0e1+y0e2)2=x02e12+2x0y0e1⋅e2+y02e22=x02+x0y0+y02，
所以|c|= x02+x0y0+y02．
【解析】(1)由题意a=2e1+3e2,b=2e1−e2，应用向量数量积的运算律求a⋅b；
(2)由c=x0e1+y0e2，结合|c|2=c2=(x0e1+y0e2)2即可求结果．
本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由acsB+bcsA+2ccsC=0．
得sinAcsB+sinBcsA+2sinCcsC=0，
得sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=sinC=−2sinCcsC．
所以sinC≠0，所以csC=−12，因为C∈(0,π)，所以C=2π3．
(2)由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，得a2+4a−12=(a+6)(a−2)=0，所以a=2，
故△ABC的面积为12absinC=12×2×4× 32=2 3．
【解析】(1)由正弦定理得sinAcsB+sinBcsA+2sinCcsC=0，可求csC=−12，可求C；
(2)由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，可求a，可求△ABC的面积．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】解：(1)在△ABC中，由已知结合正弦定理角化边可得b2−a2=(b−c)c，
整理可得b2+c2−a2=bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=12．
又A∈(0,π)，
所以A=π3．
(2)由(1)知bsinB=csinC=4sinπ3=8 33，
所以b=8 33sinB，c=8 33sinC，
记△ABC的周长为l，
则l=a+b+c=4+8 33sinB+8 33sinC，
由A+B+C=π，A=π3，得B=2π3−C，
所以l=a+b+c=4+8 33[sin(2π3−C)+sinC]=4+8(12csC+ 32sinC)=4+8sin(C+π6)，
又C∈(0,2π3)，所以C+π6∈(π6,5π6)，
则sin(C+π6)∈(12,1],
故l∈(8,12]．
【解析】(1)由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出csA=12，然后根据A的范围，即可得出答案；
(2)根据正弦定理得出b=8 33sinB，c=8 33sinC.设周长为l，表示出周长．然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出
l=4+8sin(C+π6)，然后根据C的范围，即可得出答案．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，…(1分)
由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠CAB…(2分)
=( 3−1)2+22−2×( 3−1)×2×(−12)=6，…(3分)
所以，BC= 6.…(4分)
(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin∠ACB=BCsin1200，
所以，sin∠ACB=AB⋅sin1200BC…(6分)
= 3−12 2= 6− 24.…(7分)
又∵0°<∠ACB<60°，
∴∠ACB=15°.…(8分)
(3)设缉私船用th在D处追上走私船，如图，
则有CD=10 3t，BD=10t．
在△ABC中，
又∠CBD=90°+30°=120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD=BD⋅sin∠CBDCD …(8分)
=10t⋅sin120°10 3t=12.…(10分)
∴∠BCD=30°，
又因为∠ACB=15°…(12分)
所以1800−(∠BCD+∠ACB+75°)=180°−(30°+15°+75°)=60°
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．…(14分)
【解析】(1)在△ABC中，∠CAB=120°由余弦定理可求得线段BC的长度；
(2)在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB；
(3)设缉私船用th在D处追上走私船，CD=10 3t，BD=10t，在△ABC中，可求得∠CBD=120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，从而可求得答案．
本题考查余弦定理与正弦定理，考查解三角形，考查综合分析与运算能力，属于难题．