2024年广东省阳江市江城区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省阳江市江城区中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数中，最大的是（ ）
A．B．C．0D．|﹣3|
2．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型DNA工业纳米机器人，其大小仅约100纳米．已知1纳米＝10⁻9米，则100纳米用科学记数法表示为（ ）
A．1×10⁻7米B．1×10⁻8米C．﹣1×107米D．1×10⁻11米
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a6＝a18B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1
5．（3分）在平面直角坐标系中，将A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点A，则A的坐标是（ ）
A．（6，1）B．（0，1）C．（0，﹣3）D．（6，﹣3）
6．（3分）下列图形中不是正方体的表面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．πB．πC．πD．2π
8．（3分）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（ ）
A．30°B．36°C．60°D．72°
9．（3分）已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，BC＝10，则tan∠EAF的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式： ．
12．（3分）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 ．
13．（3分）已知a+b＝5，ab＝4，则多项式a2b+ab2的值为 ．
14．（3分）某地为了解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元．若这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列得方程为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，AB分别交于点D，E．连接BD．若∠A＝15°，BD＝2，则△ADB的面积为 ．
16．（3分）如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题10分，第18、19题各7分，共24分．
17．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
18．（7分）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，并且甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
19．（7分）已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求出这个反比例函数的解析式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，求出用电器可变电阻应控制在什么范围．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
20．（8分）为提高学生的国家安全意识，某校九年级举行了国家安全知识竞赛活动．现从参赛学生中分别随机抽取15名男生和15名女生的竞赛成绩作为样本，对样本竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成4个组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），得到如图所示的统计图表．其中女生样本成绩在C组中的数据为85，88，87．
男、女生样本成绩对比统计表
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若被抽取的15名女生中有且只有1人得最低分，学校准备从样本成绩为70分以下的女生中抽取2人谈话，用列表法或画树状图的方法计算得分最低的女生被抽到的概率．
21．（8分）如图，在△ABC中，O是边AD上的一点，以点O为圆心，OD的长为半径，⊙O恰好与边AB相切于点B，与边AD交于点C，连接BC．
（1）求证：△ABC∽△ADB．
（2）若AB＝5，AC＝3，求⊙O的半径．
22．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈0.4）
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23．（12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE右侧作正方形AEFG．
（1）如图1，若EF与CD交于点H，且∠EHD＝125°，求∠BAG的度数；
（2）连接DG，求证：C、D、G三点共线；
（3）如图2，当点E是线段BC中点，连接CF，求线段CF的长．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年广东省阳江市江城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）下列实数中，最大的是（ ）
A．B．C．0D．|﹣3|
【分析】分析：将|﹣3|写作3，然后根据负数＜0＜正数，以及无理数的估算，进行判断即可．
【解答】解：|﹣3|＝3，
∵3＜9，
∴.＜，
∴，
即＜|﹣3|，
那么﹣＜0＜＜|﹣3|，
则最大的数为|﹣3|，
故选：D．
2．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型DNA工业纳米机器人，其大小仅约100纳米．已知1纳米＝10⁻9米，则100纳米用科学记数法表示为（ ）
A．1×10⁻7米B．1×10⁻8米C．﹣1×107米D．1×10⁻11米
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：100纳米＝100×10⁻9米＝1×10⁻7米，
故选：A．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a6＝a18B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：a3•a6＝a9，则A不符合题意；
（﹣2a）3＝﹣8a3，则B符合题意；
a8÷a4＝a4，则C不符合题意；
（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，则D不符合题意；
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点A，则A的坐标是（ ）
A．（6，1）B．（0，1）C．（0，﹣3）D．（6，﹣3）
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，﹣1），将点A向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴得到点的坐标为（0，1）．
故选：B．
6．（3分）下列图形中不是正方体的表面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据正方体的表面展开图，逐个分析即可求解．
【解答】解：依题意，

不能拼成正方体，
故选：B．
7．（3分）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【分析】根据弧长的公式列式计算即可．
【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为＝π．
故选：B．
8．（3分）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（ ）
A．30°B．36°C．60°D．72°
【分析】小聪第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可．
【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴多边形的边数为：72÷6＝12．
根据多边形的外角和为360°，
∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．
故选：A．
9．（3分）已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再用x表示出x2+x的值，代入原式进行计算即可．
【解答】解：
＝•
＝
＝，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+x+x﹣2＝0，
∴x2+x＝2﹣x，
∴原式＝＝﹣1．
故选：A．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，BC＝10，则tan∠EAF的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据矩形的性质和翻折的性质求出BF，然后利用勾股定理得EF2＝（6﹣EF）2+22，求出EF，再利用锐角三角形函数即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，∠C＝∠D＝90°，
由翻折可知：DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝10，
∴BF＝＝＝8，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
∵EC＝CD﹣DE＝6﹣DE＝6﹣EF，
在Rt△EFC中，根据勾股定理得：EF2＝EC2+FC2，
∴EF2＝（6﹣EF）2+22，
∴EF＝，
∴tan∠EAF＝＝＝．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式： 答案不唯一，如y＝x ．
【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可．
【解答】解：例如：y＝x，或y＝x+2等，答案不唯一．
12．（3分）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 110° ．
【分析】根据平行线的性质，找到同旁内角、内错角进行推理即可得出∠2度数．
【解答】解：如图所示，由题意可知l∥l'，
∵l∥l'，
∴∠1+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠1＝70°，
∴∠3＝110°，
∴∠2＝∠3＝110°（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：110°．
13．（3分）已知a+b＝5，ab＝4，则多项式a2b+ab2的值为 20 ．
【分析】根据题意，提公因式，a2b+ab2＝ab（a+b），结合已知条件代入数据即可．
【解答】解：由题意可知，a2b+ab2＝ab（a+b）．
∵a+b＝5，ab＝4，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×4＝20．
故答案为：20．
14．（3分）某地为了解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元．若这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列得方程为 200（1﹣x）2＝162 ．
【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝162．
故答案为：200（1﹣x）2＝162．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，AB分别交于点D，E．连接BD．若∠A＝15°，BD＝2，则△ADB的面积为 1 ．
【分析】由作图可得，MN为线段AB的垂直平分线，则AD＝BD＝2，∠A＝∠ABD＝15°，由三角形外角的性质可得∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°，则BC＝BD＝1，利用三角形的面积公式计算可得答案．
【解答】解：由作图可得，MN为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝2，
∴∠A＝∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，BD＝2，
∴BC＝BD＝1，
∴△ADB的面积为＝＝1．
故答案为：1．
16．（3分）如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 ．
【分析】根据垂径定理得到OA＝OB＝1，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，即当BC是⊙M的直径时，OD取得最大值，确定点D的坐标即可．
【解答】解：∵OM⊥AB，点A坐标为（1，0），
∴OA＝OB＝1，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∴当BC是⊙M的直径时，线段OD取得最大值，如图，
∵点M坐标为（0，1），
∴OM＝1，
在Rt△OBM中，BM＝，
∴BC＝2BM＝2，
∴OD＝＝，
即线段OD的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题10分，第18、19题各7分，共24分．
17．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
【分析】（1）先算零指数幂，负整数指数幂，立方根，再sauna加法；
（2）解出每个不等式，再求公共解集．
【解答】解：（1）原式＝1+4﹣2
＝3；
（2），
解不等式①得：x＞1；
解不等式②得：x＜2；
∴不等式组的解集为1＜x＜2．
18．（7分）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，并且甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
【分析】设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是2x平方米，由甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天，列出方程，可求解．
【解答】解：设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是2x平方米，
根据题意得：，
解得：x＝50．
经检验x＝50是所列方程的解，且符合题目要求，
此时2x＝100，
答：甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是100平方米和50平方米．
19．（7分）已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求出这个反比例函数的解析式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，求出用电器可变电阻应控制在什么范围．
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（8，6）代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，
∵图象经过（8，6），
∴1.8＝6＝，
解得：k＝8×6＝48，
∴这个反比例函数的解析式为I＝；
（2）∵I≤3，I＝，
∴≤10，
∴R≥4.8，
即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
20．（8分）为提高学生的国家安全意识，某校九年级举行了国家安全知识竞赛活动．现从参赛学生中分别随机抽取15名男生和15名女生的竞赛成绩作为样本，对样本竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成4个组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），得到如图所示的统计图表．其中女生样本成绩在C组中的数据为85，88，87．
男、女生样本成绩对比统计表
（1）填空：a＝ 87 ，b＝ 20 ；
（2）若被抽取的15名女生中有且只有1人得最低分，学校准备从样本成绩为70分以下的女生中抽取2人谈话，用列表法或画树状图的方法计算得分最低的女生被抽到的概率．
【分析】（1）用女生样本成绩在C组的人数除以15再乘以100%可得b%，即可得b的值；根据中位数的定义可得a的值．
（2）由题意得，女生样本成绩在A组的人数为3人，列表可得出所有等可能的结果数以及得分最低的女生被抽到的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，b%＝3÷15×100%＝20%，
∴b＝20．
女生样本成绩在D组的人数为15×40%＝6（人），
将15名女生样本成绩按照从大到小的顺序排列，排在第8名的成绩为87，
∴a＝87．
故答案为：87；20．
（2）女生样本成绩在A组的人数为15×（1﹣20%﹣20%﹣40%）＝3（人），
将这3名女生按分数从大到小分别记为A，B，C，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中得分最低的女生被抽到的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），共4种，
∴得分最低的女生被抽到的概率为＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，O是边AD上的一点，以点O为圆心，OD的长为半径，⊙O恰好与边AB相切于点B，与边AD交于点C，连接BC．
（1）求证：△ABC∽△ADB．
（2）若AB＝5，AC＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OB，由切线的性质得到OB⊥AB，推出∠ABC+∠CBO＝90°，由圆周角定理推出∠CBD＝90°，得到∠D+∠OCB＝90°，由等腰三角形的性质推出∠OCB＝∠OBC，由余角的性质推出∠D＝∠ABC，而∠CAB＝∠BAD，即可证明△ABC∽△ADB．
（2）由相似三角形的性质推出AB：AD＝AC：AB，代入有关数据求出AD＝，得到CD＝AD﹣AC＝，即可求出⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AB与圆相切于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABC+∠CBO＝90°，
∵CD是圆的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠D+∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠D＝∠ABC，
∵∠CAB＝∠BAD，
∴△ABC∽△ADB．
（2）解：∵△ABC∽△ADB，
∴AB：AD＝AC：AB，
∵AB＝5，AC＝3，
∴5：AD＝3：5，
∴AD＝，
∴CD＝AD﹣AC＝，
∴⊙O的半径是CD＝．
22．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈0.4）
【分析】（1）过B作BF⊥AD于F，根据正弦的定义计算，得到答案；
（2）根据余弦的定义求出AF，再根据正切的定义求出AD，计算即可．
【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，
则BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
（2）在Rt△ABF中，cs∠BAF＝，
则AF＝ABcs∠BAF＝3×cs37°≈2.4（米），
∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，
则AD＝≈＝3.25（米），
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23．（12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE右侧作正方形AEFG．
（1）如图1，若EF与CD交于点H，且∠EHD＝125°，求∠BAG的度数；
（2）连接DG，求证：C、D、G三点共线；
（3）如图2，当点E是线段BC中点，连接CF，求线段CF的长．
【分析】（1）由正方形的性质求出∠DAE＝55°，得出∠BAE＝90°﹣55°＝35°，则可得出答案；
（2）连接DG，证明△BAE≌△DAG（SAS），得出∠B＝∠ADG＝90°，证出∠ADC+∠ADG＝180°，则可得出结论；
（3）过点F作FK⊥BC，交BC的延长线于点K，连接CF，证明△AEB≌△EFK（AAS），得出BE＝FK，AB＝EK＝5，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）解：∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF＝∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEH﹣∠EHD＝360°﹣90°﹣90°﹣125°＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BAG＝∠EAG+∠BAE＝90°+35°＝125°；
（2）证明：连接DG，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G三点共线；
（3）解：过点F作FK⊥BC，交BC的延长线于点K，连接CF，
则∠EKF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝EF，∠B＝∠AEF＝90°，
∴∠B＝∠EKF，
∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEK＝90°，
∴∠BAE＝∠FEK，
∴△AEB≌△EFK（AAS），
∴BE＝FK，AB＝EK＝5，
∵点E是线段BC的中点，
∴BE＝EC＝×5＝，
∴FK＝CK＝，
∵∠CKF＝90°，
∴△CFK是等腰直角三角形，
∴CF＝FK＝．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB，即可求解；
（3）若BC为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t1＝+3，t2＝﹣+3，
∵，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，﹣）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3＝，t4＝﹣，
∵，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）；
即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
统计量
平均数
中位数
众数
男生
88
89
99
女生
88
a
98
统计量
平均数
中位数
众数
男生
88
89
99
女生
88
a
98
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）